Achsen- und Punktsymmetrie
Auf dem Schulhof in Köln hängt ein Plakat zum Karneval: Eine Maske, linke und rechte Hälfte sehen genau gleich aus. Wenn du das Plakat in der Mitte falten würdest, lägen beide Hälften genau aufeinander. Woran erkennt man so etwas sicher, und wie findest du heraus, wo die „Mitte“ liegt? Am Ende der Seite kannst du das mit Zahlen im Koordinatensystem beantworten.
Achsensymmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn du sie so falten kannst, dass beide Hälften genau aufeinander liegen. Die Faltlinie heißt Symmetrieachse. Man sagt auch: Die Figur wird an der Achse auf sich selbst gespiegelt.
Beim Spiegeln gelten drei feste Regeln:
Warum? Beim Falten fällt jeder Punkt genau auf seinen Bildpunkt. Der Knick liegt deshalb in der Mitte zwischen beiden und die Verbindung kreuzt ihn im rechten Winkel.
Welche der Buchstaben sind achsensymmetrisch? Gib, wenn möglich, die Achse(n) an (senkrecht und/oder waagerecht). A, B, F, H, M, N
Welche der Buchstaben sind achsensymmetrisch? Gib, wenn möglich, die Achse(n) an (senkrecht und/oder waagerecht).
A, B, F, H, M, N
Symmetrieachsen finden und zählen
Eine Figur kann keine, eine oder mehrere Symmetrieachsen haben. Faltest du ein Blatt Papier in Gedanken an jeder möglichen Linie, findest du sie alle.
| Figur | Anzahl der Symmetrieachsen |
|---|---|
| Raute | 2 (die beiden Diagonalen) |
| Drachenviereck | 1 (eine Diagonale) |
| gleichschenkliges Trapez | 1 (Mittellinie der parallelen Seiten) |
| Parallelogramm (kein Rechteck, keine Raute) | 0 |
| regelmäßiges Fünfeck | 5 |
Auch bei Buchstaben kannst du das üben: Das T hat eine senkrechte Achse, das E eine waagerechte, das O (als Ellipse) eine senkrechte und eine waagerechte. Das S hat keine Achse.
Gib an, wie viele Symmetrieachsen die Figuren haben. a) Quadrat b) Rechteck (nicht Quadrat) c) gleichseitiges Dreieck d) Kreis
Gib an, wie viele Symmetrieachsen die Figuren haben.
- a) Quadrat
- b) Rechteck (nicht Quadrat)
- c) gleichseitiges Dreieck
- d) Kreis
Punkte im Koordinatensystem spiegeln
Im Koordinatensystem kannst du Spiegeln ohne Geodreieck mit Zahlen erledigen.
Bisher lagen alle Punkte im ersten Quadranten. Das Koordinatensystem geht aber über die Achsen hinaus: Links vom Ursprung sind die $x$-Werte negativ, unterhalb des Ursprungs sind die $y$-Werte negativ. Ein Punkt wie $D(-1|3)$ liegt also 1 Einheit links der $y$-Achse und 3 Einheiten über der $x$-Achse. Auch $M(0|0)$ ist der Ursprung. Die Spiegelformeln unten gelten auch für negative Zahlen. Beachte: $2c - x$ mit $x = -1$ ergibt $2c + 1$, denn „minus minus“ wird zu plus. Beispiel: Spiegelt man $D(-1|3)$ an $x = 2$, so ist $x' = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$ und $D'(5|3)$. Wir spiegeln an einer senkrechten Achse $x = c$. Dann ändert sich die $y$-Koordinate nicht, denn die Verbindung von Punkt und Bildpunkt verläuft waagerecht.
Hier ist $P(1|2)$ und $Q(3|4)$. Die Achse $x = 5$ liegt mitten zwischen $P$ und $P'$. $P$ ist $5 - 1 = 4$ Einheiten links der Achse, also liegt $P'$ vier Einheiten rechts davon: $P'(9|2)$.
Das ist keine Zauberformel: Der Punkt $P(x|y)$ hat den Abstand $|c - x|$ zur Achse $x = c$ (der Betrag, also immer positiv). Liegt $P$ links der Achse, ist der Abstand $c - x$ und der Bildpunkt liegt bei $c + (c - x) = 2c - x$.
Spiegle den Punkt $A(2|3)$ an der senkrechten Achse $x = 5$ im Koordinatensystem. Gib die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ an.
Spiegle den Punkt $A(2|3)$ an der senkrechten Achse $x = 5$ im Koordinatensystem. Gib die Koordinaten des Bildpunktes $A'$ an.
Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(1|1)$, $B(4|1)$ und $C(2|4)$. Spiegle es an der senkrechten Achse $x = 5$. Gib die Koordinaten von $A'$, $B'$ und $C'$ an.
Ein Dreieck hat die Eckpunkte $A(1|1)$, $B(4|1)$ und $C(2|4)$. Spiegle es an der senkrechten Achse $x = 5$. Gib die Koordinaten von $A'$, $B'$ und $C'$ an.
Punktsymmetrie
Ein Windrad dreht sich: Nach einer halben Umdrehung sieht es genauso aus wie vorher. So ist es bei punktsymmetrischen Figuren. Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer halben Drehung (180°) um einen Punkt $Z$ wieder deckungsgleich mit sich selbst ist. $Z$ heißt Symmetriezentrum.
