Ähnlichkeit – Grundlagen

Sarah hat zwei Fotos von ihrem Hund. Das erste ist $10 \text{ cm}$ breit und $15 \text{ cm}$ hoch. Das zweite ist eine Vergrößerung und ist $20 \text{ cm}$ breit und $30 \text{ cm}$ hoch. Sind diese beiden Fotos ähnliche Figuren? Begründe deine Antwort, indem du prüfst, ob die Maße proportional sind.

Betrachte die folgenden Rechteckpaare. Gib ohne aufwendige Rechnung an, welches von ihnen dem Original nicht ähnlich sein kann, und erkläre, warum, indem du auf die Form achtest.

Lukas hat ein Dreieck mit den Winkeln $40^\circ$, $60^\circ$ und $80^\circ$ gezeichnet. Wenn er ein neues, ähnliches Dreieck erstellt, indem er alle Seitenlängen verdoppelt, wie groß sind dann die Winkel des neuen Dreiecks? Erkläre, was mit den Winkeln zweier Figuren passiert, wenn sie ähnlich sind.

Berechne den Streckfaktor $k$, der das Rechteck $A$ auf das Rechteck $B$ abbildet, wenn die kürzere Seite von $A$ die Länge $4 \text{ cm}$ und die kürzere Seite von $B$ die Länge $12 \text{ cm}$ hat. Handelt es sich um eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung?

Ein Logo hat die Form eines regelmäßigen Fünfecks mit einer Seitenlänge von $3 \text{ cm}$. Für die Fassade eines Geschäfts wird ein ähnliches Logo mit dem Streckfaktor $k = 15$ angefertigt. Wie lang ist die Seite des neuen Logos?

Ein Illustrator entwirft zwei Versionen desselben rechteckigen Logos. Das ursprüngliche Logo hat die Abmessungen $12\text{ cm}$ Länge und $8\text{ cm}$ Breite. Er möchte eine vergrößerte Version erstellen, die ähnlich ist und deren Länge $30\text{ cm}$ misst:

1. Berechne den Streckfaktor $k$ der Vergrößerung.

2. Bestimme die Breite des neuen Logos.

3. Wenn der Umfang des kleinen Logos $40\text{ cm}$ beträgt, wie groß ist dann der Umfang des großen? Verwende zur Überprüfung den Zusammenhang zwischen den Umfängen ähnlicher Figuren.

Zeichne in ein Karogitter einen Buchstaben „L“, der $2$ Kästchen breit und $4$ Kästchen hoch ist. Zeichne daneben einen weiteren Buchstaben „L“, der dazu ähnlich ist, aber mit dem Streckfaktor $k = 0,5$. Wie viele Kästchen hoch ist die neue Figur?

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Lösung schicken.

Auf dem Display seines Handys sieht Markus eine Karte in einem bestimmten Maßstab. Wenn der Streckfaktor zwischen der Karte auf dem Display und der Wirklichkeit $k = \frac{1}{5000}$ beträgt, entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

• a) Die Karte ist eine Verkleinerung der Wirklichkeit.

• b) $1 \text{ cm}$ auf der Karte entspricht $5000 \text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

• c) Die Winkel zwischen den Straßen ändern sich auf der Karte, damit sie auf das Display passen.

Ein Architekt hat den Grundriss eines Zimmers im Maßstab 1:50 gezeichnet. Im Plan ist das Zimmer ein Rechteck mit $12\text{ cm}$ Länge und $8\text{ cm}$ Breite.

1. Berechne die tatsächlichen Maße des Zimmers in Metern.

2. Der Architekt möchte einen Teppich auslegen, der in Wirklichkeit $6\text{ m}^2$ einnimmt. Welchen Flächeninhalt hat dieser Teppich im Plan (in $\text{cm}^2$)?

3. Wenn er den Maßstab auf 1:100 ändern würde, wie würden sich die Maße der Zeichnung im Vergleich zum bisherigen Plan verändern?

