Aufgaben: Faktoren aus der Wurzel ziehen

Um Faktoren aus einer Wurzel zu ziehen, fassen wir die wiederholten Faktoren des Radikanden so zusammen, wie es der Wurzelexponent vorgibt: Bei einer Quadratwurzel (Wurzelexponent $2$) kommt jede Gruppe aus $2$ gleichen Faktoren als ein einziger Faktor heraus; bei einer Kubikwurzel (Wurzelexponent $3$) kommt jede Gruppe aus $3$ heraus.

Betrachte das folgende Schema, das $\sqrt[3]{x^4}$ darstellt. Da $x^4 = x^3 \cdot x$, kommt die Gruppe aus $3$ als ein einziges $x$ heraus, und der übrig bleibende Faktor bleibt unter der Wurzel.

Ziehe nach diesem Muster alle möglichen Faktoren aus den folgenden Wurzeln:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Um Faktoren aus einer Wurzel zu ziehen, teilen wir den Exponenten des Radikanden durch den Wurzelexponenten.

• Der Quotient ist der Exponent des Faktors, der vor die Wurzel kommt.

• Der Rest ist der Exponent des Faktors, der unter der Wurzel bleibt.

Ziehe bei diesen Potenzen die Faktoren aus der Wurzel, indem du den Exponenten im Kopf zerlegst oder die Division durchführst:

1. a) $\sqrt{5^7}$ (Teile 7 durch 2.)
2. b) $\sqrt[3]{2^8}$ (Teile 8 durch 3.)
3. c) $\sqrt[4]{3^9}$ (Teile 9 durch 4.)

Oft begegnen uns Zahlen, die nicht in Faktoren zerlegt sind. Der erste Schritt muss immer die Primfaktorzerlegung der Zahl sein.

Um zum Beispiel $\sqrt{12}$ zu vereinfachen, überlegen wir zuerst, dass $12 = 2^2 \cdot 3$. Da die $2$ quadriert ist, kann sie aus der Quadratwurzel „entkommen“.

Zerlege in Primfaktoren und ziehe aus diesen Quadratwurzeln alles heraus, was du kannst:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Wir haben ein quadratisches Grundstück. Wir wissen, dass sein Flächeninhalt $72 \text{ m}^2$ beträgt, wollen aber wissen, wie lang seine Seite genau ist, und zwar in möglichst einfacher Form (indem wir Faktoren aus der Wurzel ziehen).

Denke daran: Wenn der Flächeninhalt eines Quadrats $l^2$ beträgt, dann ist die Seitenlänge $l = \sqrt{\text{Flächeninhalt}}$.

1. Zerlege die Zahl 72 in Primfaktoren.

2. Schreibe $\sqrt{72}$ mithilfe dieser Faktoren.

3. Ziehe die Zahlen heraus, die quadriert sind.

Manchmal stehen Zahlen und Buchstaben gemischt unter einer Wurzel. Das Vorgehen ist dasselbe: Wir behandeln die Zahl einerseits und jeden Buchstaben andererseits.

Vereinfache die folgenden Wurzeln, indem du alle möglichen Faktoren herausziehst:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

Wir können nicht nur aus dem Zähler Faktoren herausziehen, sondern auch aus dem Nenner, wenn unter der Wurzel Brüche stehen.

Wenn wir $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$ haben, können wir oben und unten unabhängig voneinander Faktoren herausziehen. In diesem Beispiel kommt $b^2$ als $b$ im Nenner heraus, und aus $a^3$ ziehen wir ein $a$ im Zähler heraus: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Versuche, diese Terme zu vereinfachen:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Tipp: Zerlege die 27 in Primfaktoren und lass sie im Nenner stehen.)

Wir spielen jetzt den umgekehrten Vorgang, um zu prüfen, ob du das Herausziehen verstanden hast. Wenn ich einen Faktor vor der Wurzel habe und ihn unter die Wurzel bringen will, muss ich ihn mit dem Wurzelexponenten potenzieren.

Zum Beispiel: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Ordne in deinem Heft jeden vereinfachten Term links der ursprünglichen Wurzel rechts zu (du musst nicht rechnen, überlege nur, welche Zahl herausgekommen ist):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Vereinfache die folgenden Wurzeln. Achte genau auf den Wurzelexponenten, denn in dieser Aufgabe sind Quadratwurzeln (Wurzelexponent 2) und Kubikwurzeln (Wurzelexponent 3) gemischt.