Beim Punktspiegeln an $Z$ gilt:
Im Koordinatensystem rechnest du für jede Koordinate einzeln: Bei $Z(a|b)$ ist der Bildpunkt von $P(x|y)$ der Punkt $P'(2a - x\,|\,2b - y)$. Das ist dieselbe Idee wie bei der Achsenspiegelung, nur in beiden Richtungen.
Bei Vierecken findest du das Symmetriezentrum oft als Schnittpunkt der Diagonalen: Parallelogramm, Rechteck, Raute und Quadrat sind punktsymmetrisch. Das gleichschenklige Trapez und das Drachenviereck (allgemein) sind es nicht. Bei Buchstaben ist das N punktsymmetrisch, das E nicht.
Und was ist mit dem Plakat vom Anfang? Die Maske ist achsensymmetrisch, die Achse ist die senkrechte Linie in der Mitte. Zeichnest du die Maske in ein Koordinatensystem, rechnest du bei der Achse $x = c$ jeden Punkt mit $x' = 2c - x$ auf die andere Seite.
Entscheide für die Figuren, ob sie punktsymmetrisch sind, und gib gegebenenfalls das Symmetriezentrum an. a) Parallelogramm b) gleichschenkliges Trapez c) Raute d)…
Entscheide für die Figuren, ob sie punktsymmetrisch sind, und gib gegebenenfalls das Symmetriezentrum an.
- a) Parallelogramm
- b) gleichschenkliges Trapez
- c) Raute
- d) Buchstabe Z
Ein Punkt $P(3|2)$ wird am Punkt $Z(5|5)$ gespiegelt. Bestimme den Bildpunkt $P'$ und begründe, warum $Z$ genau in der Mitte der Strecke $PP'$ liegt.
Ein Punkt $P(3|2)$ wird am Punkt $Z(5|5)$ gespiegelt. Bestimme den Bildpunkt $P'$ und begründe, warum $Z$ genau in der Mitte der Strecke $PP'$ liegt.
Symmetrie bei Vierecken begründen
Bei schwierigeren Aufgaben sollst du eine Symmetrie begründen. Dafür brauchst du keine Zeichnung als Beweis, sondern Rechnung und Argumente.
Aus der Achsensymmetrie folgt mehr: Die Verbindung $BD$ steht senkrecht auf der Achse $AC$, denn jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einer Senkrechten zur Achse. Außerdem schneidet die Achse die Strecke $BD$ in der Mitte. Darum stehen die Diagonalen im Drachenviereck senkrecht aufeinander.
Bei Vierecken hilft zusätzlich ein Blick auf die Seitenlängen: Sind gegenüberliegende Seiten parallel (gleiche „Steigung“ im Gitter, etwa 4 nach rechts und 0 nach oben), liegt ein Parallelogramm vor. Es hat dann ein Zentrum, aber noch keine Achse.
Ein Logo aus einem Quadrat mit zwei Diagonalen hat deshalb vier Achsen (zwei Mittellinien und zwei Diagonalen) und ein Zentrum, den Mittelpunkt. Willst du nur eine Achse behalten, musst du die Figur so ergänzen, dass fast alle Achsen verschwinden, zum Beispiel durch einen zusätzlichen Zacken an einer Seite, der genau auf einer Achse liegt.
Ein Drachenviereck $ABCD$ hat die Eckpunkte $A(2|0)$, $B(5|3)$, $C(2|8)$ und $D(-1|3)$. a) Zeige, dass die Gerade $AC$ eine Symmetrieachse ist. b) Begründe, warum die…
Ein Drachenviereck $ABCD$ hat die Eckpunkte $A(2|0)$, $B(5|3)$, $C(2|8)$ und $D(-1|3)$.
- a) Zeige, dass die Gerade $AC$ eine Symmetrieachse ist.
- b) Begründe, warum die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
Die Eckpunkte eines Vierecks sind $A(1|1)$, $B(5|1)$, $C(6|4)$ und $D(2|4)$. a) Welche Art von Viereck ist es? Begründe. b) Hat es Symmetrieachsen? Ist es…
Die Eckpunkte eines Vierecks sind $A(1|1)$, $B(5|1)$, $C(6|4)$ und $D(2|4)$.
- a) Welche Art von Viereck ist es? Begründe.
- b) Hat es Symmetrieachsen? Ist es punktsymmetrisch? Gib gegebenenfalls das Zentrum an.
Ein Logo besteht aus einem Quadrat mit einem eingezeichneten Kreuz (beide Diagonalen). Es wird so in ein Koordinatensystem gelegt, dass sein Mittelpunkt $M(0|0)$ ist und…
Ein Logo besteht aus einem Quadrat mit einem eingezeichneten Kreuz (beide Diagonalen). Es wird so in ein Koordinatensystem gelegt, dass sein Mittelpunkt $M(0|0)$ ist und die Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
- a) Wie viele Symmetrieachsen hat das Logo und welche sind es?
- b) Ist das Logo punktsymmetrisch? Begründe.
- c) Das Logo wird an einer Ecke durch eine kleine Figur (z. B. ein Dreieck) ergänzt, sodass nur noch eine Symmetrieachse übrig bleibt. Beschreibe eine mögliche Ergänzung.