Aufgaben: Sachaufgaben zu quadratischen Gleichungen

Finde eine positive Zahl, für die das Dreifache ihres Quadrats genau so groß ist wie das Zwölffache dieser Zahl.

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist $156$. Um welche Zahlen handelt es sich?

Die Grundseite eines rechteckigen Grundstücks ist $5$ Meter länger als seine Höhe. Der gesamte Flächeninhalt beträgt $150 \text{ m}^2$. Berechne die Abmessungen.

Zieht man vom Quadrat des Alters, das Lea in $3$ Jahren haben wird, das Dreifache ihres Alters vor $2$ Jahren ab, erhält man $55$. Wie alt ist Lea jetzt?

In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete $7 \text{ cm}$ länger als die andere. Die Hypotenuse ist $13 \text{ cm}$ lang. Berechne die Länge beider Katheten.

Das Produkt zweier aufeinanderfolgender positiver gerader Zahlen ist $288$. Bestimme diese Zahlen.

Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist $130$. Bestimme, um welche Zahlen es sich handelt.

Vergrößert man die Seitenlänge einer quadratischen Keramikfliese um $4 \text{ cm}$, vervierfacht sich ihr Flächeninhalt. Wie lang war die Seite ursprünglich?

Markus löst in seiner Klassenarbeit die folgende Aufgabe: „Der Boden eines rechteckigen Lagerraums ist $5\text{ m}$ länger als breit. Der gesamte Flächeninhalt beträgt $66\text{ m}^2$. Wie groß sind die Abmessungen?".

Zur Lösung stellt er $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$ auf. Er wendet die Lösungsformel an und erhält richtig die algebraischen Lösungen $x_1 = 6$ und $x_2 = -11$. Anschließend folgert er: „Es gibt zwei mögliche Lagerräume: einen mit $6\text{ m}$ Breite und $11\text{ m}$ Länge und einen mit $11\text{ m}$ Breite und $16\text{ m}$ Länge, denn Entfernungen können nicht negativ sein, also ändern wir das Vorzeichen bei $-11$ und addieren $5$."

1. a) Benenne genau den begrifflichen Fehler, den Markus bei der Deutung der negativen Lösung $x_2 = -11$ macht.
2. b) Erkläre, warum die algebraische Gleichung zwei Lösungen liefert, während die geometrische Aufgabe nur eine zulässt.
3. c) Korrigiere die Antwort, indem du die tatsächlichen Abmessungen des Lagerraums bestimmst, und berechne, wie viele Meter Fußleiste benötigt werden, um den gesamten Umfang zu säumen (ohne Türen abzuziehen).

Ein Keramikkünstler in Dortmund entwirft eine quadratische Dekorfliese. Für eine Sonderbestellung verändert er die Form, indem er die Grundseite um $3\text{ cm}$ verlängert und die Höhe um $2\text{ cm}$ verkürzt. Es entsteht ein rechteckiges Stück mit einem Flächeninhalt von $84\text{ cm}^2$.

1. a) Schätze zunächst, ohne die Gleichung zu lösen: Da der neue Flächeninhalt ($84\text{ cm}^2$) dem des ursprünglichen Quadrats sehr ähnlich sein muss, schätze, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die ursprüngliche Seitenlänge der Fliese liegen muss.
2. b) Lege die Variable fest, stelle die zugehörige quadratische Gleichung auf und löse sie Schritt für Schritt, um die genaue Seitenlänge der ursprünglichen Fliese zu bestimmen.
3. c) Überprüfe, ob deine rechnerische Lösung zu deiner anfänglichen Schätzung passt, und prüfe anhand der Aufgabenstellung, dass die Abmessungen des neuen Rechtecks den angegebenen Flächeninhalt ergeben.

Ein rechteckiges Schwimmbecken von $10 \text{ m}$ Länge und $6 \text{ m}$ Breite ist von einem Rasenweg gleichmäßiger Breite $x$ umgeben. Der Flächeninhalt allein des Weges beträgt $80 \text{ m}^2$. Wie breit ist der Weg?

Für den Bau eines Drachens benötigt man ein Stoffstück in Form einer Raute. Die längere Diagonale ist $4 \text{ cm}$ länger als die kürzere, und der gesamte Flächeninhalt des Drachens beträgt $96 \text{ cm}^2$. Berechne die Länge beider Diagonalen.

Eine Gruppe von Freunden möchte ein Hochzeitsgeschenk kaufen, das $120$ Euro kostet und zu gleichen Teilen bezahlt wird. Kurzfristig kommen noch zwei weitere Freunde dazu, sodass jeder der bisherigen $3$ Euro weniger zahlen muss als ursprünglich vorgesehen. Wie viele Freunde waren ursprünglich in der Gruppe?

Ein Geschoss wird senkrecht nach oben abgeschossen. Seine Höhe $h$ (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) wird durch den Term $h = 40t - 5t^2$ beschrieben. Zu welchen Zeitpunkten befindet sich das Geschoss genau in einer Höhe von $75 \text{ Meter}$?

