Irrationale Zahlen

Gib an, welche der folgenden Zahlen irrational sind und welche nicht. Begründe deine Antwort anhand der Dezimaldarstellung:

1. a) $3,14159$
2. b) $\sqrt{7}$
3. c) $\frac{22}{7}$
4. d) $1,1010010001...$
5. e) $\sqrt{25}$

Erkenne, welchem Muster die Nachkommastellen der folgenden Zahl folgen, und erkläre, warum sie als irrationale Zahl gilt:

$x = 0,12345678910111213...$

In einer Unterrichtsdiskussion über die Einteilung von Dezimalzahlen behauptet Karl entschieden:

„Die Zahl $x = 0,202002000200002\ldots$ hat eine ganz klare Bildungsregel: Zwischen den Zweien kommt jedes Mal eine Null mehr dazu. Da sie einem regelmäßigen und völlig vorhersehbaren Muster folgt, ist sie eine periodische Dezimalzahl und lässt sich daher als vollständig gekürzter Bruch schreiben, was zeigt, dass sie zu $\mathbb{Q}$ gehört.“

1. a) Finde den Denkfehler in Karls Aussage und erkläre, warum er ein Bildungsmuster mit der Periodizität einer Dezimalzahl verwechselt.
2. b) Ordne die Zahl $x$ begründet als rational oder irrational ein, ausgehend von der Definition der irrationalen Zahl aus deinen Unterlagen.
3. c) Gib die Dezimaldarstellung einer Zahl an, die ausschließlich die Ziffern $0$ und $2$ verwendet, aber eine rein-periodische rationale Zahl IST. Gib deutlich ihre Periode und ihre vollständig gekürzte Bruchdarstellung an.

Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

1. a) Alle Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind irrational.
2. b) Die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl ist irrational.
3. c) Die Zahl $\pi$ lässt sich exakt als Bruch schreiben.
4. d) Die Summe aus einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist immer irrational.

Hugo möchte die Tragfähigkeit des Widerspruchsbeweises für die Irrationalität von $\sqrt{2}$ testen, den er im Unterricht gesehen hat. Dazu behauptet er:

„Wenn der Beweis für $\sqrt{2}$ gilt, kann ich dieselben Schritte verwenden, um zu zeigen, dass auch $\sqrt{4}$ irrational ist. Da der Beweis zu einem Widerspruch führt, müsste $\sqrt{4}$ irrational sein!“

Hugo schreibt seine Überlegung an die Tafel:

1. Angenommen, $\sqrt{4}$ wäre rational, also $\sqrt{4} = \dfrac{a}{b}$ mit $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$ und $\dfrac{a}{b}$ ein vollständig gekürzter Bruch (ohne gemeinsame Teiler).

2. Quadrieren ergibt: $4 = \dfrac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 4b^2$.

3. Da $a^2$ ein Vielfaches von $4$ ist, muss notwendigerweise auch $a$ ein Vielfaches von $4$ sein. Also ist $a = 4k$ für eine ganze Zahl $k$.

4. Einsetzen ergibt: $(4k)^2 = 4b^2 \Rightarrow 16k^2 = 4b^2 \Rightarrow b^2 = 4k^2$.

5. Mit demselben Argument wie in Schritt 3 ist $b^2$ ein Vielfaches von $4$, sodass auch $b$ ein Vielfaches von $4$ sein muss.

6. Also haben $a$ und $b$ den gemeinsamen Teiler $4$, was der Annahme widerspricht, dass $\dfrac{a}{b}$ vollständig gekürzt war. Schlussfolgerung: $\sqrt{4}$ ist irrational.

