Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schreibe den Zahlenterm auf, der zu jeder Aufgabe passt, und berechne seinen Wert:

1. a) Das Dreifache der Summe von acht und fünf.

1. b) Das Doppelte von zwanzig, vermindert um den Quotienten aus zwölf und vier.

1. c) Die Differenz aus dem Produkt von sechs und drei und der Zahl sieben.

Betrachte das folgende Raster, das einen Lagerbereich in einem Logistiklager darstellt. Berechne die Gesamtzahl der Pakete mit nur einer Rechnung aus Multiplikation und Addition, wenn jedes Quadrat einen Karton darstellt.

In einem Comicladen kauft ein Jugendlicher $3$ Mangas zu je $8$ € und $2$ Poster zu je $5$ €. Wenn er mit einem $50$-€-Schein bezahlt, wie viel Wechselgeld bekommt er zurück? Schreibe alle Rechenschritte in einer einzigen Zeile.

Berechne das Ergebnis der folgenden zusammengesetzten Rechnungen und achte dabei auf die Reihenfolge der Rechenoperationen:

1. a) $25 + 5 \cdot 4 - 10$

1. b) $36 : 6 + 2 \cdot 7$

1. c) $18 - 12 : 3 + 4$

Lukas möchte die Gesamtkosten für den Kauf eines Heftes für $4,50$ € und $3$ gleiche Kugelschreiber zu je $1,20$ € berechnen. Dazu schreibt er die Rechnung $4,50 + 3 \cdot 1,20$ auf. Beim Ausrechnen in seinem Heft löst er zuerst die Summe: $4,50 + 3 = 7,50$, und multipliziert das Ergebnis dann mit $1,20$, sodass er $9,00$ € erhält. Finde Lukas’ Fehler, erkläre, welche Rechenregel (Reihenfolge der Rechenoperationen) er nicht beachtet hat, und berechne die Gesamtkosten, die er richtig hätte zahlen müssen.

In einem Obstladen im Viertel kaufst du $3,1$ kg Orangen, die $1,95$ € pro Kilogramm kosten. Bevor die Waage den Bon druckt: a) Schätze im Kopf den Gesamtpreis, indem du Gewicht und Preis auf die nächsten ganzen Zahlen rundest, und begründe, ob deine Schätzung etwas größer oder kleiner als der tatsächliche Preis sein wird. b) Führe die Multiplikation mit allen Dezimalstellen durch, um den genauen Betrag zu ermitteln. c) Prüfe, ob das genaue Ergebnis deine Vorhersage bestätigt, und beurteile, ob es im Alltag sinnvoll ist, diesen Betrag zu bezahlen.

Berechne das Ergebnis der folgenden gemischten Rechnung Schritt für Schritt unter Beachtung der Rechenreihenfolge:

$15 \cdot (13 - 3^2) + 4^2 : \sqrt{64} - 2 \cdot 5$

Bei einem Videospielwettbewerb müssen die Teilnehmenden 25 Aufgaben bewältigen. Für jede gelöste Aufgabe erhält man $12$ Punkte, für jeden Fehlversuch werden $5$ Punkte abgezogen. Wenn ein Spieler beschließt, eine Aufgabe nicht zu versuchen, bekommt er weder Punkte noch Punktabzug.

Berechne die Endpunktzahl eines Teilnehmers, der $22$ Aufgaben bearbeitet hat, von denen $18$ richtig gelöst waren.

Ein Kino hat einen Saal mit $12$ Reihen zu je $18$ Sitzplätzen. Für eine Premiere werden die Karten der ersten $4$ Reihen (VIP-Bereich) für $15$ € verkauft, die übrigen Karten für $9$ €. Wenn alle Plätze verkauft wurden, wie hoch waren dann die gesamten Einnahmen des Saals?

Ein Landwirt hat $350$ kg Äpfel geerntet. Er sortiert sie und nimmt $26$ kg heraus, die nicht für den Verkauf geeignet sind. Den Rest verpackt er in Kisten zu je $12$ kg. Wenn er jede Kiste für $18$ € verkauft, wie viel Geld erhält er dann für den Verkauf seiner gesamten Ernte?

Für die Kostüme eines Schultheaterstücks kauft der Kunstfachbereich zwei Stoffstücke derselben Sorte zu $4,25$ € pro Meter: eines mit $6,7$ Metern für die Umhänge und eines mit $3,3$ Metern für die Anzüge. Es gibt zwei Verfahren, um die Gesamtkosten zu berechnen: Verfahren 1: die Kosten jedes Stücks einzeln berechnen und addieren ($4,25 \cdot 6,7 + 4,25 \cdot 3,3$); Verfahren 2: ausklammern und zuerst die Längen addieren ($4,25 \cdot (6,7 + 3,3)$). Löse die Aufgabe Schritt für Schritt mit beiden Verfahren, erkläre, welches für das Kopfrechnen deutlich schneller ist, und begründe mathematisch, warum beide genau dasselbe Ergebnis liefern.

