Polyeder

Betrachte den folgenden Würfel und benenne seine grundlegenden Elemente. Gib an, wie viele Flächen, Ecken und Kanten er insgesamt hat. Mache das in deinem Heft.

Gegeben ist ein konvexes Polyeder mit 12 Flächen und 20 Ecken (ein Dodekaeder). Berechne mit dem Eulerschen Polyedersatz die Anzahl seiner Kanten.

Ein Architekt entwirft ein Bauwerk für ein Museum für moderne Kunst. Das zentrale Stück ist ein konvexes Polyeder mit $12$ Flächen und $30$ Kanten. Wegen eines Fehlers in den Plänen ist die Anzahl der Ecken nicht angegeben. Berechne mit dem Eulerschen Polyedersatz, wie viele Ecken die Skulptur hat, und erkläre anhand ihrer Elemente, ob es sich um ein regelmäßiges Dodekaeder handeln kann.

Es wurde ein Maschinenteil entworfen, das aus einem Würfel mit der Kantenlänge $8 \text{ cm}$ besteht, von dem durch einen ebenen Schnitt, der durch die Mittelpunkte der drei in einer Ecke $V$ zusammenlaufenden Kanten geht, eine kleine dreiseitige Pyramide entfernt wurde (Abschneiden der Ecke). In der Abbildung markieren die roten gestrichelten Linien die entfernte Pyramide und die grauen gestrichelten Linien verdeckte Kanten.

1. a) Wie viele Flächen, Ecken und Kanten hat das entstandene Polyeder?

1. b) Gilt der Eulersche Polyedersatz nach dem Schnitt weiterhin?

Ein Designer für Pokale eines Videospielturniers hat beschlossen, aus einem Glaswürfel mit der Kantenlänge $12$ cm ein Stück zu fertigen. Dabei wird der Würfel „abgeschnitten“: Jede seiner $8$ Ecken wird durch Ebenen abgetrennt, die durch die Mittelpunkte der drei Kanten gehen, die in dieser Ecke zusammenlaufen.

1. a) Berechne die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten des entstandenen Polyeders.
2. b) Überprüfe, ob das neue Polyeder weiterhin den Eulerschen Polyedersatz erfüllt.
3. c) Welche Art von Vielecken bilden die Flächen des neuen Pokals?

In der Technik-AG baut eine Schülergruppe eine Box in Form eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, um Filamente für einen 3D-Drucker aufzubewahren. Die Grundkante misst $10 \text{ cm}$ und die Höhe des Prismas beträgt $25 \text{ cm}$. Berechne den gesamten Pappebedarf für die Box (einschließlich Deckel).

Hinweis: Berechne zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Höhe eines Teildreiecks (Apothem) der Grundfläche.

Ein Pokal hat die Form eines regelmäßigen quadratischen Pyramidenstumpfs. Die Kanten der unteren Grundfläche messen $10 \text{ cm}$, die der oberen Grundfläche $4 \text{ cm}$ und die Höhe des Stumpfs beträgt $12 \text{ cm}$. Berechne das Metallvolumen, das zum Gießen dieses Pokals nötig ist.

Tipp: Du kannst die Volumenformel für den Stumpf verwenden oder den Stumpf als Differenz zweier Pyramiden auffassen.

Gegeben sind zwei gerade Prismen mit regelmäßiger sechseckiger Grundfläche, die zueinander ähnlich sind. Das erste hat eine Höhe von $10$ cm und einen Oberflächeninhalt von $350$ $cm^2$. Das zweite Prisma hat genau das $8$-Fache des Volumens des ersten:

1. a) Wie groß ist der Streckfaktor $k$ zwischen beiden Körpern?
2. b) Berechne die Höhe und den Oberflächeninhalt des zweiten Prismas mithilfe der Ähnlichkeitsbeziehungen für Flächeninhalte und Volumina.

Eine regelmäßige quadratische Pyramide hat eine Höhe von $24$ cm und einen Grundflächeninhalt von $100$ $cm^2$. Sie wird mit einer Ebene parallel zur Grundfläche in einer Höhe von $12$ cm von der Spitze aus geschnitten (also durch den Mittelpunkt der Höhe).

