Maßstab bei Flächeninhalten und Volumina

Zwei ebene Figuren sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 3$.

a) Mit welcher Zahl werden die Längen multipliziert?

b) Mit welcher Zahl wird der Flächeninhalt multipliziert?

c) Mit welcher Zahl würde das Volumen multipliziert, wenn es sich um Körper handelte?

Zwei Quadrate sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 2$. Das kleine hat $5$ cm Seitenlänge:

a) Wie lang ist die Seite des großen?

b) Wie groß sind die Flächeninhalte der beiden Quadrate?

Begründe, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind:

a) Wenn ich die Seiten eines Rechtecks verdopple, verdopple ich seinen Flächeninhalt.

b) Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher Figuren ist das Quadrat des Streckfaktors.

c) Wenn der Streckfaktor zweier Körper $2$ beträgt, ist das Volumen des großen das $8$-Fache des kleinen.

d) Auf einem Plan im Maßstab $1:50$ stellt ein Quadratzentimeter auf dem Plan $50\ \text{cm}^2$ in Wirklichkeit dar.

Auf einem Plan im Maßstab $1:100$ nimmt ein Zimmer $12\ \text{cm}^2$ ein. Wie groß ist sein tatsächlicher Flächeninhalt? Gib ihn in Quadratmetern an.

Eine Künstlerin malt ein Wandbild nach einer Vorzeichnung von $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ mit dem Maßstabsfaktor $k = 8$.

a) Welche Maße hat das Wandbild?

b) Welchen Flächeninhalt hat es?

c) Wenn ein Eimer Farbe $2\ \text{m}^2$ abdeckt, wie viele Eimer braucht sie mindestens?

a) Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher ebener Figuren ist $9$. Wie groß ist der Streckfaktor zwischen ihren Seiten? Und das Verhältnis ihrer Umfänge?

b) Die Volumina zweier ähnlicher Körper stehen im Verhältnis $\frac{27}{8}$. Wie groß ist der Streckfaktor?

c) Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Grundstücke stehen im Verhältnis $\frac{1}{4}$. Wie groß ist das Verhältnis ihrer Seiten?

Ein Würfel hat $4$ cm Kantenlänge, ein zweiter, ihm ähnlicher Würfel hat eine doppelt so lange Kante.

a) Wie groß ist das Volumen jedes Würfels?

b) Wie viel Mal größer ist das Volumen des großen Würfels als das des kleinen?

Für das Modell eines Stadtviertels wurden zwei ähnliche Häuschen mit dem Streckfaktor $1,5$ gebaut. Das kleine Häuschen benötigte $7,2\ \text{dm}^2$ Karton und sein Innenvolumen beträgt $6,4$ Liter.

a) Wie viel Karton wird für das große Häuschen benötigt?

b) Wie groß ist sein Innenvolumen?

Ein Beamer erzeugt auf einer Leinwand in $3$ m Entfernung ein Quadrat mit der Seitenlänge $1,5$ m. Wird die Leinwand auf $6$ m weggerückt, bleibt das Bild quadratisch, wie in der Abbildung gezeigt.

a) Wie groß ist der Streckfaktor zwischen den beiden Bildern? Wie lang ist die Seite des Quadrats bei $6$ m?

b) Wievielmal so groß ist der Flächeninhalt des weiter entfernten Bildes wie der des nahen?

c) Da dieselbe Lichtmenge auf die gesamte Fläche verteilt wird, mit welchem Bruchteil der Helligkeit pro Quadratmeter erscheint das Bild bei $6$ m im Vergleich zu $3$ m?

d) In welcher Entfernung müsste man die Leinwand aufstellen, damit der Flächeninhalt des Bildes das $9$-Fache des ursprünglichen beträgt?

Zwei Aquarien sind ähnlich: Das kleine ist $40$ cm lang und das große $80$ cm.

a) Wie groß ist der Streckfaktor?

b) Wenn das Glas des kleinen Aquariums $30\text{ €}$ gekostet hat, wie viel kostet das des großen bei gleichem Preis pro Fläche?

c) Wenn es $5\text{ €}$ kostet, das kleine mit Wasser zu füllen, wie viel kostet es dann, das große zu füllen?

Im Plan einer Wohnsiedlung im Maßstab $1:75$ nimmt ein rechteckiger Garten $96\ \text{cm}^2$ ein. Wie groß ist der tatsächliche Flächeninhalt des Gartens in Quadratmetern?

Ein Umzugsunternehmen möchte die „Kapazität verdoppeln“ seiner würfelförmigen Kartons und beschließt, sie mit doppelt so langer Kante herzustellen. Der Chef behauptet: „So passt doppelt so viel hinein.“

a) Erkläre den Fehler des Chefs.

b) Wievielmal so groß ist das Fassungsvermögen des neuen Kartons tatsächlich?

c) Wenn der kleine Karton ein Volumen von $27\ \text{dm}^3$ hat, wie groß ist das Volumen des neuen?