Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Zwei Buslinien in Düsseldorf fahren um 6:00 Uhr gleichzeitig an der Haltestelle ab. Die eine kommt alle 12 Minuten, die andere alle 18 Minuten. Wann stehen beide wieder gleichzeitig da? Mit Primzahlen und Primfaktoren kannst du das geschickt lösen.
Primzahlen erkennen
Die Zahl 6 kannst du in Zweiergruppen oder Dreiergruppen aufteilen, 7 Plättchen dagegen nur als eine lange Reihe. Zahlen wie 7 sind etwas Besonderes.
Die ersten Primzahlen sind $2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; \dots$
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Die $1$ ist keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler.
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Die $0$ ist keine Primzahl.
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Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzte Zahlen, z. B. $9 = 3 \cdot 3$.
Welche der Zahlen sind Primzahlen? Begründe kurz. $2$; $9$; $17$; $21$; $29$; $51$
Welche der Zahlen sind Primzahlen? Begründe kurz.
$2$; $9$; $17$; $21$; $29$; $51$
Das Sieb des Eratosthenes
Wie findest du alle Primzahlen bis 50, ohne jede einzeln zu prüfen? Der griechische Gelehrte Eratosthenes hatte eine Idee: Streiche alle Vielfachen weg, dann bleiben die Primzahlen übrig.
Bei den Zahlen bis $50$ reicht es, die Vielfachen von $2, 3, 5$ und $7$ zu streichen. Denn jede zusammengesetzte Zahl bis $50$ hat einen Teiler, der höchstens $7$ ist.
Bestimme mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis $50$. Beschreibe dein Vorgehen in Stichpunkten.
Bestimme mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen bis $50$. Beschreibe dein Vorgehen in Stichpunkten.
Potenzen
Statt $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ schreibst du kürzer $2^5$.
Wichtige Beispiele: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ und $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1.000$.
Berechne die Potenzen. a) $2^5$ b) $3^4$ c) $10^3$
Berechne die Potenzen.
- a) $2^5$
- b) $3^4$
- c) $10^3$
Primfaktorzerlegung
Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben.
So geht es: Teile die Zahl immer durch die kleinstmögliche Primzahl, bis $1$ übrig bleibt.
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren und schreibe sie mit Potenzen. a) $12$ b) $40$ c) $72$
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren und schreibe sie mit Potenzen.
- a) $12$
- b) $40$
- c) $72$
Max sagt: „Alle Primzahlen sind ungerade.“ Tom sagt: „Zwischen zwei Primzahlen liegt immer mindestens eine weitere Zahl.“ a) Prüfe beide Aussagen und widerlege sie,…
Max sagt: „Alle Primzahlen sind ungerade.“ Tom sagt: „Zwischen zwei Primzahlen liegt immer mindestens eine weitere Zahl.“
- a) Prüfe beide Aussagen und widerlege sie, falls sie falsch sind.
- b) Finde alle Primzahlzwillinge (Primzahlen mit Abstand $2$) unter $50$.
Mit Primfaktoren rechnen und überlegen
Die Zerlegung zeigt dir sofort alle Teiler einer Zahl. Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn alle Primfaktoren der zweiten (mit ihren Hochzahlen) auch in der ersten vorkommen.
Zurück zum Anfang: Die Busse treffen sich nach $36$ Minuten wieder, also um $6{:}36$ Uhr.
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $180$ und $300$. Gib an, welche Primfaktoren beide Zahlen gemeinsam haben.
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $180$ und $300$. Gib an, welche Primfaktoren beide Zahlen gemeinsam haben.
Zwei Buslinien in Düsseldorf fahren um $6:00$ Uhr gleichzeitig ab. Linie A fährt alle $12$ Minuten, Linie B alle $18$ Minuten. Wann fahren beide Busse zum nächsten Mal…
Zwei Buslinien in Düsseldorf fahren um $6:00$ Uhr gleichzeitig ab. Linie A fährt alle $12$ Minuten, Linie B alle $18$ Minuten. Wann fahren beide Busse zum nächsten Mal gleichzeitig ab? Nutze die Primfaktorzerlegung.
Eine Zahl hat die Primfaktorzerlegung $2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$. a) Berechne die Zahl. b) Ist sie durch $12$ teilbar? Begründe mithilfe der Primfaktoren. c) Gib die…
Eine Zahl hat die Primfaktorzerlegung $2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$.
- a) Berechne die Zahl.
- b) Ist sie durch $12$ teilbar? Begründe mithilfe der Primfaktoren.
- c) Gib die kleinste natürliche Zahl an, mit der du sie multiplizieren musst, damit das Ergebnis durch $7$ und durch $9$ teilbar ist.
Eine Schulleiterin möchte $84$ Stifte und $126$ Hefte so auf Päckchen verteilen, dass alle Päckchen gleich aussehen und nichts übrig bleibt. a) Bestimme die…
Eine Schulleiterin möchte $84$ Stifte und $126$ Hefte so auf Päckchen verteilen, dass alle Päckchen gleich aussehen und nichts übrig bleibt.
- a) Bestimme die größtmögliche Anzahl an Päckchen mithilfe der Primfaktorzerlegung.
- b) Was enthält dann ein Päckchen?