Der Grundriss einer Wohnung ist im Maßstab $1:75$ gezeichnet. In diesem Plan ist die Küche ein Rechteck von $4 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$. Der Eigentümer möchte den Boden mit quadratischen Fliesen mit $40 \text{ cm}$ Seitenlänge erneuern.

1. a) Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt der Küche in Quadratmetern.
2. b) Wie viele ganze Fliesen werden mindestens benötigt, um den Boden der tatsächlichen Küche zu bedecken? (Beachte, dass Fliesenreste verwendet werden können, man aber nur ganze Fliesen kaufen kann.)

Wenn wir zwei ähnliche Vielecke mit dem Streckfaktor $k = 2,5$ haben und der Umfang des kleinen Vielecks $20 \text{ cm}$ beträgt, wie groß ist dann der Umfang des größeren Vielecks? Denke an den Zusammenhang zwischen Streckfaktor und Umfängen.

Carla hat ein rechteckiges Blatt von $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ für den Kunstunterricht und verbraucht genau eine Tube Tempera von $60\text{ ml}$, um es vollständig zu bemalen. Für eine Ausstellung in der Schule möchte sie eine vergrößerte, ähnliche Version anfertigen, indem sie die Länge aller Seiten mit $3$ multipliziert (also mit dem Streckfaktor $k = 3$). Ihr Mitschüler Hugo sagt ihr: „Da die Seiten dreimal so lang sind, brauchst du dreimal so viel Farbe, kauf also $3$ Tuben zu $60\text{ ml}$ ($180\text{ ml}$), dann reicht es.“\na) Benenne den Denkfehler, den Hugo macht, und erkläre mithilfe der Eigenschaften ähnlicher Figuren, warum die Farbmenge nicht proportional zum Faktor $k$ ist.\nb) Berechne, wie viele Milliliter Tempera und wie viele ganze Tuben Farbe Carla tatsächlich braucht, um das große Blatt zu bemalen.

Die Gemeinde wird auf den Boden eines Parks ein Kinder-Sportfeld malen, das zu einem regulären Futsal-Feld ähnlich sein soll. Das reguläre Feld ist $40\text{ m}$ lang und $20\text{ m}$ breit. Das Kinderfeld wird $20\text{ m}$ lang sein.\na) Schätze, ohne schon genau zu rechnen, begründet ab: Wird der Umfang des Kinderfelds die Hälfte oder ein Viertel des Umfangs des regulären Felds betragen? Und sein Flächeninhalt, die Hälfte, ein Viertel oder ein Achtel?\nb) Berechne nun den Streckfaktor $k$, den Umfang beider Felder und den Flächeninhalt beider Felder.\nc) Prüfe, ob deine Schätzungen aus Teilaufgabe a) mit den berechneten Werten übereinstimmen, und begründe den erhaltenen mathematischen Zusammenhang zwischen Streckfaktor, Umfängen und Flächeninhalten.

Wir haben zwei zylinderförmige Saftverpackungen, die zueinander ähnlich sind. Die kleine Verpackung hat eine Höhe von $10\text{ cm}$ und ein Fassungsvermögen von $250\text{ ml}$. Die große Verpackung hat eine Höhe von $20\text{ cm}$.

1. Wie groß ist der Streckfaktor $k$ von der kleinen zur großen Verpackung?

2. Berechne das Fassungsvermögen (Volumen) der großen Verpackung in Litern. Denke an den Zusammenhang zwischen Streckfaktor und Volumen ähnlicher Körper.