Vier Freunde teilen sich ein Auto für die Fahrt von Sevilla nach Granada ($250$ km). Das Fahrzeug verbraucht durchschnittlich $6,2$ Liter Benzin je $100$ km, und der Kraftstoffpreis beträgt $1,65$ € pro Liter. Außerdem kommen $5,90$ € Maut für die Strecke hinzu. Wenn sie vereinbaren, alle Kosten zu gleichen Teilen aufzuteilen: a) Modelliere die Situation, indem du einen einzigen zusammengesetzten Term (mit den nötigen Klammern) aufstellst, mit dem man berechnen kann, was jede Person zahlen muss. b) Ordne jeden Teil deines Terms den gelernten Schlüsselwörtern zu: Welche Rechenoperation gehört zu „Gesamtsumme berechnen“, welche zu „mal/Produkt“ und welche zum „Aufteilen“? c) Berechne das Endergebnis Schritt für Schritt unter Beachtung der Rechenregeln (Punkt vor Strich, Klammern) und runde den Betrag pro Person auf Cent.

Berechne den Wert des folgenden Terms unter korrekter Anwendung der Rechenreihenfolge und der Potenzgesetze:

Denke daran, zuerst die innersten Klammern aufzulösen, dann Potenzen und Wurzeln, danach Multiplikation und Division und zuletzt Addition und Subtraktion.

Wir entwerfen das Logo einer neuen Smartphone-App. Das Logo besteht aus zwei Quadraten, die so aneinandergesetzt sind, dass eine ganze Seite des kleinen Quadrats auf einer Seite des großen liegt. Der gesamte Flächeninhalt des Logos beträgt $169 \text{ mm}^2$. Das größere Quadrat hat die Seitenlänge $12 \text{ mm}$:

1. a) Wie groß ist der Flächeninhalt des kleinen Quadrats?
2. b) Wie groß ist der gesamte Umfang der entstandenen Figur (die äußere Umrandung)?

Wende das Distributivgesetz an, um den gemeinsamen Faktor auszuklammern, und berechne den Wert der folgenden Rechnung aus der Abrechnung eines Geschäfts möglichst schnell:

Wenn das Gesamtergebnis auf Beutel mit je $5^3$ Artikeln verteilt werden soll, wie viele Beutel werden gefüllt? Gib den Rechenweg mithilfe von Potenzen an.

Entwirf einen Term mit Dezimalzahlen, der gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllt: 1) Er muss genau vier verschiedene positive Dezimalzahlen und drei verschiedene Grundrechenarten (ausgewählt aus $+$, $-$, $\cdot$ und $:$) enthalten. 2) Er muss genau ein Klammerpaar enthalten, das die natürliche Rechenreihenfolge verändert. 3) Beim Berechnen unter Beachtung der Klammern und der Rechenreihenfolge muss sein genauer Endwert $10$ betragen. 4) Wenn man die Klammern vollständig weglässt, muss der entstehende Term einen echt kleineren Wert als $5$ ergeben. Gib den von dir erstellten Term an, führe die Rechnung in beiden Fällen (mit und ohne Klammern) Schritt für Schritt durch, um zu zeigen, dass er die Bedingungen erfüllt, und beschreibe die Umkehrstrategie, mit der du die Zahlen und Rechenarten bestimmt hast.

Die zweimonatliche Wasserrechnung in einer Gemeinde besteht aus einem festen Grundpreis von $12,50$ € und einem variablen Verbrauchspreis in Stufen: Die ersten $15\text{ m}^3$ Verbrauch werden mit $0,80$ €/$\text{m}^3$ berechnet, die darüber hinausgehenden Kubikmeter mit einem erhöhten Preis von $1,40$ €/$\text{m}^3$. Eine Familie hat in den zwei Monaten $26,5\text{ m}^3$ verbraucht. a) Schreibe einen einzigen gemischten Term, der die Gesamtkosten der Rechnung modelliert und dabei den Grundpreis, die Kosten der Grundstufe und die Kosten des Mehrverbrauchs berücksichtigt. b) Ein Nachbar behauptet: „Um nicht so viel zu rechnen, genügt es, das arithmetische Mittel der beiden Preise, $(0,80 + 1,40) : 2 = 1,10$ €/$\text{m}^3$, zu bilden, das gesamte Volumen ($26,5\text{ m}^3$) mit diesem Durchschnittspreis zu multiplizieren und anschließend den Grundpreis zu addieren." Berechne das Ergebnis nach dem Vorschlag des Nachbarn. c) Vergleiche beide Ergebnisse, gib an, welches den Verbraucher begünstigt, und begründe mathematisch, warum die Methode des Nachbarn einen grundsätzlichen Fehler macht, weil sie das Volumen jeder Stufe nicht gewichtet.