Denke daran:

• Bei $\sqrt{\quad}$ bilden wir Zweiergruppen.

• Bei $\sqrt[3]{\quad}$ bilden wir Dreiergruppen.

1. a) $\sqrt{3^2 \cdot 2}$
2. b) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$
3. c) $\sqrt{2^2 \cdot 3^3}$
4. d) $\sqrt[3]{5^4}$

Um die Wurzel $\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4}$ zu vereinfachen, dividiert Lea jeden Exponenten durch den Wurzelexponenten: $7 : 3 = 2$ (Rest $1$) und $4 : 3 = 1$ (Rest $1$). Anschließend schreibt sie in ihr Heft den folgenden Schritt:

$$\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4} = a \cdot b \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b}$$

1. a) Finde den inhaltlichen Fehler, den Lea beim Einsetzen der Quotienten und der Reste der Divisionen gemacht hat.
2. b) Erkläre mithilfe der Potenzregel $a^D = (a^c)^d \cdot a^r$, warum der Quotient der Exponent des Faktors vor der Wurzel und der Rest der Exponent des Faktors unter der Wurzel sein muss.
3. c) Schreibe die korrigierte Vereinfachung dieser Wurzel auf.

Wir wollen die Wurzel $\sqrt{180}$ untersuchen und annähern, ohne zunächst den Taschenrechner zu benutzen.

1. a) Schätze ab, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen $\sqrt{180}$ liegt, und begründe deine Antwort mithilfe der beiden nächstgelegenen Quadratzahlen.
2. b) Zerlege $180$ in Primfaktoren und ziehe alle möglichen Faktoren vor die Wurzel.
3. c) Es gilt $\sqrt{5} \approx 2,24$. Überprüfe, ob der Wert, der sich aus der Multiplikation des Faktors vor der Wurzel mit dieser Näherung ergibt, zu dem Intervall passt, das du in Teilaufgabe a) abgeschätzt hast.

Ziehe bei den folgenden Wurzeln mit Zahlen alle möglichen Faktoren vor die Wurzel. Dazu musst du zuerst die Zahlen unter der Wurzel in Primfaktoren zerlegen.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

Vereinfache die folgenden Wurzeln, die Variablen enthalten. Denke daran: Damit eine Variable vor die Wurzel gezogen werden kann, muss ihr Exponent mindestens so groß sein wie der Wurzelexponent.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Wir haben einen würfelförmigen Wassertank. Sein Gesamtvolumen beträgt $686 \text{ m}^3$. Berechne die Kantenlänge des Tanks und gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an (Faktoren vor die Wurzel ziehen).

In vielen naturwissenschaftlichen Formeln treten sehr große oder sehr kleine Zehnerpotenzen unter Wurzeln auf. Vereinfache die folgenden Terme, indem du Zehnerpotenzen vor die Wurzel ziehst:

1. a) $\sqrt{1,44 \cdot 10^7}$
2. b) $\sqrt[3]{2 \cdot 10^{14}}$
3. c) $\sqrt{0,00003}$ (Hilfe: Schreibe es zuerst als $3 \cdot 10^{-5}$)

Berechne die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten $10 \text{ cm}$ und $5 \text{ cm}$ lang sind. Wende den Satz des Pythagoras an und gib das Ergebnis an, indem du alle möglichen Faktoren vor die Wurzel ziehst.

Um Wurzeln addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichartig sein. Auf den ersten Blick sehen die folgenden Wurzeln verschieden aus. Ziehe bei jeder Wurzel Faktoren vor die Wurzel, um zu prüfen, ob der Wurzelteil derselbe ist, und gib sie gegebenenfalls vereinfacht an:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Vereinfache die folgenden Brüche mit Wurzeln, indem du sowohl im Zähler als auch im Nenner Faktoren vor die Wurzel ziehst. Kürze den entstehenden Bruch, wenn möglich:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$

Gib an, ob die folgenden Gleichungen wahr oder falsch sind, indem du die nötigen Faktoren vor die Wurzel ziehst:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

Beim Lösen einer Rechenaufgabe erhältst du als Endergebnis die vereinfachte Wurzel $12\sqrt[3]{5}$. Die ursprüngliche Aufgabe wurde von der Tafel gewischt, aber du weißt, dass sie aus dem Herausziehen von Faktoren aus einer exakten dritten Wurzel der Form $\sqrt[3]{A}$ stammte, wobei $A$ eine natürliche Zahl ist.