3. Wenn die Grundfläche der kleinen Verpackung $25\text{ cm}^2$ beträgt, wie groß ist dann die Grundfläche der großen?

Der Innenhof eines Kulturzentrums in deinem Bundesland hat die Form eines Trapezes mit einem Gesamtflächeninhalt von $54\text{ m}^2$, die längste Seite ist $12\text{ m}$ lang. Der Hausmeister möchte ein ähnliches Modell des Hofs für eine Glasvitrine bestellen. Aufgrund der Maße der Vitrine muss der Flächeninhalt des Modells genau $6\text{ m}^2$ betragen.\na) Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren hängt von $k^2$ ab. Stelle die passende Gleichung auf und berechne den Streckfaktor $k$ des Modells im Vergleich zum echten Hof.\nb) Bestimme, wie lang die Seite im Modell sein muss, die der längsten Seite von $12\text{ m}$ entspricht.\nc) Wenn der gesamte Umfang des echten Hofs $36\text{ m}$ beträgt, wie viele Zentimeter Holzleiste werden benötigt, um den Umfang des Modells einzufassen?

In einer Grafikdesign-Werkstatt bereiten sie ein dreieckiges Banner für eine Kampagne zur Nutzung des öffentlichen Nahverkehrs vor. Der erste Entwurf ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen $6\text{ cm}$ und $8\text{ cm}$. Für den endgültigen Aufbau benötigen sie ein ähnliches Banner mit dem Vergrößerungsfaktor $k = 4$. Um herauszufinden, wie viel Stoff das große Banner braucht, schlagen zwei Designer verschiedene Methoden vor:\n- Lenas Methode: Zuerst die neuen Kathetenlängen berechnen, indem man sie mit $4$ multipliziert, und damit den Flächeninhalt des großen Dreiecks mit der Formel $(\text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}) / 2$ berechnen.\n- Matteos Methode: Zuerst den Flächeninhalt des ursprünglichen Entwurfs berechnen und ihn direkt mit dem Quadrat des Faktors multiplizieren ($k^2$).\na) Löse die Aufgabe mit beiden Methoden Schritt für Schritt und prüfe rechnerisch, ob man zum gleichen Ergebnis kommt.\nb) Wenn die Figur kein einfaches Dreieck wäre, sondern ein Logo in Form eines unregelmäßigen Vielecks mit $7$ Seiten, dessen ursprünglichen Flächeninhalt wir bereits kennen ($35\text{ cm}^2$), welche der beiden Methoden würdest du wählen und warum? Begründe deine Wahl anhand der Menge an benötigten Daten und Rechnungen.

Zwei regelmäßige Fünfecke sind ähnlich. Der Umfang des ersten beträgt $75 \text{ cm}$. Man weiß, dass der Flächeninhalt des zweiten das $1,44$-Fache des Flächeninhalts des ersten beträgt.

1. a) Bestimme den Streckfaktor $k$ zwischen dem zweiten und dem ersten Fünfeck.
2. b) Berechne den Umfang des zweiten Fünfecks.
3. c) Wenn das Apothem (der Inkreisradius) des ersten Fünfecks $10,32 \text{ cm}$ misst, wie groß ist dann der Radius des Umkreises des zweiten Fünfecks? (Runde auf zwei Dezimalstellen.)

Ein Fernseher mit $50$ Zoll hat ein Seitenverhältnis von $16:9$ (das bedeutet, dass Breite und Höhe proportional zu $16$ und $9$ sind). Es gilt: $1$ Zoll entspricht $2,54 \text{ cm}$, und die „Zoll“ eines Fernsehers beziehen sich auf die Länge seiner Diagonale.

1. a) Berechne die tatsächlichen Abmessungen (Breite und Höhe) des Fernsehers in Zentimetern.
2. b) Wenn ein Bild mit $800 \times 450$ Pixeln verzerrungsfrei im Vollbild angezeigt wird, wie groß ist die Fläche eines Pixels auf dem tatsächlichen Bildschirm?

Ein Modell eines Wolkenkratzers im Maßstab $1:250$ hat ein Volumen von $320 \text{ cm}^3$ und seine Grundfläche hat einen Flächeninhalt von $20 \text{ cm}^2$.

