Oberfläche und Volumen von Quader und Würfel
Das Aquarium in einer Zoohandlung in Essen soll gefüllt werden. Wie viele Liter Wasser brauchst du dafür? Dafür musst du das Volumen eines Quaders berechnen. Am Ende der Seite beantworten wir die Frage.
Das Volumen messen
Das Volumen sagt, wie viel Platz ein Körper einnimmt. Wir messen es mit Einheitswürfeln: Ein Würfel mit der Kantenlänge $1\,\text{cm}$ hat das Volumen $1\,\text{cm}^3$ (ein Kubikzentimeter).
Ein Quader mit $a = 4\,\text{cm}$, $b = 3\,\text{cm}$ und $c = 2\,\text{cm}$ lässt sich mit Einheitswürfeln auslegen: In einer Schicht liegen $4 \cdot 3 = 12$ Würfel, und es gibt $2$ Schichten. Also passen $12 \cdot 2 = 24$ Würfel hinein.
Warum? $a \cdot b$ ist die Anzahl der Würfel in der untersten Schicht (Grundfläche), $c$ gibt die Anzahl der Schichten an.
Berechne das Volumen eines Quaders mit $a = 8$ cm, $b = 5$ cm und $c = 3$ cm.
Berechne das Volumen eines Quaders mit $a = 8$ cm, $b = 5$ cm und $c = 3$ cm.
Die Oberfläche berechnen
Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächeninhalte aller Begrenzungsflächen. Ein Quader hat $6$ Rechtecke, jeweils zwei gleiche:
-
oben und unten: $a \cdot b$
-
vorne und hinten: $a \cdot c$
-
links und rechts: $b \cdot c$
Beim Würfel sind alle sechs Flächen Quadrate mit der Seite $a$. Der Oberflächeninhalt wird in $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ usw. angegeben.
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge $5$ cm.
Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kantenlänge $5$ cm.
Ein Geschenkkarton ist $30$ cm lang, $20$ cm breit und $10$ cm hoch. Er wird komplett mit Papier beklebt. a) Berechne die Oberfläche des Kartons. b) Eine Papierrolle…
Ein Geschenkkarton ist $30$ cm lang, $20$ cm breit und $10$ cm hoch. Er wird komplett mit Papier beklebt.
- a) Berechne die Oberfläche des Kartons.
- b) Eine Papierrolle kostet $2$ € pro $\text{m}^2$. Wie viel kostet das Papier, wenn für den Verschnitt noch ein Zehntel der Oberfläche dazukommt? Runde auf ganze Cent. (Hinweis: $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$)
Volumeneinheiten umwandeln
Bei Volumen gilt die Umrechnungszahl $1000$: Ein Würfel mit $1\,\text{dm}$ Kantenlänge hat $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ Würfel mit $1\,\text{cm}$ Kantenlänge.
| Einheit | Umrechnung |
|---|---|
| $1\,\text{m}^3$ | $= 1000\,\text{dm}^3$ |
| $1\,\text{dm}^3$ | $= 1000\,\text{cm}^3$ |
| $1\,\text{cm}^3$ | $= 1000\,\text{mm}^3$ |
Für Flüssigkeiten kennst du Liter und Milliliter:
Wandle um. a) $3$ l in $\text{cm}^3$ b) $5.000$ $\text{cm}^3$ in l c) $2$ $\text{dm}^3$ in ml
Wandle um.
- a) $3$ l in $\text{cm}^3$
- b) $5.000$ $\text{cm}^3$ in l
- c) $2$ $\text{dm}^3$ in ml
Sachaufgaben und Rückwärtsrechnen
Jetzt kannst du die Frage vom Anfang beantworten: Das Aquarium ist $80\,\text{cm}$ lang, $40\,\text{cm}$ breit und $50\,\text{cm}$ hoch.
