Netze und Modelle von Quader und Würfel
Lea bekommt zum Geburtstag ein Spiel in einer Schachtel. Die Schachtel ist ein Quader. Als sie die Schachtel vorsichtig auseinanderfaltet und flach auf den Tisch legt, entsteht eine Figur aus sechs Rechtecken. Warum kann man aus genau dieser Figur wieder eine Schachtel falten, aus anderen Figuren aber nicht? Und wie bekommt man einen Quader aufs Papier, ohne ihn auseinanderzufalten?
Flächen, Kanten und Ecken
Quader und Würfel sind Körper. Du kannst sie in die Hand nehmen und drei Dinge an ihnen unterscheiden:
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Flächen: die ebenen Seiten, auf denen der Körper liegen kann.
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Kanten: die Linien, an denen zwei Flächen zusammenstoßen.
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Ecken: die Punkte, an denen sich Kanten treffen.
Am Quader gibt es 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Das gilt auch für den Würfel. An jeder Ecke treffen sich drei Kanten. Die 12 Kanten bilden drei Gruppen mit je vier gleich langen Kanten: Länge, Breite und Höhe.
Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat a) ein Würfel, b) ein Quader?
Wie viele Flächen, Kanten und Ecken hat
- a) ein Würfel,
- b) ein Quader?
Das Netz eines Quaders
Wenn du einen Quader entlang einiger Kanten aufschneidest und flach hinlegst, erhältst du ein Netz. Es besteht aus sechs Rechtecken, die zusammenhängen.
Ein Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ hat im Netz:
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zwei Rechtecke $a \times b$ (Boden und Deckel),
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zwei Rechtecke $a \times c$ (vorne und hinten),
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zwei Rechtecke $b \times c$ (links und rechts).
Das sind drei Paare gleich großer Rechtecke, denn gegenüberliegende Flächen sind immer gleich groß.
Es gibt mehrere verschiedene Netze für denselben Quader. Beim Zeichnen musst du darauf achten, dass die Rechtecke an den richtigen Seiten aneinanderhängen und gleich lange Kanten zusammenpassen. Außerdem musst du prüfen, ob das Netz aufs Blatt passt.
Ein Quader ist $5$ cm lang, $3$ cm breit und $2$ cm hoch. Welche Maße haben die sechs Rechtecke seines Netzes? Gib an, welche Flächen gleich groß sind.
Ein Quader ist $5$ cm lang, $3$ cm breit und $2$ cm hoch. Welche Maße haben die sechs Rechtecke seines Netzes? Gib an, welche Flächen gleich groß sind.
Ein Quader hat die Kantenlängen $a = 5$ cm, $b = 3$ cm und $c = 2$ cm. Es sollen verschiedene Netze gezeichnet werden. a) Zeichne (beschreibe) ein Netz, das auf einem…
Ein Quader hat die Kantenlängen $a = 5$ cm, $b = 3$ cm und $c = 2$ cm. Es sollen verschiedene Netze gezeichnet werden.
- a) Zeichne (beschreibe) ein Netz, das auf einem Blatt von $15$ cm Breite und $10$ cm Höhe Platz hat, und gib die Gesamtmaße des Netzes an.
- b) Begründe, warum jedes Netz aus drei Paaren gleich großer Rechtecke besteht.
Würfelnetze: Faltbar oder nicht?
Beim Würfel sind alle sechs Flächen gleich große Quadrate. Nicht jede Figur aus sechs zusammenhängenden Quadraten lässt sich aber zu einem Würfel falten. Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
Typische Netze sind:
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das Kreuz: vier Quadrate in einer Reihe, je eines darüber und darunter,
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die Treppe,
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Netze mit zwei Reihen.
Ein Netz besteht aus sechs Quadraten, die in einem Kreuz angeordnet sind: vier Quadrate in einer Reihe, darüber und darunter jeweils ein weiteres Quadrat am zweiten…
Ein Netz besteht aus sechs Quadraten, die in einem Kreuz angeordnet sind: vier Quadrate in einer Reihe, darüber und darunter jeweils ein weiteres Quadrat am zweiten Quadrat der Reihe. Entscheide, ob sich daraus ein Würfel falten lässt, und begründe. Welche Fläche liegt der Bodenfläche gegenüber, wenn das zweite Quadrat der Reihe der Boden ist?
Kantenmodelle
Ein Kantenmodell besteht nur aus den Kanten und Ecken. Du kannst es aus Strohhalmen, Stäben oder Draht und Knetkugeln als Ecken bauen.
