Teilbarkeitsregeln
Die Klasse 5b hat 24 Kinder und möchte beim Sportfest in gleich großen Gruppen antreten. Geht das mit 4 Kindern pro Gruppe? Mit 5? Mit 7? Du kannst es durch Ausprobieren und Dividieren herausfinden. Mit den Teilbarkeitsregeln siehst du es einer Zahl fast sofort an.
Teiler und Vielfache
Eine Zahl $a$ ist durch $b$ teilbar, wenn die Division $a : b$ ohne Rest aufgeht. Dann ist $b$ ein Teiler von $a$ und $a$ ein Vielfaches von $b$.
Beispiel: $24 : 6 = 4$ ohne Rest. Also ist $6$ ein Teiler von $24$, und $24$ ist ein Vielfaches von $6$. Wegen $24 : 5 = 4$ Rest $4$ ist $5$ kein Teiler von $24$.
Die Teiler einer Zahl findest du systematisch als Teilerpaare: Du probierst $1, 2, 3, \dots$ der Reihe nach durch und notierst zu jedem Teiler gleich den Partner. Du kannst aufhören, sobald die Partner sich treffen.
Die Teiler von $30$ sind also $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$. Jede Zahl hat mindestens die Teiler $1$ und sich selbst.
Die Klasse 5b hat $27$ Kinder. Für ein Turnier sollen gleich große Gruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt. a) Welche Gruppengrößen sind möglich? b)…
Die Klasse 5b hat $27$ Kinder. Für ein Turnier sollen gleich große Gruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt.
- a) Welche Gruppengrößen sind möglich?
- b) Eine Lehrerin kommt als Spielerin dazu, sodass es $28$ Personen sind. Welche Gruppengrößen sind jetzt möglich?
Die Regeln für 2, 5 und 10
Unser Zahlensystem ist ein Zehnersystem. Zehner, Hunderter und Tausender sind alle durch $10$ teilbar, also auch durch $2$ und $5$. Nur die Endziffer (Einer) entscheidet.
Beispiel: $4.360$ endet auf $0$, ist also durch $2$, $5$ und $10$ teilbar. $715$ endet auf $5$: durch $5$ teilbar, aber nicht durch $2$ und nicht durch $10$.
Entscheide ohne schriftliche Division, ob die Zahl $4.360$ durch $2$, $3$, $4$, $5$ bzw. $10$ teilbar ist. Nenne jeweils die passende Teilbarkeitsregel.
Entscheide ohne schriftliche Division, ob die Zahl $4.360$ durch $2$, $3$, $4$, $5$ bzw. $10$ teilbar ist. Nenne jeweils die passende Teilbarkeitsregel.
Die Regel für 3: die Quersumme
Bei $3$ hilft die Endziffer nicht. Hier zählt die Quersumme: die Summe aller Ziffern.
Warum funktioniert das? Jede Stufe im Zehnersystem ist ein Vielfaches von $3$ plus $1$: $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, … Von der Zahl $374 = 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 4$ bleibt nach Abzug der Neunerzahlen nur $3 + 7 + 4$ übrig.
Berechne die Quersumme der Zahlen und entscheide, ob sie durch $3$ teilbar sind. a) $374$ b) $1.230$ c) $5.812$
Berechne die Quersumme der Zahlen und entscheide, ob sie durch $3$ teilbar sind.
- a) $374$
- b) $1.230$
- c) $5.812$
Ergänze die fehlende Ziffer $\square$ in der Zahl $47\square$ so, dass die Zahl a) durch $5$ teilbar ist, b) durch $3$ teilbar ist, c) durch $4$ teilbar ist. Gib jeweils…
Ergänze die fehlende Ziffer $\square$ in der Zahl $47\square$ so, dass die Zahl
- a) durch $5$ teilbar ist,
- b) durch $3$ teilbar ist,
- c) durch $4$ teilbar ist.
Gib jeweils alle Möglichkeiten an.
Die Regel für 4
Da $100 = 4 \cdot 25$ ist, sind alle Hunderter durch $4$ teilbar. Es kommt nur auf die letzten beiden Ziffern an.
Beispiele: Bei $3.712$ ist $12$ durch $4$ teilbar, also auch $3.712$. Bei $3.714$ ist $14$ nicht durch $4$ teilbar. Endet die Zahl auf $00$, ist sie durch $4$ teilbar.
Auf einem Wochenmarkt in Köln werden $144$ Äpfel in Tüten mit gleich vielen Äpfeln verpackt. Es sollen mehr als $2$ und weniger als $20$ Äpfel pro Tüte sein. Welche…
Auf einem Wochenmarkt in Köln werden $144$ Äpfel in Tüten mit gleich vielen Äpfeln verpackt. Es sollen mehr als $2$ und weniger als $20$ Äpfel pro Tüte sein. Welche Tütengrößen sind möglich? Begründe mit Teilbarkeitsregeln.
Regeln kombinieren
Aus den Grundregeln entstehen weitere. Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie durch $2$ und durch $3$ teilbar ist. Das funktioniert, weil $2$ und $3$ keinen gemeinsamen Teiler außer $1$ haben.
Bestimme die kleinste vierstellige Zahl, die nur die Ziffern $1$, $2$ und $5$ enthält (jede mindestens einmal) und durch $4$ und durch $3$ teilbar ist. Begründe deine…
Bestimme die kleinste vierstellige Zahl, die nur die Ziffern $1$, $2$ und $5$ enthält (jede mindestens einmal) und durch $4$ und durch $3$ teilbar ist. Begründe deine Lösung.
Lena behauptet: „Wenn eine Zahl durch $4$ und durch $6$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $24$ teilbar.“ a) Finde ein Gegenbeispiel. b) Welche größte Zahl kann man…
Lena behauptet: „Wenn eine Zahl durch $4$ und durch $6$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $24$ teilbar.“
- a) Finde ein Gegenbeispiel.
- b) Welche größte Zahl kann man stattdessen als Teiler nennen, damit die Aussage für alle solche Zahlen stimmt? Begründe.
Die fünfstellige Zahl $7\,a\,3\,b\,0$ soll durch $3$ und durch $4$ teilbar sein, dabei sind $a$ und $b$ Ziffern. a) Begründe, welche Werte $b$ annehmen kann. b) Gib alle…
Die fünfstellige Zahl $7\,a\,3\,b\,0$ soll durch $3$ und durch $4$ teilbar sein, dabei sind $a$ und $b$ Ziffern.
- a) Begründe, welche Werte $b$ annehmen kann.
- b) Gib alle passenden Zahlen an.
Zurück zum Anfang: Die $24$ Kinder lassen sich in Gruppen zu $4$ teilen ($24$: letzte Ziffern $24 = 4 \cdot 6$). Auch für $2$, $3$ und $6$ geht es, nicht aber für $5$ (Endziffer $4$) oder $7$.
Auf einen Blick
| Teiler | Regel |
|---|---|
| $2$ | Endziffer $0, 2, 4, 6, 8$ |
| $5$ | Endziffer $0$ oder $5$ |
| $10$ | Endziffer $0$ |
| $3$ | Quersumme durch $3$ teilbar |
| $4$ | Zahl aus den letzten zwei Ziffern durch $4$ teilbar |
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Teiler findest du als Teilerpaare. Jede Zahl hat die Teiler $1$ und sich selbst.
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Zusammengesetzte Regeln: durch $6$ = durch $2$ und $3$; durch $12$ = durch $3$ und $4$.
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Kombinieren darfst du nur teilerfremde Zahlen.