1. a) Berechne die tatsächliche Höhe des Wolkenkratzers in Metern.
2. b) Wenn das tatsächliche Gebäude mit Glaspaneelen verkleidet werden soll, die $120$ € pro Quadratmeter kosten, berechne die Gesamtkosten für die Verkleidung der Fassade (Mantelfläche). Der Wolkenkratzer hat die Form eines geraden Prismas, und das Modell hat eine Mantelfläche von $180 \text{ cm}^2$.

Eine Gemeinde in Südspanien führt wegen der Dürre einen Wassersparplan durch und muss den Verbrauch der Schwimmbecken ihres städtischen Sportzentrums modellieren. Es gibt zwei Schwimmbecken in Form gerader Prismen, die zueinander ähnlich sind (sie haben dieselbe Form und dieselben Proportionen in Länge, Breite und Tiefe): das Planschbecken und das Freizeitbecken für Erwachsene. Das Planschbecken ist $10\text{ m}$ lang und hat ein Fassungsvermögen von $30\text{ m}^3$ Wasser ($30.000\text{ Liter}$). Das Erwachsenenbecken ist $25\text{ m}$ lang.\na) Modelliere die Situation, indem du den Streckfaktor $k$ bestimmst, der die Maße des Planschbeckens in die des Erwachsenenbeckens überführt.\nb) Berechne das gesamte Wasservolumen in Kubikmetern und in Litern, das zum Füllen des Erwachsenenbeckens nötig ist.\nc) Vor dem Befüllen muss eine Schutzschicht Harz auf den Boden und die vier Innenwände aufgetragen werden. Wenn für das Planschbecken $16\text{ kg}$ Harz verwendet wurden, berechne, wie viele Kilogramm für das Erwachsenenbecken benötigt werden.\nd) Erkläre, warum die Zunahme beim Verbrauch von Farbe/Harz nicht mit der Zunahme beim Wasserverbrauch übereinstimmt, wenn man beide Anlagen vergleicht.

Ein Schokoladenmeister aus Astorga stellt ähnliche massive Figuren in Form einer traditionellen Glocke her. Die kleine Figur ist $10\text{ cm}$ hoch, wiegt $125\text{ g}$ und wird für $3,50$ € verkauft. Für einen Sonderauftrag einer Bruderschaft möchte er eine ähnliche Riesenglocke herstellen, die genau $1\text{ kg}$ wiegt ($1.000\text{ g}$). Beide Figuren werden aus derselben reinen Schokolade gefertigt, sodass ihre Masse direkt proportional zu ihrem Volumen ist.\na) Leite aus dem Verhältnis der Massen (Volumina) den Wert des linearen Streckfaktors $k$ zwischen der Riesenglocke und der kleinen Glocke her.\nb) Welche Höhe hat die Riesenglocke?\nc) Zum Einwickeln wird metallisierte Cellophanfolie verwendet. Wenn die kleine Glocke $180\text{ cm}^2$ Folie benötigt, um vollständig bedeckt zu sein, berechne die Folienfläche, die zum Einwickeln der Riesenglocke nötig ist.\nd) Der Kunde behauptet: „Da die Riesenglocke doppelt so hoch ist wie die kleine, müsste der angemessene Preis das Doppelte sein: $7,00$ €.“ Begründe mathematisch, ob die Aussage des Kunden richtig ist oder nicht, und begründe, wie hoch der Preis der Riesenglocke sein müsste, wenn proportional zur verwendeten Schokoladenmenge abgerechnet wird.

Ein Parfümhersteller bringt zwei Größen seines Bestseller-Flakons heraus, die die Form ähnlicher quadratischer Pyramiden haben. Der „große“ Flakon hat eine Grundfläche von $144 \text{ cm}^2$ und eine Höhe von $15 \text{ cm}$. Der „Mini“-Flakon wurde so entworfen, dass seine gesamte Glasoberfläche genau ein Neuntel der Oberfläche des „großen“ Flakons beträgt. Wenn das Parfüm $0,25$ € pro $\text{cm}^3$ kostet, berechne den Preisunterschied zwischen dem Inhalt der beiden Flakons.