1. a) Rekonstruiere den ursprünglichen Radikanden $A$, indem du ihn zuerst als Primfaktorzerlegung schreibst und danach seinen Zahlenwert bestimmst.
2. b) Angenommen, das vereinfachte Ergebnis wäre $12\sqrt{5}$ (Quadratwurzel) gewesen und stammte aus einer Wurzel der Form $\sqrt{B}$. Welcher der beiden ursprünglichen Radikanden ($A$ oder $B$) ist größer? Begründe dies, indem du vergleichst, wie sich der Wurzelexponent beim Hineinziehen der Faktoren auswirkt, ohne Wurzeln zu berechnen.

Um die Wurzel $\sqrt{7200}$ zu vereinfachen, schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Karls Weg: Er zerlegt $7200$ in Primfaktoren ($7200 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2$), dividiert die Exponenten durch den Wurzelexponenten $2$ und zieht jeden Faktor gemäß Quotient und Rest heraus.

• Linas Weg: Sie schreibt $7200$ und fasst im Kopf bekannte Quadratzahlen zusammen: $7200 = 72 \cdot 100 = 36 \cdot 2 \cdot 100 = 6^2 \cdot 10^2 \cdot 2$, und zieht die Basen direkt vor die Wurzel.

1. a) Wende beide Methoden mit allen Zwischenschritten an und überprüfe, dass sich derselbe nicht weiter vereinfachbare Term ergibt.
2. b) Bewerte die beiden Verfahren: In welchen Fällen ist Linas Weg deutlich schneller, und in welchen Situationen ist Karls Algorithmus unverzichtbar?
3. c) Wenn du $\sqrt{1848}$ vereinfachen sollst, welche der beiden Methoden würdest du wählen? Begründe deine Wahl.

Berechne und vereinfache die folgende Wurzel, indem du den Radikanden in Primfaktoren zerlegst. Achtung: Der Radikand ist eine negative Zahl und der Wurzelexponent ist ungerade, daher existiert das Ergebnis in den reellen Zahlen. Ziehe alle möglichen Faktoren vor die Wurzel.

$$ \sqrt[3]{-54000} $$

Vereinfache den folgenden Term mit Wurzeln. Verwende dazu die Potenzgesetze, um gleichartige Faktoren unter der Wurzel zusammenzufassen, bevor du Faktoren vor die Wurzel ziehst. Denke daran: Ein negativer Exponent entspricht dem Kehrwert der Basis mit positivem Exponenten.

$$ \sqrt[4]{\frac{32 \cdot x^6 \cdot y^{-3}}{81 \cdot z^5}} $$

Manchmal muss man, bevor man Faktoren herauszieht, unter der Wurzel rechnen. Hier kannst du nicht direkt Faktoren herausziehen, weil eine Summe und eine Differenz vorkommen. Klammere zuerst unter der Wurzel einen gemeinsamen Faktor aus und ziehe danach alles heraus, was möglich ist.

$$ \sqrt{18x^5 + 50x^5 - 8x^5} $$

Wir haben ein quadratisches Grundstück mit einem Flächeninhalt von $720 \text{ m}^2$. Wir wollen eine Bewässerungsleitung diagonal über das Grundstück verlegen. Berechne die exakte Länge der Leitung und gib das Ergebnis als vereinfachte Wurzel an (möglichst viele Faktoren vor die Wurzel ziehen).