Manchmal ist das Volumen gegeben und eine Kante gesucht. Dann kehrst du die Rechnung um (Umkehraufgabe): Aus $V = a \cdot b \cdot c$ folgt $c = V \mathbin{:} (a \cdot b)$.
Auch Brüche helfen: Ist ein Tank zu $\frac{2}{5}$ gefüllt und enthält $1000\,\text{l}$, dann entspricht $\frac{1}{5}$ genau $500\,\text{l}$, der ganze Tank also $5 \cdot 500 = 2500\,\text{l}$.
Bei Füllzeiten rechnest du mit dem Volumen pro Minute: Fließen $200\,\text{l}$ pro Minute ein, brauchen $12\,000\,\text{l}$ genau $12\,000 \mathbin{:} 200 = 60$ Minuten.
Ein Aquarium in einer Zoohandlung in Essen ist $80$ cm lang, $40$ cm breit und $50$ cm hoch. a) Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein? b) Es wird nur bis $5$ cm…
Ein Aquarium in einer Zoohandlung in Essen ist $80$ cm lang, $40$ cm breit und $50$ cm hoch.
- a) Wie viele Liter Wasser passen höchstens hinein?
- b) Es wird nur bis $5$ cm unter den Rand gefüllt. Wie viele Liter sind es dann?
Ein Schwimmbecken ist $12$ m lang, $5$ m breit und $1,5$ m tief. Es wird bis zur Oberkante gefüllt. Pro Minute fließen $200$ l ein. a) Wie viele Kubikmeter Wasser passen…
Ein Schwimmbecken ist $12$ m lang, $5$ m breit und $1,5$ m tief. Es wird bis zur Oberkante gefüllt. Pro Minute fließen $200$ l ein.
- a) Wie viele Kubikmeter Wasser passen hinein?
- b) Wie lange dauert das Füllen in Stunden?
Ein Quader hat die quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6$ cm und das Volumen $216$ $\text{cm}^3$. a) Bestimme seine Höhe. b) Zeige, dass es sich um einen…
Ein Quader hat die quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6$ cm und das Volumen $216$ $\text{cm}^3$.
- a) Bestimme seine Höhe.
- b) Zeige, dass es sich um einen Würfel handelt.
- c) Berechne seine Oberfläche.
Ein Wassertank in Form eines Quaders hat die Grundfläche $2$ m $\times$ $1,5$ m. Er ist zu $\frac{2}{5}$ gefüllt und enthält $1.200$ l. a) Wie hoch ist der Tank? b) Wie…
Ein Wassertank in Form eines Quaders hat die Grundfläche $2$ m $\times$ $1,5$ m. Er ist zu $\frac{2}{5}$ gefüllt und enthält $1.200$ l.
- a) Wie hoch ist der Tank?
- b) Wie viele Liter fehlen bis zum vollen Tank?
- c) Wie hoch steht das Wasser aktuell?
Was passiert, wenn man die Kanten verdoppelt?
Ein Würfel hat $a = 2\,\text{cm}$: $O = 6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^2$, $V = 8\,\text{cm}^3$. Verdoppelt man die Kante auf $4\,\text{cm}$, gilt: $O = 6 \cdot 16 = 96\,\text{cm}^2$, $V = 64\,\text{cm}^3$.
Die Oberfläche wird $4$-mal so groß, das Volumen $8$-mal so groß.
Das Volumen wächst viel schneller als die Oberfläche, denn bei einer Fläche kommen zwei Längen vor, beim Volumen drei.
Ein Würfel hat die Kantenlänge $4$ cm. Die Kantenlänge wird verdoppelt. a) Berechne Oberflächeninhalt und Volumen vor und nach der Verdopplung. b) Um welchen Faktor…
Ein Würfel hat die Kantenlänge $4$ cm. Die Kantenlänge wird verdoppelt.
- a) Berechne Oberflächeninhalt und Volumen vor und nach der Verdopplung.
- b) Um welchen Faktor ändern sich Oberfläche und Volumen? Begründe allgemein.