1. a) Wir alle wissen, dass $\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$. Bestimme den genauen Schritt, in dem Hugo einen grundlegenden logischen und mathematischen Fehler macht. Begründe, warum seine Aussage in diesem Schritt falsch ist, indem du ein konkretes Zahlenbeispiel mit einer natürlichen Zahl als Gegenbeispiel angibst.
2. b) Erkläre mit mathematischer Strenge, warum im Beweis für $\sqrt{2}$ der entsprechende Schritt („wenn $a^2$ gerade ist, dann ist $a$ gerade“) wahr ist, während er bei der Zahl $4$ nicht funktioniert. Welche arithmetische Eigenschaft der Primfaktoren unterscheidet $2$ von $4$?
3. c) Korrigiere Hugos Überlegung, indem du herleitest, welche Teilbarkeit sich aus der Gleichung $a^2 = 4b^2$ tatsächlich für $a$ ergibt. Zeige, was beim Einsetzen in die Gleichung passiert, und erkläre, warum der vermeintliche Widerspruch vollständig verschwindet.

Um die irrationale Zahl $\sqrt{13}$ mithilfe des Satzes des Pythagoras auf dem Zahlenstrahl darzustellen, brauchen wir zwei ganze Zahlen, deren Quadrate die Summe $13$ ergeben. Gib diese beiden Zahlen an und skizziere gedanklich, wie du das rechtwinklige Dreieck bilden würdest.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

Betrachte die folgende Darstellung am Zahlenstrahl. Auf der waagerechten Achse wurde ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert.

Berechne den exakten Wert der Hypotenuse $h$. Welche irrationale Zahl stellt der rote Punkt $X$ auf dem Zahlenstrahl dar?

Die berühmte „Spirale des Theodorus“ entsteht, indem man aneinandergrenzende rechtwinklige Dreiecke zeichnet. Das erste hat Katheten der Länge $1$. Die Hypotenuse dieses Dreiecks dient als Kathete des nächsten, dessen andere Kathete wieder $1$ misst, und so weiter.

Berechne den exakten Wert der Hypotenusen $h_1$, $h_2$ und $h_3$. Welchen exakten Wert hat nach diesem Muster die Hypotenuse $h_8$ des achten Dreiecks? Ist sie rational oder irrational?

Um die irrationale Zahl $\sqrt{13}$ mit Zirkel und Lineal exakt am Zahlenstrahl darzustellen, schlagen drei Schüler verschiedene Verfahren vor, die auf dem Satz des Pythagoras beruhen:

• Verfahren A (Wurzelspirale / Spirale des Theodorus): Man beginnt mit einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $1$ und $1$ (Hypotenuse $\sqrt{2}$), errichtet auf dieser Hypotenuse senkrecht eine Kathete der Länge $1$, um $\sqrt{3}$ zu erhalten, und setzt dieses verkettete Vorgehen fort, bis man $\sqrt{13}$ erreicht.

• Verfahren B (direkte Summe zweier Quadrate): Man sucht zwei Quadratzahlen, deren Summe $13$ ist ($13 = 3^2 + 2^2$), und zeichnet auf den Achsen ein einziges rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten der Längen $3$ und $2$.

• Verfahren C (Differenz zweier Quadrate): Man sucht eine ganzzahlige Hypotenuse $c$ und eine ganzzahlige Kathete $a$ mit $c^2 - a^2 = 13$ (zum Beispiel $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$) und zeichnet dieses rechtwinklige Dreieck.

1. a) Vergleiche die drei Verfahren hinsichtlich ihrer Schnelligkeit und der Gefahr, dass sich beim Zeichnen im Heft geometrische Ungenauigkeiten aufsummieren. Begründe, welches Verfahren am effizientesten und genauesten ist.
2. b) Erkläre Schritt für Schritt, wie man bei Verfahren B den Zirkel verwendet, um die Zahl $\sqrt{13}$ auf dem Zahlenstrahl der reellen Zahlen ganz exakt zu markieren.
3. c) Lässt sich Verfahren B immer auf jede Wurzel $\sqrt{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$ anwenden, die keine Quadratzahl ist? Begründe deine Antwort, indem du ein Gegenbeispiel einer natürlichen Zahl $n < 10$ findest, die sich nicht als Summe zweier Quadrate positiver ganzer Zahlen schreiben lässt, und erkläre, wie du diesen Sonderfall exakt darstellen würdest.