Die 12 Kanten des Quaders bilden drei Gruppen mit je vier gleich langen Kanten. Für die gesamte Kantenlänge gilt:
$$L = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c = 4 \cdot (a + b + c)$$Beim Würfel mit Kantenlänge $a$ gilt $L = 12 \cdot a$.
Für ein Kantenmodell eines Würfels mit der Kantenlänge $4$ cm verwendet Tim Strohhalme. Wie viele Strohhalme braucht er, und wie lang ist die gesamte Länge aller Kanten?
Für ein Kantenmodell eines Würfels mit der Kantenlänge $4$ cm verwendet Tim Strohhalme. Wie viele Strohhalme braucht er, und wie lang ist die gesamte Länge aller Kanten?
Ein Quader hat die Kantenlängen $6$ cm, $4$ cm und $3$ cm. a) Berechne die Gesamtlänge aller Kanten. b) Wie viel Draht braucht man für ein Kantenmodell, wenn für jede…
Ein Quader hat die Kantenlängen $6$ cm, $4$ cm und $3$ cm.
- a) Berechne die Gesamtlänge aller Kanten.
- b) Wie viel Draht braucht man für ein Kantenmodell, wenn für jede Ecke zusätzlich $1$ cm Draht gerechnet wird?
Aus $12$ gleich langen Stäben und $8$ Knetkugeln soll ein Modell gebaut werden. Zeige, dass man einen Würfel bauen kann, und erkläre, warum man mit denselben Teilen…
Aus $12$ gleich langen Stäben und $8$ Knetkugeln soll ein Modell gebaut werden. Zeige, dass man einen Würfel bauen kann, und erkläre, warum man mit denselben Teilen keinen Quader mit drei verschiedenen Kantenlängen bauen kann. Wie viele Stäbe von jeder der drei Längen bräuchte man für einen solchen Quader?
Das Schrägbild
Ein Schrägbild zeigt den Körper so, wie er aussieht, wenn du ihn von schräg vorne betrachtest. So zeichnest du es:
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Die Vorderfläche zeichnest du in wahrer Größe als Rechteck.
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Die Kanten, die nach hinten laufen, zeichnest du im Winkel von $45^\circ$ und halb so lang wie in Wirklichkeit.
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Kanten, die man nicht sieht, zeichnest du gestrichelt.
Für ein Schrägbild eines Quaders mit Länge $8$ cm, Breite $4$ cm und Höhe $3$ cm werden die nach hinten laufenden Kanten (das sind die Kanten der Breite) in der…
Für ein Schrägbild eines Quaders mit Länge $8$ cm, Breite $4$ cm und Höhe $3$ cm werden die nach hinten laufenden Kanten (das sind die Kanten der Breite) in der Zeichnung halbiert und im Winkel von $45^\circ$ gezeichnet.
- a) Welche Länge haben die nach hinten laufenden Kanten in der Zeichnung?
- b) Welche Kanten werden in ihrer wahren Länge gezeichnet?
Körper in Gedanken kippen
Ein Würfel kann über eine Kante kippen. Dabei wandern die Flächen weiter, und du musst nur verfolgen, welche Fläche wohin kommt. Benenne die Flächen nach ihrer Lage: oben, unten, vorne, hinten, links, rechts.
Beim Kippen nach vorne (um die Kante unten vorne) gilt:
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oben → vorne,
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vorne → unten,
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unten → hinten,
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hinten → oben,
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links und rechts bleiben, wo sie sind.
Beim Kippen nach rechts:
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oben → rechts,
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rechts → unten,
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unten → links,
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links → oben,
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vorne und hinten bleiben.
Ein Würfel wird so gekippt, dass er einmal über eine Kante nach vorne und dann einmal über eine Kante nach rechts rollt. Die Oberseite ist zu Beginn rot, die Vorderseite…
Ein Würfel wird so gekippt, dass er einmal über eine Kante nach vorne und dann einmal über eine Kante nach rechts rollt. Die Oberseite ist zu Beginn rot, die Vorderseite blau, die rechte Seite grün, die Rückseite gelb, die linke Seite orange und die Unterseite weiß.
Welche Farbe hat die Oberseite nach beiden Kippbewegungen? Begründe schrittweise.
Zurück zum Anfang: Leas Schachtel ist ein Quader. Ihr Netz besteht aus drei Paaren gleich großer Rechtecke, und die Rechtecke hängen so zusammen, dass sich alle Kanten beim Falten treffen. Bei einer anderen Figur aus sechs Rechtecken würden zwei Flächen übereinanderfallen oder eine Lücke bleiben.