In der wissenschaftlichen Schreibweise müssen wir manchmal den Exponenten der Zehnerpotenz anpassen, um Faktoren aus einer Wurzel zu ziehen. Berechne den exakten Wert der folgenden Quadratwurzel, indem du alle möglichen Faktoren vor die Wurzel ziehst, und gib das Ergebnis in vereinfachter wissenschaftlicher Schreibweise an.

$$ \sqrt{1,2 \cdot 10^7} $$

Vereinfache die folgende verschachtelte Wurzel. Fasse den Term zuerst zu einer einzigen Wurzel zusammen, indem du die Wurzelexponenten multiplizierst, und schreibe den Radikanden als Potenz. Ziehe zum Schluss alle möglichen Faktoren vor die Wurzel.

$$ \sqrt{\sqrt[3]{64 \cdot a^{13} \cdot b^7}} $$

Das folgende Polynom unter der Quadratwurzel entspricht einer binomischen Formel (dem Quadrat eines Binoms oder Trinoms). Faktorisiere das Polynom unter der Wurzel und vereinfache den Term, indem du die entstehenden Faktoren vor die Wurzel ziehst.

$$ \sqrt{9x^2 - 30x + 25} $$

Berechne das Volumen eines Würfels, dessen Kante $a = \sqrt[3]{16x^4}$ lang ist. Gib das vereinfachte Endergebnis an, indem du alle möglichen Faktoren aus der entstehenden Wurzel ziehst. Denke daran: Das Volumen eines Würfels ist $V = a^3$, aber in dieser Aufgabe sollst du zuerst $a$ vereinfachen und dann das Volumen durch Rechnen mit Wurzeln bestimmen.

$$ \text{Berechne } V \text{ für } a = \sqrt[3]{16x^4} $$

Bei der Untersuchung von Verkehrsunfällen in Spanien verwendet die Dirección General de Tráfico (DGT) Ausdrücke aus der Physik, um die geschätzte Geschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$) vor einer Notbremsung auf nasser Fahrbahn zu berechnen:

$$v = \sqrt{250 \cdot \mu \cdot d}$$

Dabei ist $\mu$ der Reibungskoeffizient zwischen Reifen und Asphalt (dimensionslos) und $d$ der Bremsweg (in Metern). Auf einer normalen Landstraße mit der Höchstgeschwindigkeit $90\text{ km/h}$ wird bei nassem Belag mit $\mu = \frac{2}{5}$ eine Bremsspur von $d = 45\text{ m}$ gemessen.

1. a) Setze die Daten in den Term ein und vereinfache die Wurzel, indem du alle möglichen Faktoren herausziehst, um die Geschwindigkeit exakt als $k\sqrt{m}$ mit $k, m \in \mathbb{N}$ anzugeben.
2. b) Es gilt $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$. Grenze den Wert der geschätzten Geschwindigkeit ein und entscheide begründet, ob das Fahrzeug vor dem Bremsen die gesetzliche Höchstgeschwindigkeit überschritten hat.
3. c) Ein Zeuge behauptet: „Wäre die Spur doppelt so lang gewesen ($90\text{ m}$), hätte das bedeutet, dass das Fahrzeug genau doppelt so schnell fuhr.“ Nutze das Herausziehen von Faktoren aus der Wurzel, um algebraisch zu begründen, ob die Aussage des Zeugen wahr oder falsch ist.

In einer Aufgabe mit Variablen sollen Faktoren aus der Wurzel $\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}}$ gezogen werden, wobei in der Aufgabe festgelegt ist, dass $x > 0$ und $y < 0$ gilt. Sergio gibt die folgende Antwort ab:

$$\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5^2 \cdot x^2 \cdot x}{(y^3)^2}} = \frac{5x}{y^3}\sqrt{2x}$$

1. a) Zeige, dass Sergios Ergebnis widersprüchlich ist, indem du die Vorzeichen untersuchst: Bestimme begründet, welches Vorzeichen die Ausgangswurzel hat und welches Vorzeichen Sergios Endterm gemäß den Bedingungen der Aufgabe ($x > 0$, $y < 0$) hat.
2. b) Korrigiere Sergios Rechnung mithilfe der Regel $\sqrt{a^2} = |a|$ und gib den richtigen vereinfachten Term ohne Betragsstriche an.
3. c) Wäre der Term von ungeradem Wurzelexponenten gewesen, zum Beispiel $\sqrt[3]{\frac{50x^4}{y^6}}$ mit denselben Bedingungen für $x$ und $y$, hätte sich dann beim Herausziehen von Faktoren derselbe Vorzeichenkonflikt ergeben? Begründe deine Antwort mithilfe der Eigenschaften von Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten.