Aufgaben: Potenzen rationaler Zahlen

Berechne den Wert der folgenden Potenzen. Denke daran, dass du sowohl Zähler als auch Nenner mit dem angegebenen Exponenten potenzieren musst. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

In der Mathematik müssen wir manchmal das Vorzeichen des Exponenten ändern, um rechnen zu können. Forme die folgenden Potenzen so um, dass sie einen positiven Exponenten haben, indem du die Basis bei Bedarf durch ihren Kehrwert ersetzt. Du musst das Endergebnis nicht berechnen, gib nur die umgeformte Potenz an.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze. Gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an (der Endwert muss nicht berechnet werden).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Wir haben eine kleine quadratische Fliese für ein Mosaik. Die Seitenlänge der Fliese beträgt $\frac{2}{5}$ Meter. Berechne den Flächeninhalt dieser Fliese und gib das Ergebnis als Bruch an.

Nutze die folgende Skizze als Hilfe:

Bestimme das Vorzeichen (positiv oder negativ) des Ergebnisses der folgenden Potenzen, ohne die vollständige Rechnung durchzuführen. Begründe deine Antwort damit, ob die Basis negativ ist und ob der Exponent gerade oder ungerade ist.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

Manchmal verwechseln wir die Größe von Brüchen, wenn wir sie potenzieren. Betrachte die folgende Grafik, die die Einheit, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ und $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ darstellt.

Ordne die folgenden Potenzen nach dieser Überlegung der Größe nach, beginnend mit der kleinsten:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

Finde die fehlende Zahl in jeder Lücke, sodass die Gleichungen stimmen. Schreibe die vollständige Gleichung in dein Heft.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Berechne die folgenden Potenzen, die denselben Exponenten, aber verschiedene Basen haben. Denke daran, dass du zuerst die Basen multiplizieren und das Ergebnis dann mit dem gemeinsamen Exponenten potenzieren kannst. Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

Darío schreibt die folgende Lösung einer von seiner Lehrerin gestellten Aufgabe an die Tafel:

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

Zur Verteidigung seiner Antwort argumentiert er: „Das Minuszeichen im Exponenten macht die ganze Potenz zu einer negativen Zahl, und danach muss ich nur noch den Bruch umdrehen und quadrieren.“

1. a) Finde die beiden begrifflichen Fehler, die Darío gemacht hat. Erkläre klar den Unterschied zwischen dem, was das Minuszeichen an der Basis bewirkt, und dem, was das Minuszeichen im Exponenten bewirkt.
2. b) Korrigiere die Aufgabe, indem du den exakten Wert als vollständig gekürzten Bruch berechnest. Begründe zum Schluss, welches Vorzeichen das Ergebnis gehabt hätte, wenn der ursprüngliche Exponent $-3$ statt $-2$ gewesen wäre.

Betrachte zunächst ohne ausführliche schriftliche Rechnung aufmerksam diese drei Potenzen:

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Schätze zuerst begründet: Bestimme, welche dieser Potenzen ein Ergebnis kleiner als $1$ und welche ein Ergebnis größer als $1$ liefern. Sage außerdem voraus, ob zwei von ihnen genau denselben Endwert haben. Begründe deine Vorhersage mit den Eigenschaften von Brüchen und negativen Exponenten.
2. b) Berechne den exakten Wert von $A$, $B$ und $C$ als vollständig gekürzten Bruch und vergleiche die Ergebnisse mit deiner ersten Schätzung, um zu prüfen, ob deine Überlegung richtig war.

Berechne den Wert der folgenden Potenzen, indem du sie zuerst in Potenzen mit positivem Exponenten umformst. Denke daran, dass das Ergebnis ein vollständig gekürzter Bruch sein muss.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Vereinfache die folgenden Terme mithilfe der Potenzgesetze und schreibe das Ergebnis als eine einzige Potenz mit rationaler Basis. Du musst den Endwert nicht berechnen, nur die vereinfachte Potenz angeben.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Wir haben einen besonderen Gummiball. Jedes Mal, wenn er auf dem Boden aufprallt, erreicht er eine Höhe, die $\frac{2}{3}$ der vorherigen Höhe beträgt.