Schneide die irrationale Zahl $\sqrt{11} = 3,31662479...$ auf Hundertstel und Tausendstel ab und runde sie auf Hundertstel und Tausendstel. Ordne die Ergebnisse in einer Tabelle.

Der Goldene Schnitt, dargestellt durch den griechischen Buchstaben $\Phi$ (Phi), hat den exakten Wert $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Bestimme mit deinem Taschenrechner seine Dezimaldarstellung und schreibe die ersten sechs Nachkommastellen auf. Ist es eine rationale oder eine irrationale Zahl?

Ein Fußballfeld ist $100$ m lang und $50$ m breit. Das Platzwart-Team muss eine Bewässerungsleitung diagonal über das Feld verlegen. Berechne die exakte Länge der Leitung mithilfe von Wurzeln. Ist diese Länge eine rationale oder eine irrationale Zahl? Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen, um zu wissen, wie viele Meter Leitung gekauft werden müssen.

Der Goldene Schnitt wird oft in Kunst und Architektur verwendet. Ein Bilderrahmen wurde als „goldenes Rechteck“ entworfen. Wenn die kürzere Seite des Rahmens $20$ cm misst, muss die längere Seite $20 \cdot \Phi$ cm messen, wobei $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Berechne die exakte Länge der längeren Seite und ihre auf Zehntel gerundete Näherung in Zentimetern.

Die Periodendauer $T$ (in Sekunden) eines Fadenpendels, also die Zeit für eine vollständige Schwingung, berechnet sich mit der Formel $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, wobei $L$ die Länge des Fadens in Metern und $g$ die Fallbeschleunigung ist ($9,8$ m/s$^2$). Berechne die exakte Periodendauer eines Pendels der Länge $9,8$ Meter. Ist das Ergebnis eine rationale oder eine irrationale Zahl?

In einer Fabrik für mechanische Teile soll eine kreisförmige Platte mit dem Radius genau $40$ cm geschnitten werden. Die automatische Drehmaschine braucht als Eingabe den Umfang des Kreises, um den Schnitt auszuführen.

1. a) Wie groß ist der exakte Umfang des Teils?
2. b) Wenn der Bediener den Näherungswert $\pi = 3,14$ verwendet, wie groß ist dann der absolute Fehler gegenüber dem wahren Wert (mit allen Stellen von $\pi$ im Taschenrechner)?

Beim Baseball bilden die Bases ein perfektes Quadrat mit $90$ Fuß Seitenlänge ($27,43$ Meter). Wenn der Catcher den Ball von der Home Plate zur zweiten Base wirft, um einen Steal zu verhindern, fliegt der Ball diagonal über das Feld. Berechne die exakte Strecke in Metern, die der Ball zurücklegt. Ist sie rational oder irrational?

Ein Technologieunternehmen entwirft einen neuen Fernsehbildschirm. Das Verhältnis von Breite zu Höhe soll genau $\sqrt{2}$ betragen, sodass beim Halbieren des Bildschirms die beiden entstehenden Rechtecke dasselbe Seitenverhältnis behalten (wie bei Blättern im DIN-A4-Format). Wenn die Höhe des Bildschirms $50$ cm betragen soll, wie groß muss dann seine exakte Breite sein? Runde das Ergebnis auf Millimeter.

Für den Bau einer künstlichen Wabe entwirft ein Imker Zellen in Form eines regelmäßigen Sechsecks. Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit Seitenlänge $L$ berechnet sich mit der Formel $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$. Berechne den exakten Flächeninhalt einer Zelle, wenn ihre Seite $4$ mm misst. Ist er rational oder irrational?

Betrachte die reelle Zahl $\alpha = 3\sqrt{5} - 2$.