Der Einkaufspreis einer Partie T-Shirts beträgt $300$ Euro. Der Verkäufer behält $5$ T-Shirts für seine Familie und verkauft den Rest jeweils für $2$ Euro mehr, als jedes einzelne gekostet hat. Wenn er nach dem Verkauf aller einen Reingewinn von $60$ Euro erzielt (d. h. insgesamt $360$ Euro einnimmt), wie viele T-Shirts hat er ursprünglich gekauft?

Ein Technologieunternehmen stellt rechteckige Solarmodule her. Die Länge des Moduls muss das Doppelte seiner Breite minus $1 \text{ Meter}$ betragen. Für ein neues Modell soll der Flächeninhalt des Moduls $28 \text{ m}^2$ betragen. Bestimme seine Abmessungen.

Der Altersunterschied zwischen einem Großvater und seinem Enkel beträgt $56$ Jahre. Vor $4$ Jahren war das Alter des Großvaters genau das Quadrat des Alters des Enkels. Wie alt sind die beiden jetzt?

Bei einem Leichtathletikwettkampf wird eine Kugel gestoßen. Die Flugbahn folgt einer Parabel mit der Gleichung $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, wobei $x$ die horizontale Entfernung in Metern und $y$ die Höhe in Metern ist. In welcher horizontalen Entfernung landet die Kugel auf dem Boden?

Zur Förderung nachhaltiger Mobilität plant eine Gemeinde einen neuen umzäunten Fahrradparkplatz mit $180\text{ m}^2$ Fläche. Wegen der Begrenzung durch den Gehweg muss die Tiefe (Breite) der Anlage genau $8\text{ m}$ kleiner sein als ihre Front (Länge).

1. a) Nenne die Länge der Front in Metern $x$, schreibe den Term für die Tiefe auf und stelle eine einzige quadratische Gleichung auf, die den Flächeninhalt beschreibt.
2. b) Löse die Gleichung, untersuche die Bedeutung der beiden erhaltenen mathematischen Lösungen und bestimme die tatsächlichen Abmessungen des Grundstücks.
3. c) Die Gemeinde hat ein Höchstbudget von $8000\text{ Euro}$. Der Drainagebelag kostet $35\text{ Euro/m}^2$ und der Sicherheitszaun, der alle vier Seiten umgibt, kostet $25\text{ Euro}$ pro laufendem Meter. Prüfe rechnerisch, ob das bereitgestellte Budget für die Ausführung der Arbeiten ausreicht.

Eine Lehrkraft möchte für ihre Klasse eine geometrische Entwurfsaufgabe vorbereiten, deren Lösung auf die quadratische Gleichung $x^2 - 15x + 54 = 0$ führt, deren Lösungen $x_1 = 9$ und $x_2 = 6$ sind.

1. a) Formuliere eine Aufgabe mit Sachbezug (z. B. einen Gemüsegarten einzäunen oder eine Terrasse entwerfen), in der der halbe Umfang ($15\text{ m}$) und der Flächeninhalt ($54\text{ m}^2$) vorkommen, sodass sich beim Aufstellen unmittelbar diese Gleichung ergibt.
2. b) Löse die Gleichung und deute, warum in diesem besonderen Fall BEIDE Lösungen positiv und zulässig sind, und erkläre, was sie geometrisch darstellen.
3. c) Ändere in deiner Aufgabe nur die Angabe des Flächeninhalts so, dass eine physikalisch unmögliche Situation entsteht (d. h., dass sich mit diesem halben Umfang kein Rechteck konstruieren lässt). Begründe deinen Vorschlag, indem du das Vorzeichen der Diskriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) der neuen Gleichung untersuchst.

Gegeben ist eine rechteckige Pappe von $30 \text{ cm}$ Länge und $20 \text{ cm}$ Breite. Daraus soll eine oben offene Schachtel entstehen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge $x$ ausschneidet und die Seitenflächen nach oben faltet. Der Flächeninhalt der Grundfläche der entstandenen Schachtel soll $336 \text{ cm}^2$ betragen. Berechne den Wert von $x$ und das Volumen der Schachtel.

Zwei Rohre füllen zusammen einen Wassertank in $6$ Stunden. Wäre nur das erste Rohr geöffnet, würde es $5$ Stunden weniger zum Füllen des Tanks brauchen als das zweite allein. Wie lange würde jedes Rohr allein zum Füllen des Tanks brauchen?

Zwei Autos fahren gleichzeitig von derselben Kreuzung auf zwei zueinander senkrechten Straßen los. Eines fährt $10 \text{ km/h}$ schneller als das andere. Nach $2$ Stunden beträgt der Abstand zwischen ihnen in Luftlinie $100 \text{ km}$. Mit welcher Geschwindigkeit fährt jedes der beiden Autos?

Ein Anleger legt ein Kapital von $5000$ Euro zu einem bestimmten jährlichen Zinssatz mit Zinseszins an. Nach zwei Jahren beträgt das angesammelte Kapital $5408$ Euro. Welcher jährliche Zinssatz wurde angewendet?