Wir lassen den Ball aus einer Höhe von 2 Metern fallen:

1. a) Gib mithilfe einer Potenz die Höhe an, die er nach dem vierten Aufprall erreicht.
2. b) Ist diese Höhe größer oder kleiner als 0,3 Meter? Begründe deine Antwort mithilfe der Berechnung der Potenz.

Vereinfache die folgenden Terme. Zerlege dazu zuerst die Basen in Primfaktoren, damit alle Basen gleich sind, und wende dann die Potenzgesetze an.

1. a) $(\frac{4}{9})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5$
2. b) $(\frac{25}{4})^3 : (\frac{5}{2})^{-2}$

Bestimme den Wert von $x$ in jeder der folgenden Gleichungen, sodass sie wahr sind. Denke an die Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Betrachte die Abbildung eines Zauberwürfels. Angenommen, die Kante eines großen Würfels misst $L$.

Wenn wir die Kantenlänge halbieren ($\frac{1}{2}L$), wie ändert sich dann sein Volumen?

1. a) Berechne das Volumen des ursprünglichen Würfels ($V_{\text{groß}}$) und des verkleinerten Würfels ($V_{\text{klein}}$) in Abhängigkeit von $L$.
2. b) Gib das Verhältnis $\frac{V_{\text{klein}}}{V_{\text{groß}}}$ als Potenz zur Basis $\frac{1}{2}$ an.
3. c) Wenn der große Würfel ein Volumen von $512 \text{ cm}^3$ hat, wie groß ist dann das Volumen des verkleinerten Würfels?

Führe die folgenden zusammengesetzten Rechnungen Schritt für Schritt unter Beachtung der Rechenreihenfolge durch. Gib das Endergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

$$ \left( \frac{2}{3} - 1 \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot 2^4 - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Wenn eine falsch ist, schreibe die richtige Gleichung auf.

1. a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$
2. b) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^5$
3. c) $(\frac{x}{y})^{-1} \cdot (\frac{y}{x})^{-1} = 1$
4. d) $\frac{a^3}{b^3} = (\frac{a}{b})^3$

In einem Bericht der Flussgebietsbehörde für den Guadalquivir zur Beobachtung der Dürre schätzen die Fachleute, dass der Abfluss eines Nebenflusses in Trockenperioden gleichmäßig abnimmt: Mit jedem Monat ohne Regen beträgt der Abfluss $\frac{2}{3}$ des Abflusses des Vormonats. Die Hydrologen modellieren diese Entwicklung mit dem Term $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^t$, wobei $C_0$ der aktuelle Abfluss (in $\text{m}^3/\text{s}$) ist und $t$ die vergangene Zeit in Monaten darstellt ($t > 0$ zukünftige Monate, $t < 0$ vergangene Monate).

1. a) Ein Techniker behauptet, dass man zur Berechnung des Abflusses, den der Nebenfluss vor 3 Monaten hatte, den Faktor $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$ anwenden muss. Berechne diesen Faktor als vollständig gekürzten Bruch und erkläre den physikalischen und mathematischen Sinn davon, dass der Faktor, der sich beim Umkehren des Bruchs ergibt, echt größer als $1$ ist.
2. b) Wenn der heute an der Messstation gemessene Abfluss $C_0 = 16\text{ m}^3/\text{s}$ beträgt, wie groß war dann der geschätzte Abfluss vor 2 Monaten ($t = -2$)? Und wie groß wird er in 2 Monaten sein ($t = 2$)? Gib beide Ergebnisse als vollständig gekürzte Brüche an.