1. a) Berechne die Kantenlänge der Grundfläche des oberen Pyramidenstumpfs.
2. b) Berechne das Volumen des unteren Pyramidenstumpfs, der nach dem Entfernen des oberen Teils übrig bleibt.

Ordne den folgenden Körper ein: Ist er ein Prisma oder eine Pyramide? Begründe deine Antwort anhand seiner Seitenflächen und Grundflächen.

Betrachte die Zeichnung dieser quadratischen Pyramide. Benenne die mit dem Buchstaben $h$ markierte Strecke (die von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche verläuft) und die mit dem Buchstaben $a$ markierte Strecke (Höhe einer Seitenfläche).

Ein Parfümhersteller hat einen Flakon in Form einer regelmäßigen quadratischen Pyramide entworfen. Die Grundkante misst $6 \text{ cm}$ und die Seitenkante (die die Spitze mit einer Ecke der Grundfläche verbindet) misst $10 \text{ cm}$. Berechne die Höhe der Pyramide, um zu prüfen, ob sie in ein Regal mit $9 \text{ cm}$ Höhe passt.

Berechne das Volumen eines Prismas, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez ist. Die parallelen Seiten des Trapezes messen $12 \text{ cm}$ und $8 \text{ cm}$, seine Schenkel messen $5 \text{ cm}$. Die Höhe des Prismas beträgt $20 \text{ cm}$.

Hinweis: Du musst zuerst die Höhe des Trapezes in der Grundfläche bestimmen, um seinen Flächeninhalt berechnen zu können.

Wie heißt der regelmäßige Körper, der 4 Flächen hat, die gleichseitige Dreiecke sind? Zeichne eine einfache Skizze seiner Form und gib an, wie viele Ecken er hat.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto mit deiner Antwort schicken.

Ordne jedem der 5 regelmäßigen Polyeder (platonische Körper) das Vieleck zu, das seine Flächen bildet:

• Tetraeder

• Würfel (Hexaeder)

• Oktaeder

• Dodekaeder

• Ikosaeder

Die zur Verfügung stehenden Vielecke sind: gleichseitiges Dreieck, Quadrat und regelmäßiges Fünfeck.

Ein Würfelsammler besitzt einen ganz besonderen Würfel in Form eines regelmäßigen Oktaeders (8 dreieckige Flächen), bei dem jede Kante $4 \text{ cm}$ misst. Er beschließt, einen neuen Würfel herzustellen, indem er die Mittelpunkte der Flächen des ursprünglichen Oktaeders verbindet:

1. a) Wie heißt das entstehende Polyeder (sein duales Polyeder)?
2. b) Wie viele Flächen und wie viele Ecken hat dieses neue Polyeder? Überprüfe, ob es die Eulersche Formel erfüllt.

Ein Hersteller von Geschenkboxen möchte eine Box in Form eines Quaders entwerfen. Die Maße der Grundfläche sind $10\text{ cm}$ und $15\text{ cm}$, die Höhe beträgt $20\text{ cm}$. Gib an, wie viele ihrer Flächen untereinander gleich sind.

Gegeben ist ein Pappkarton in Form eines Quaders mit den Maßen $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Darin soll eine Leuchtstoffröhre aufbewahrt werden, die $128 \text{ cm}$ lang ist. Ist es möglich, sie geradlinig entlang zweier gegenüberliegender Ecken des Kartons unterzubringen? Begründe deine Antwort, indem du die Raumdiagonale des Polyeders berechnest.

Ein Logistikunternehmen verwendet quaderförmige Kisten für den Transport von Sportgeräten. Ein Kunde möchte einen Trainingsspeer versenden, der genau $2,25$ Meter lang ist. Das Lager hat Kisten mit den Maßen $200$ cm Länge, $80$ cm Breite und $60$ cm Höhe. Bestimme mit Begründung durch Berechnung der Raumdiagonale des Quaders, ob der Speer ungebogen in der Kiste transportiert werden kann (die Dicke des Speers sei vernachlässigbar).