Ein Radfahrer fährt von Dorf A nach Dorf B, die $60 \text{ km}$ voneinander entfernt sind. Auf dem Rückweg ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit wegen Ermüdung um $5 \text{ km/h}$ geringer als auf dem Hinweg, sodass er für dieselbe Strecke $1$ Stunde länger braucht. Mit welcher Geschwindigkeit ist er auf dem Hinweg gefahren?

Ein Handwerker möchte einen Holzrahmen für einen rechteckigen Spiegel entwerfen. Die Maße des Spiegels sind $80 \text{ cm}$ Höhe und $60 \text{ cm}$ Breite. Der Rahmen hat oben und unten eine gleichmäßige Breite von $x \text{ cm}$, an den Seiten ist er doppelt so breit, also $2x \text{ cm}$. Der gesamte Flächeninhalt des Rahmens (ohne den Spiegel) soll $2400 \text{ cm}^2$ betragen. Bestimme den Wert von $x$.

Eine Theatergruppe mietet für eine Aufführung einen Saal für $800$ Euro. Um die Kosten zu decken, legt sie einen Eintrittspreis fest. Am Tag der Vorstellung kommen $40$ Zuschauer mehr als erwartet, weshalb der Veranstalter den Eintrittspreis um $1$ Euro senkt und genau die benötigten $800$ Euro einnimmt. Wie viele Zuschauer haben die Aufführung schließlich besucht?

Eine zylindrische Konservendose wird so entworfen, dass ihre Höhe genau dem Durchmesser ihrer Grundfläche entspricht. Für die Herstellung der Dose (einschließlich der beiden kreisförmigen Deckel und des Mantels) wurden genau $150\pi \text{ cm}^2$ Weißblech verwendet. Berechne den Radius der Grundfläche.

Eine Hausgemeinschaft in Münster hat einen quadratischen Innenhof mit unbekannter Seitenlänge. Bei einem Umbau beschließt sie, an einer Seite $2\text{ m}$ für eine barrierefreie Rampe wegzunehmen und an der dazu senkrechten Seite $6\text{ m}$ zu erweitern, indem ein ungenutzter Schuppen einbezogen wird. Der neue rechteckige Hof hat einen Flächeninhalt von $105\text{ m}^2$.

Um die Abmessungen des ursprünglichen Hofs zu bestimmen, wählen zwei Mitglieder des Vorstands unterschiedliche Wege:

• Methode A (Karl): Er wählt als Variable $x$ die Seitenlänge des ursprünglichen quadratischen Hofs und stellt die Gleichung auf: $(x - 2)(x + 6) = 105$.

• Methode B (Lea): Sie wählt als Variable $y$ die kürzere Seite des neuen rechteckigen Hofs, folgert, dass die Länge $y + 8$ beträgt, und stellt die Gleichung auf: $y(y + 8) = 105$. Die ursprüngliche Seitenlänge berechnet sie am Ende als $y + 2$.

1. a) Führe beide Methoden vollständig aus und löse sie. Überprüfe, dass beide zu denselben ursprünglichen und neuen Abmessungen führen.
2. b) Vergleiche beide Gleichungen algebraisch: Welche hat Koeffizienten, die sich für die Diskriminante im Kopf leichter handhaben lassen? Welche Vor- und Nachteile hat jede in Bezug auf die Gefahr, sich bei der Antwort auf die Schlussfrage zu verrechnen oder zu vertun?

Ein Hochgeschwindigkeitszug legt die Direktstrecke von $300\text{ km}$ zwischen Hamburg und Berlin üblicherweise mit einer konstanten Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ (in $\text{km/h}$) zurück. Wegen Bauarbeiten an der Infrastruktur muss er an einem Tag seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke um $50\text{ km/h}$ verringern, was gegenüber dem üblichen Fahrplan zu einer Verspätung von einer halben Stunde ($0,5\text{ h}$) führt.

1. a) Lege klar fest, was die Variable $v$ darstellt, und stelle eine einzige Gleichung auf, die die feste Strecke, die beiden Durchschnittsgeschwindigkeiten und den Zeitunterschied zwischen beiden Fahrten verknüpft.
2. b) Forme die obige Beziehung in eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form ($av^2+bv+c=0$) um, löse sie und bestimme die übliche Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges und die normale Fahrtdauer.
3. c) Die mathematische Gleichung liefert zwei reelle Lösungen ($v_1$ und $v_2$). Erkläre nachvollziehbar, warum die negative Lösung in diesem physikalischen Zusammenhang verworfen wird.
4. d) Die Qualitätsvorgaben im Bahnverkehr verlangen, dass Verspätungen durch Bauarbeiten $20\text{ Minuten}$ ($\frac{1}{3}\text{ Stunde}$) nicht überschreiten. Begründe qualitativ, ohne eine weitere quadratische Gleichung vollständig zu lösen, ob die zulässige Geschwindigkeitsreduzierung größer oder kleiner als $50\text{ km/h}$ sein müsste, um diesen Standard einzuhalten.