Faktoren aus der Wurzel ziehen

Um Faktoren aus einer Wurzel zu ziehen, fassen wir die wiederholten Faktoren des Radikanden so zusammen, wie es der Wurzelexponent vorgibt: Bei einer Quadratwurzel (Wurzelexponent $2$) kommt jede Gruppe aus $2$ gleichen Faktoren als ein einziger Faktor heraus; bei einer Kubikwurzel (Wurzelexponent $3$) kommt jede Gruppe aus $3$ heraus.

Betrachte das folgende Schema, das $\sqrt[3]{x^4}$ darstellt. Da $x^4 = x^3 \cdot x$, kommt die Gruppe aus $3$ als ein einziges $x$ heraus, und der übrig bleibende Faktor bleibt unter der Wurzel.

Ziehe nach diesem Muster alle möglichen Faktoren aus den folgenden Wurzeln:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Oft begegnen uns Zahlen, die nicht in Faktoren zerlegt sind. Der erste Schritt muss immer die Primfaktorzerlegung der Zahl sein.

Um zum Beispiel $\sqrt{12}$ zu vereinfachen, überlegen wir zuerst, dass $12 = 2^2 \cdot 3$. Da die $2$ quadriert ist, kann sie aus der Quadratwurzel „entkommen“.

Zerlege in Primfaktoren und ziehe aus diesen Quadratwurzeln alles heraus, was du kannst:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Wir haben ein quadratisches Grundstück. Wir wissen, dass sein Flächeninhalt $72 \text{ m}^2$ beträgt, wollen aber wissen, wie lang seine Seite genau ist, und zwar in möglichst einfacher Form (indem wir Faktoren aus der Wurzel ziehen).

Denke daran: Wenn der Flächeninhalt eines Quadrats $l^2$ beträgt, dann ist die Seitenlänge $l = \sqrt{\text{Flächeninhalt}}$.

1. Zerlege die Zahl 72 in Primfaktoren.

2. Schreibe $\sqrt{72}$ mithilfe dieser Faktoren.

3. Ziehe die Zahlen heraus, die quadriert sind.

Ziehe bei den folgenden Wurzeln mit Zahlen alle möglichen Faktoren vor die Wurzel. Dazu musst du zuerst die Zahlen unter der Wurzel in Primfaktoren zerlegen.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

Berechne und vereinfache die folgende Wurzel, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst. Achtung: Der Radikand ist eine negative Zahl und der Wurzelexponent ist ungerade, daher existiert das Ergebnis in den reellen Zahlen. Ziehe alle möglichen Faktoren vor die Wurzel.

In vielen naturwissenschaftlichen Formeln treten sehr große oder sehr kleine Zehnerpotenzen unter Wurzeln auf. Vereinfache die folgenden Terme, indem du Zehnerpotenzen vor die Wurzel ziehst:

1. a) $\sqrt{1,44 \cdot 10^7}$
2. b) $\sqrt[3]{2 \cdot 10^{14}}$
3. c) $\sqrt{0,00003}$ (Hilfe: Schreibe es zuerst als $3 \cdot 10^{-5}$)

In der wissenschaftlichen Schreibweise müssen wir manchmal den Exponenten der Zehnerpotenz anpassen, um Faktoren aus einer Wurzel zu ziehen. Berechne den exakten Wert der folgenden Quadratwurzel, indem du alle möglichen Faktoren vor die Wurzel ziehst, und gib das Ergebnis in vereinfachter wissenschaftlicher Schreibweise an.

Manchmal stehen Zahlen und Buchstaben gemischt unter einer Wurzel. Das Vorgehen ist dasselbe: Wir behandeln die Zahl einerseits und jeden Buchstaben andererseits.

Vereinfache die folgenden Wurzeln, indem du alle möglichen Faktoren herausziehst:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

Wir können nicht nur aus dem Zähler Faktoren herausziehen, sondern auch aus dem Nenner, wenn unter der Wurzel Brüche stehen.

Wenn wir $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$ haben, können wir oben und unten unabhängig voneinander Faktoren herausziehen. In diesem Beispiel kommt $b^2$ als $b$ im Nenner heraus, und aus $a^3$ ziehen wir ein $a$ im Zähler heraus: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Versuche, diese Terme zu vereinfachen:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Tipp: Zerlege die 27 in Primfaktoren und lass sie im Nenner stehen.)

Vereinfache die folgenden Wurzeln, die Variablen enthalten. Denke daran: Damit eine Variable vor die Wurzel gezogen werden kann, muss ihr Exponent mindestens so groß sein wie der Wurzelexponent.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Vereinfache die folgenden Brüche mit Wurzeln, indem du sowohl im Zähler als auch im Nenner Faktoren vor die Wurzel ziehst. Kürze den entstehenden Bruch, wenn möglich:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$

Wir spielen jetzt den umgekehrten Vorgang, um zu prüfen, ob du das Herausziehen verstanden hast. Wenn ich einen Faktor vor der Wurzel habe und ihn unter die Wurzel bringen will, muss ich ihn mit dem Wurzelexponenten potenzieren.

Zum Beispiel: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Ordne in deinem Heft jeden vereinfachten Term links der ursprünglichen Wurzel rechts zu (du musst nicht rechnen, überlege nur, welche Zahl herausgekommen ist):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Vereinfache die folgenden Wurzeln. Achte genau auf den Wurzelexponenten, denn in dieser Aufgabe sind Quadratwurzeln (Wurzelexponent 2) und Kubikwurzeln (Wurzelexponent 3) gemischt.

Denke daran:

• Bei $\sqrt{\quad}$ bilden wir Zweiergruppen.

• Bei $\sqrt[3]{\quad}$ bilden wir Dreiergruppen.

1. a) $\sqrt{3^2 \cdot 2}$
2. b) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$
3. c) $\sqrt{2^2 \cdot 3^3}$
4. d) $\sqrt[3]{5^4}$

Gib an, ob die folgenden Gleichungen wahr oder falsch sind, indem du die nötigen Faktoren vor die Wurzel ziehst:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

Um Wurzeln addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichartig sein. Auf den ersten Blick sehen die folgenden Wurzeln verschieden aus. Ziehe bei jeder Wurzel Faktoren vor die Wurzel, um zu prüfen, ob der Wurzelteil derselbe ist, und gib sie gegebenenfalls vereinfacht an:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Berechne die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten $10 \text{ cm}$ und $5 \text{ cm}$ lang sind. Wende den Satz des Pythagoras an und gib das Ergebnis an, indem du alle möglichen Faktoren vor die Wurzel ziehst.

Wir haben ein quadratisches Grundstück mit einem Flächeninhalt von $720 \text{ m}^2$. Wir wollen eine Bewässerungsleitung diagonal über das Grundstück verlegen. Berechne die exakte Länge der Leitung und gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an (möglichst viele Faktoren vor die Wurzel ziehen).