Sachaufgaben zu quadratischen Gleichungen

Finde eine positive Zahl, für die das Dreifache ihres Quadrats genau so groß ist wie das Zwölffache dieser Zahl.

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist $156$. Um welche Zahlen handelt es sich?

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender positiver gerader Zahlen ist $288$. Bestimme diese Zahlen.

Eine Gruppe von Freunden möchte ein Hochzeitsgeschenk kaufen, das $120$ Euro kostet und zu gleichen Teilen bezahlt wird. Kurzfristig kommen noch zwei weitere Freunde dazu, sodass jeder der bisherigen $3$ Euro weniger zahlen muss als ursprünglich vorgesehen. Wie viele Freunde waren ursprünglich in der Gruppe?

Die Grundseite eines rechteckigen Grundstücks ist $5$ Meter länger als seine Höhe. Der gesamte Flächeninhalt beträgt $150 \text{ m}^2$. Berechne die Abmessungen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete $7 \text{ cm}$ länger als die andere. Die Hypotenuse ist $13 \text{ cm}$ lang. Berechne die Länge beider Katheten.

Vergrößert man die Seitenlänge einer quadratischen Keramikfliese um $4 \text{ cm}$, vervierfacht sich ihr Flächeninhalt. Wie lang war die Seite ursprünglich?

Ein rechteckiges Schwimmbecken von $10 \text{ m}$ Länge und $6 \text{ m}$ Breite ist von einem Rasenweg gleichmäßiger Breite $x$ umgeben. Der Flächeninhalt allein des Weges beträgt $80 \text{ m}^2$. Wie breit ist der Weg?

Gegeben ist eine rechteckige Pappe von $30 \text{ cm}$ Länge und $20 \text{ cm}$ Breite. Daraus soll eine oben offene Schachtel entstehen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge $x$ ausschneidet und die Seitenflächen nach oben faltet. Der Flächeninhalt der Grundfläche der entstandenen Schachtel soll $336 \text{ cm}^2$ betragen. Berechne den Wert von $x$ und das Volumen der Schachtel.

Eine zylindrische Konservendose wird so entworfen, dass ihre Höhe genau dem Durchmesser ihrer Grundfläche entspricht. Für die Herstellung der Dose (einschließlich der beiden kreisförmigen Deckel und des Mantels) wurden genau $150\pi \text{ cm}^2$ Weißblech verwendet. Berechne den Radius der Grundfläche.

Zieht man vom Quadrat des Alters, das Lea in $3$ Jahren haben wird, das Dreifache ihres Alters vor $2$ Jahren ab, erhält man $55$. Wie alt ist Lea jetzt?

Ein Anleger legt ein Kapital von $5000$ Euro zu einem bestimmten jährlichen Zinssatz mit Zinseszins an. Nach zwei Jahren beträgt das angesammelte Kapital $5408$ Euro. Welcher jährliche Zinssatz wurde angewendet?

Ein Geschoss wird senkrecht nach oben abgeschossen. Seine Höhe $h$ (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) wird durch den Term $h = 40t - 5t^2$ beschrieben. Zu welchen Zeitpunkten befindet sich das Geschoss genau in einer Höhe von $75 \text{ Meter}$?

Der Altersunterschied zwischen einem Großvater und seinem Enkel beträgt $56$ Jahre. Vor $4$ Jahren war das Alter des Großvaters genau das Quadrat des Alters des Enkels. Wie alt sind die beiden jetzt?

Ein Radfahrer fährt von Dorf A nach Dorf B, die $60 \text{ km}$ voneinander entfernt sind. Auf dem Rückweg ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit wegen Ermüdung um $5 \text{ km/h}$ geringer als auf dem Hinweg, sodass er für dieselbe Strecke $1$ Stunde länger braucht. Mit welcher Geschwindigkeit ist er auf dem Hinweg gefahren?

Zwei Rohre füllen zusammen einen Wassertank in $6$ Stunden. Wäre nur das erste Rohr geöffnet, würde es $5$ Stunden weniger zum Füllen des Tanks brauchen als das zweite allein. Wie lange würde jedes Rohr allein zum Füllen des Tanks brauchen?

Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist $130$. Bestimme, um welche Zahlen es sich handelt.

Markus löst in seiner Klassenarbeit die folgende Aufgabe: „Der Boden eines rechteckigen Lagerraums ist $5\text{ m}$ länger als breit. Der gesamte Flächeninhalt beträgt $66\text{ m}^2$. Wie groß sind die Abmessungen?".

Zur Lösung stellt er $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$ auf. Er wendet die Lösungsformel an und erhält richtig die algebraischen Lösungen $x_1 = 6$ und $x_2 = -11$. Anschließend folgert er: „Es gibt zwei mögliche Lagerräume: einen mit $6\text{ m}$ Breite und $11\text{ m}$ Länge und einen mit $11\text{ m}$ Breite und $16\text{ m}$ Länge, denn Entfernungen können nicht negativ sein, also ändern wir das Vorzeichen bei $-11$ und addieren $5$."

1. a) Benenne genau den begrifflichen Fehler, den Markus bei der Deutung der negativen Lösung $x_2 = -11$ macht.
2. b) Erkläre, warum die algebraische Gleichung zwei Lösungen liefert, während die geometrische Aufgabe nur eine zulässt.
3. c) Korrigiere die Antwort, indem du die tatsächlichen Abmessungen des Lagerraums bestimmst, und berechne, wie viele Meter Fußleiste benötigt werden, um den gesamten Umfang zu säumen (ohne Türen abzuziehen).

Der Einkaufspreis einer Partie T-Shirts beträgt $300$ Euro. Der Verkäufer behält $5$ T-Shirts für seine Familie und verkauft den Rest jeweils für $2$ Euro mehr, als jedes einzelne gekostet hat. Wenn er nach dem Verkauf aller einen Reingewinn von $60$ Euro erzielt (d. h. insgesamt $360$ Euro einnimmt), wie viele T-Shirts hat er ursprünglich gekauft?

Zwei Autos fahren gleichzeitig von derselben Kreuzung auf zwei zueinander senkrechten Straßen los. Eines fährt $10 \text{ km/h}$ schneller als das andere. Nach $2$ Stunden beträgt der Abstand zwischen ihnen in Luftlinie $100 \text{ km}$. Mit welcher Geschwindigkeit fährt jedes der beiden Autos?