Um die Höhe eines Hochspannungsmastes zu messen, stellt ein Techniker fest, dass der Mast zu einem bestimmten Zeitpunkt einen Schatten von $18\text{ Meter}$ wirft. Gleichzeitig stellt er einen senkrechten Stab der Höhe $1,5\text{ Meter}$ auf, der einen Schatten von $2,25\text{ Meter}$ wirft.

1. Begründe, warum die Dreiecke aus Mast und Schatten sowie aus Stab und Schatten ähnlich sind.

2. Berechne die Höhe des Mastes.

Berechne den Wert der unbekannten Strecke $x$ in der folgenden Abbildung, wenn die Geraden $r$, $s$ und $t$ parallel sind. Wende die Strahlensätze an und gib das Ergebnis mit zwei Nachkommastellen an.

Zwei Dreiecke, $ABC$ und $A'B'C'$, liegen in Strahlensatzfigur (Strahlensatzposition). Das kleine Dreieck hat die Seitenlängen $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 6\text{ cm}$ und $AC = 4\text{ cm}$. Die entsprechende Seite $AB'$ des größeren Dreiecks ist $12,5\text{ cm}$ lang:

1. Wie groß ist der Streckfaktor vom kleineren zum größeren Dreieck?

2. Bestimme die Längen der Seiten $B'C'$ und $AC'$.

3. Zeige, dass das Verhältnis ihrer Flächeninhalte gleich dem Quadrat des Streckfaktors ist.

Entscheide, ob die folgenden Dreieckspaare ähnlich sind, und gib an, welchen Ähnlichkeitssatz du jeweils verwendet hast:

• Fall A: Dreieck 1 hat die Winkel $40^\circ$ und $75^\circ$. Dreieck 2 hat die Winkel $75^\circ$ und $65^\circ$.

• Fall B: Dreieck 1 hat die Seitenlängen $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ und $12\text{ cm}$. Dreieck 2 hat die Seitenlängen $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ und $16\text{ cm}$.

• Fall C: Beide Dreiecke haben einen Winkel von $50^\circ$. Im ersten sind die Seiten, die diesen Winkel einschließen, $4\text{ cm}$ und $7\text{ cm}$ lang. Im zweiten sind sie $8\text{ cm}$ und $14\text{ cm}$ lang.

Ein Straßenkünstler möchte den Schatten einer senkrecht stehenden Skulptur von $2,4 \text{ m}$ Höhe auf eine Wand werfen, die $6 \text{ m}$ entfernt ist. Dazu stellt er einen Scheinwerfer auf dem Boden im Abstand $d$ von der Skulptur auf. Wenn der auf die Wand geworfene Schatten genau $8 \text{ m}$ hoch sein soll, in welchem Abstand von der Skulptur muss er den Scheinwerfer aufstellen? Verwende die Strahlensätze, um deine Antwort zu begründen, und zeichne eine Skizze der ähnlichen Dreiecke.

Du kannst es auf Papier erledigen und ein Foto deiner Antwort senden.

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf der Hypotenuse diese in zwei Abschnitte (Projektionen der Katheten) der Längen $3,6\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$.

1. Berechne die Höhe des Dreiecks mit dem Höhensatz.

2. Berechne die Längen der Katheten mit dem Kathetensatz.

3. Zeichne eine Skizze des Dreiecks und trage alle berechneten Werte ein.

Du kannst es auf Papier machen und ein Foto deiner Lösung schicken.

In einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ (rechter Winkel bei $A$) wird die Höhe $h$ auf die Hypotenuse gezeichnet, die diese in zwei Abschnitte $m$ und $n$ teilt. Man weiß, dass die Kathete $b$ die Länge $15 \text{ cm}$ hat und ihre Projektion auf die Hypotenuse, $n$, die Länge $9 \text{ cm}$ hat. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks mithilfe des Kathetensatzes und des Höhensatzes.

Du kannst es auf Papier erledigen und ein Foto deiner Antwort senden.