Finde einen vollständig gekürzten Bruch $\frac{a}{b}$ und eine ganze Zahl $n$, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{81}{16}$

2) Der Exponent $n$ ist eine negative ganze Zahl, die echt kleiner als $-1$ ist.

3) Für den Basisbruch gilt $0 < \frac{a}{b} < 1$.

1. a) Bestimme Schritt für Schritt alle möglichen Paare von Werten für $\frac{a}{b}$ und $n$ und begründe, wie du die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner verwendest.
2. b) Wenn der Bruch nicht vollständig gekürzt sein müsste, könntest du dann eine andere positive Basis finden, die mit einem anderen negativen ganzzahligen Exponenten dasselbe Ergebnis liefert? Und was würde passieren, wenn wir zuließen, dass die Basis $\frac{a}{b}$ negativ ist? Untersuche und begründe die zusätzlichen möglichen Lösungen, die in beiden Fällen entstehen.

Vereinfache den folgenden Term mithilfe der Potenzgesetze. Das Endergebnis darf keine negativen Exponenten enthalten und muss maximal vereinfacht sein. Achte genau auf die Vorzeichen der Basen und auf die Klammern.

$$ \left[ \frac{(x^2 \cdot y^{-3})^{-2} \cdot (x^{-1} \cdot y^2)^3}{(x^3 \cdot y^{-4})^{-1}} \right]^{-2} $$

Berechne den exakten Wert der folgenden zusammengesetzten Rechnung mit Brüchen und ganzzahligen Exponenten. Denke daran, die Rechenreihenfolge zu beachten und mit vollständig gekürzten Brüchen zu arbeiten.

$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \cdot \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

In der Architektur werden oft fraktale Entwürfe verwendet, bei denen sich eine Figur in verschiedenen Maßstäben wiederholt. Stell dir vor, wir entwerfen ein dreieckiges Glasfenster nach diesem Muster:

Wir beginnen mit einem gleichseitigen Dreieck mit dem Flächeninhalt $A$. In Schritt 1 teilen wir das Dreieck in 4 gleich große Dreiecke und entfernen das mittlere (das umgekehrte Dreieck). In Schritt 2 wiederholen wir den Vorgang mit den 3 verbleibenden Dreiecken, und so weiter.

1. Schreibe die Potenz mit rationaler Basis auf, die den Anteil der Fläche darstellt, der nach Schritt $n$ gefärbt bleibt.

2. Wenn der anfängliche Flächeninhalt $256 \text{ cm}^2$ beträgt, berechne den verbleibenden Flächeninhalt nach 4 Iterationen.

Vereinfache den folgenden Term, indem du die Basen in Primfaktoren zerlegst. Das Ergebnis soll als eine einzige Potenz oder als Produkt von Potenzen mit Primzahlbasen angegeben werden.

$$ \frac{27^{-2} \cdot (-12)^4 \cdot 9^{-1}}{18^3 \cdot (-3)^{-5}} $$

Bestimme den Wert der Variablen $x$ in jeder der folgenden Gleichungen mithilfe der Potenzgesetze für Potenzen mit rationaler Basis:

1. a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
2. b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
3. c) $ \frac{2^x \cdot 2^3}{2^{-1}} = 32 $

Ein handelsüblicher Zauberwürfel der Größe $3 \times 3 \times 3$ besteht aus kleinen Einheitswürfeln. Stell dir vor, wir bauen riesige Würfel aus kleinen Würfeln mit 1 cm Kantenlänge.

1. Ein riesiger Würfel hat das Volumen $8^{4} \text{ cm}^3$. Gib seine Kantenlänge als Potenz zur Basis 2 an.

2. Wir streichen die Außenseite dieses riesigen Würfels an. Wie viele Einheitswürfel haben mindestens eine angemalte Seitenfläche? Gib die Rechnung mithilfe von Potenzen und der Differenz der Volumina an.

Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten, ohne ihren Dezimalwert zu berechnen. Nutze dazu die Potenzgesetze (Tipp: Versuche, gleiche Basen oder gleiche Exponenten zu erzeugen). Begründe deine Antwort Schritt für Schritt.

$$ A = 2^{60} \quad ; \quad B = 3^{40} \quad ; \quad C = 5^{30} \quad ; \quad D = (0,5)^{-50} $$

Die Speicherkapazität von Computern ist exponentiell gewachsen.

Es gilt:

• 1 Kilobyte (KB) = $2^{10}$ Byte

• 1 Megabyte (MB) = $2^{10}$ KB

• 1 Gigabyte (GB) = $2^{10}$ MB

• 1 Terabyte (TB) = $2^{10}$ GB

Berechne, wie viele Musikdateien, die durchschnittlich je $4 \cdot 10^6$ Byte belegen, ungefähr auf eine 2-TB-Festplatte passen. Gib das Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise und als ungefähre Potenz zur Basis 2 an (verwende $10^3 \approx 2^{10}$).

Um den folgenden Term mit Brüchen und ganzzahligen Exponenten zu vereinfachen:

$$E = \frac{\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^{-2}\right]^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{-5}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{-2}}$$

schlagen zwei Schüler der Klasse 9 zwei verschiedene Strategien vor:

• Lenas Strategie: Sie arbeitet zuerst mit den Vorzeichen und den Kehrwerten; sie schreibt jede Potenz mit positivem Exponenten, indem sie die einzelnen Brüche umkehrt, zerlegt alle Basen in Primfaktoren ($2$ und $3$) und vereinfacht den entstehenden Doppelbruch mit den Potenzgesetzen für natürliche Exponenten.

• Pauls Strategie: Er behält die Struktur der rationalen Basen bei und schreibt alles als Potenzen zur Basis $\frac{3}{4}$. Dazu nutzt er, dass $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$ und dass $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$ gilt, bestimmt das Gesamtvorzeichen anhand der geraden und ungeraden Exponenten und rechnet mit den ganzzahligen Exponenten über die üblichen Potenzgesetze, bevor er irgendeine große Zahl ausrechnet.

1. a) Löse den gesamten Term nach Lenas Methode.
2. b) Löse den gesamten Term nach Pauls Methode.
3. c) Vergleiche beide Wege: Welcher kommt mit weniger Rechenschritten aus und verringert die Fehlergefahr bei mehrstöckigen Brüchen? Begründe, welche der beiden Methoden du einem Mitschüler empfehlen würdest.

Wir wollen einen Term mit Potenzen von Brüchen der Form

$$M = \frac{\left(\frac{x}{y}\right)^p \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^q}{\left(\frac{x}{y}\right)^r}$$

konstruieren, wobei $x, y \neq 0$ gilt und die Exponenten $p, q, r$ ganze Zahlen sind. Der Term muss gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1) Nach dem Vereinfachen mit den Potenzgesetzen ist das Ergebnis genau $\left(\frac{x}{y}\right)^{-3}$.

2) Mindestens zwei der drei Exponenten ($p, q, r$) sind ganze Zahlen, die streng kleiner als null sind.

3) Der Exponent $q$ darf nicht null sein ($q \neq 0$).

1. a) Formuliere Bedingung (1) als Gleichung, die die Exponenten $p$, $q$ und $r$ verbindet, indem du zuvor die Basis $\frac{y}{x}$ als Potenz zur Basis $\frac{x}{y}$ schreibst.
2. b) Finde ein Tripel ganzer Zahlen $(p, q, r)$, das alle geforderten Bedingungen erfüllt, und überprüfe deine Lösung.
3. c) Ein Mitschüler behauptet, es sei unmöglich, ein gültiges Tripel zu finden, wenn man eine vierte Bedingung hinzufügt: $p + q + r = 1$. Zeige begründet, ob die Behauptung deines Mitschülers wahr oder falsch ist, indem du das passende Gleichungssystem aufstellst.