Potenzen rationaler Zahlen

Berechne den Wert der folgenden Potenzen. Denke daran, dass du sowohl Zähler als auch Nenner mit dem angegebenen Exponenten potenzieren musst. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

Wir haben eine kleine quadratische Fliese für ein Mosaik. Die Seitenlänge der Fliese beträgt $\frac{2}{5}$ Meter. Berechne den Flächeninhalt dieser Fliese und gib das Ergebnis als Bruch an.

Nutze die folgende Skizze als Hilfe:

Manchmal verwechseln wir die Größe von Brüchen, wenn wir sie potenzieren. Betrachte die folgende Grafik, die die Einheit, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ und $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ darstellt.

Ordne die folgenden Potenzen nach dieser Überlegung der Größe nach, beginnend mit der kleinsten:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

In der Mathematik müssen wir manchmal das Vorzeichen des Exponenten ändern, um rechnen zu können. Forme die folgenden Potenzen so um, dass sie einen positiven Exponenten haben, indem du die Basis bei Bedarf durch ihren Kehrwert ersetzt. Du musst das Endergebnis nicht berechnen, gib nur die umgeformte Potenz an.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Finde die fehlende Zahl in jeder Lücke, sodass die Gleichungen stimmen. Schreibe die vollständige Gleichung in dein Heft.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Berechne den Wert der folgenden Potenzen, indem du sie zuerst in Potenzen mit positivem Exponenten umformst. Denke daran, dass das Ergebnis ein vollständig gekürzter Bruch sein muss.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Bestimme das Vorzeichen (positiv oder negativ) des Ergebnisses der folgenden Potenzen, ohne die vollständige Rechnung durchzuführen. Begründe deine Antwort damit, ob die Basis negativ ist und ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

Darío schreibt die folgende Lösung einer von seiner Lehrerin gestellten Aufgabe an die Tafel:

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

Zur Verteidigung seiner Antwort argumentiert er: „Das Minuszeichen im Exponenten macht die ganze Potenz zu einer negativen Zahl, und danach muss ich nur noch den Bruch umdrehen und quadrieren.“

1. a) Finde die beiden begrifflichen Fehler, die Darío gemacht hat. Erkläre klar den Unterschied zwischen dem, was das Minuszeichen an der Basis bewirkt, und dem, was das Minuszeichen im Exponenten bewirkt.
2. b) Korrigiere die Aufgabe, indem du den exakten Wert als vollständig gekürzten Bruch berechnest. Begründe zum Schluss, welches Vorzeichen das Ergebnis gehabt hätte, wenn der ursprüngliche Exponent $-3$ statt $-2$ gewesen wäre.

Betrachte zunächst ohne ausführliche schriftliche Rechnung aufmerksam diese drei Potenzen:

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Schätze zuerst begründet: Bestimme, welche dieser Potenzen ein Ergebnis kleiner als $1$ und welche ein Ergebnis größer als $1$ liefern. Sage außerdem voraus, ob zwei von ihnen genau denselben Endwert haben. Begründe deine Vorhersage mit den Eigenschaften von Brüchen und negativen Exponenten.
2. b) Berechne den exakten Wert von $A$, $B$ und $C$ als vollständig gekürzten Bruch und vergleiche die Ergebnisse mit deiner ersten Schätzung, um zu prüfen, ob deine Überlegung richtig war.

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze. Gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an (der Endwert muss nicht berechnet werden).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Berechne die folgenden Potenzen, die denselben Exponenten, aber verschiedene Basen haben. Denke daran, dass du zuerst die Basen multiplizieren und das Ergebnis dann mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren kannst. Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze und schreibe das Ergebnis als eine einzige Potenz mit rationaler Basis. Du musst den Endwert nicht berechnen, nur die vereinfachte Potenz angeben.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Wir haben einen besonderen Gummiball. Jedes Mal, wenn er auf dem Boden aufprallt, erreicht er eine Höhe, die $\frac{2}{3}$ der vorherigen Höhe beträgt.

Wir lassen den Ball aus einer Höhe von 2 Metern fallen:

1. a) Gib mithilfe einer Potenz die Höhe an, die er nach dem vierten Aufprall erreicht.
2. b) Ist diese Höhe größer oder kleiner als 0,3 Meter? Begründe deine Antwort mithilfe der Berechnung der Potenz.

Bestimme den Wert von $x$ in jeder der folgenden Gleichungen, sodass sie wahr sind. Denke an die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Bestimme den Wert der Variablen $x$ in jeder der folgenden Gleichungen mithilfe der Potenzgesetze für Potenzen mit rationaler Basis:

1. a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
2. b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
3. c) $ \frac{2^x \cdot 2^3}{2^{-1}} = 32 $