1. a) Schätzen: Bestimme ohne Taschenrechner und ohne Probieren mit Dezimalzahlen begründet, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen $\alpha$ genau liegt. Forme dazu zuerst $\alpha$ in $\sqrt{45} - 2$ um, schließe den Wert von $\sqrt{45}$ mithilfe der beiden nächstgelegenen Quadratzahlen ein und führe die entsprechenden Operationen an den Rändern der Ungleichung aus.
2. b) Überprüfen: Bestimme mit dem Taschenrechner die Dezimalnäherung von $\alpha$ mit zwei Nachkommastellen und überprüfe, ob deine ganzzahlige Eingrenzung aus der vorigen Teilaufgabe richtig war.
3. c) Begründen: Zeige, dass $\alpha$ eine irrationale Zahl ist, wenn du weißt, dass $\sqrt{5}$ irrational ist. (Tipp: Verwende einen kurzen Widerspruchsbeweis: Nimm an, dass $\alpha = \frac{p}{q}$ mit $p, q \in \mathbb{Z}$ und $q \neq 0$, und löse nach $\sqrt{5}$ auf, um einen Widerspruch zu erhalten.)

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) will eine Messstation im Harz installieren. Der Hauptmast hat eine senkrechte Höhe von $12\text{ m}$ und muss mit Spannseilen gesichert werden, die im Boden in einer Entfernung von $5\text{ m}$ von seinem Fuß verankert sind. Außerdem wird für einen Nebenmast der Höhe $8\text{ m}$ ein Spannseil in einer Entfernung von $4\text{ m}$ von seinem Fuß verankert.

1. a) Modelliere die Situation, indem du die exakte Länge des Spannseils des Hauptmasts ($L_1$) und die des Nebenmasts ($L_2$) mit dem Satz des Pythagoras berechnest. Gib beide Ergebnisse exakt an (mit maximal vereinfachten Wurzeln).
2. b) Ordne $L_1$ und $L_2$ ein, indem du angibst, ob sie zu $\mathbb{Q}$ oder zu $\mathbb{I}$ gehören. Begründe deine Antwort, indem du anhand der Primfaktorzerlegung untersuchst, ob die erhaltenen Radikanden Quadratzahlen sind oder nicht.
3. c) Die Gruppe hat eine Rolle Stahlseil von $40\text{ m}$, von der 4 gleich lange Spannseile der Länge $L_2$ abgeschnitten werden sollen. Wie viele Meter Seil bleiben nach dem Zuschneiden übrig? Runde die Länge jedes Spannseils zur Beantwortung auf zwei Nachkommastellen.

Beim Entwurf eines Logos wird ein gleichseitiges Dreieck verwendet, das einem Kreis mit Radius $R = 10$ cm einbeschrieben ist, wie in der Abbildung gezeigt.

Im gleichseitigen Dreieck ist der Umkreisradius $R$ doppelt so groß wie der Inkreisradius $a$. Berechne damit den exakten Wert von $a$. Bestimme dann mit dem Satz des Pythagoras die exakte Länge der Seite $L$. Zeige, dass der Umfang des Dreiecks eine irrationale Zahl ist.

Es sollen ein kreisförmiges Grundstück mit $100$ m$^2$ Flächeninhalt und ein quadratisches Grundstück, das ebenfalls $100$ m$^2$ Flächeninhalt hat, eingezäunt werden.

1. a) Berechne den exakten Umfang beider Grundstücke. (Beachte: Der Flächeninhalt des Kreises ist $A = \pi r^2$.)
2. b) Wenn der Zaun $15$ € pro Meter kostet, welches Grundstück ist billiger einzuzäunen? Verwende alle Stellen deines Taschenrechners, um die exakten Kosten in Euro für jedes anzugeben.

Betrachte den folgenden Würfel mit der Kantenlänge $a = 5$ cm. Die Diagonale einer seiner Seitenflächen heißt $d$, die Raumdiagonale, die den Würfel durch das Innere durchquert, heißt $D$.

Berechne den exakten Wert der Diagonale der Grundfläche ($d$) und berechne damit als Kathete zusammen mit der Höhe des Würfels die exakte Länge der Raumdiagonale ($D$). Kann bei einem Würfel mit ganzzahliger Kantenlänge die Raumdiagonale eine rationale Zahl sein?

In einem Laborversuch folgt die Menge des bei einer chemischen Reaktion erhaltenen Produkts, in Milligramm, der Formel $P = 2 \cdot e^t$, wobei $t$ die Zeit in Stunden ist und $e$ die irrationale Eulersche Zahl ($e \approx 2,71828$).

Berechne die geschätzte Menge nach $3$ Stunden mit dem Wert von $e$ aus deinem Taschenrechner. Wenn ein Schüler irrtümlich die Näherung $e = 2,7$ verwendet hat, wie viele Milligramm Unterschied ergeben sich gegenüber der genaueren Berechnung?

Der Flächeninhalt eines Kreises ist $A = \pi \cdot r^2$. Stell dir vor, wir wollen ein Quadrat konstruieren, das genau denselben Flächeninhalt hat wie ein Kreis mit Radius $10$ cm. (Das ist das antike mathematische Problem der Quadratur des Kreises.)

Bestimme den exakten Ausdruck für die Seitenlänge dieses Quadrats. Ist es möglich, diese Seite in der realen Welt mit einem Lineal mit Millimetereinteilung exakt zu messen? Begründe deine Antwort.

Berechne das Ergebnis der folgenden Rechnungen und ordne das Endergebnis als rational oder irrational ein:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $(\sqrt{5})^2$
4. d) $\pi - \pi$

In deinen Unterlagen steht, dass das Rechnen mit irrationalen Zahlen nicht immer wieder eine irrationale Zahl ergibt. Konstruiere die in jedem Fall gesuchten Zahlen und begründe deine Antwort durch explizite Rechnung:

1. a) Gib zwei verschiedene irrationale Zahlen $a$ und $b$ an, sodass ihre Summe $a + b$ eine ganze Zahl und ihr Produkt $a \cdot b$ ebenfalls eine rationale Zahl ist. (Tipp: Verwende konjugierte Ausdrücke mit Wurzeln.)
2. b) Gib zwei positive irrationale Zahlen $c$ und $d$ an, sodass ihr Produkt $c \cdot d$ eine rationale Zahl, ihr Quotient $\frac{c}{d}$ aber eine irrationale Zahl ist.
3. c) Zeige, dass deine Wahl in Teilaufgabe b beide Bedingungen erfüllt, indem du die Wurzeln Schritt für Schritt vereinfachst.

Im Mathematikunterricht stellt die Lehrkraft folgende Aufgabe: „Wenn man zu einer irrationalen Zahl eine weitere irrationale Zahl addiert, ist das Ergebnis dann immer irrational?“

Finde zwei verschiedene irrationale Zahlen, deren Summe eine ganze rationale Zahl ist, und zeige mit einfachen algebraischen Umformungen, dass dies möglich ist.

Ordne die folgenden reellen Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten. Dabei können dir ihre Dezimalnäherungen helfen:

$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$

Betrachte die Zahlenfolge, die entsteht, wenn man Nullen und Einsen auf folgende Weise aufschreibt: Wir beginnen mit einer $0,1$, dann fügen wir eine $0$ und eine $1$ hinzu, dann zwei $0$ und eine $1$, dann drei $0$ und eine $1$ und so weiter bis ins Unendliche.

Die entstehende Zahl ist $N = 0,101001000100001...$

Untersuche den Aufbau dieser Zahl und begründe, warum $N$ zur Menge der irrationalen Zahlen gehört und sich nicht als Bruch $\frac{a}{b}$ darstellen lässt.