Kürzen und Erweitern
Beim Schulfest in Köln werden zwei gleich große Pizzen gebacken. Die eine ist in 4 Stücke geschnitten, die andere in 8. Mia isst 2 von 8 Stücken, Ben isst 1 von 4 Stücken. Hat einer von beiden mehr gegessen? Am Ende der Seite weißt du es sicher.
Erweitern: feiner einteilen
Ein Bruch sagt, wie viele Teile eines Ganzen gemeint sind. Teilst du jedes Stück noch einmal in kleinere Stücke, wird die Einteilung feiner. Der Anteil bleibt aber gleich groß.
Aus $\frac{1}{4}$ wird $\frac{2}{8}$: Zähler und Nenner wurden beide mit $2$ multipliziert.
$$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$$Warum bleibt der Wert gleich? Jedes Stück wird in 4 kleinere Stücke zerlegt. Es gibt dann 4-mal so viele Stücke ($20$ statt $5$), und du nimmst auch 4-mal so viele ($12$ statt $3$).
Erweitere den Bruch $\frac{3}{5}$ mit $2$, mit $4$ und mit $10$.
Erweitere den Bruch $\frac{3}{5}$ mit $2$, mit $4$ und mit $10$.
Ergänze die fehlende Zahl. a) $\frac{2}{3} = \frac{\square}{12}$ b) $\frac{14}{21} = \frac{2}{\square}$ c) $\frac{5}{8} = \frac{25}{\square}$
Ergänze die fehlende Zahl.
- a) $\frac{2}{3} = \frac{\square}{12}$
- b) $\frac{14}{21} = \frac{2}{\square}$
- c) $\frac{5}{8} = \frac{25}{\square}$
Kürzen: gröber einteilen
Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns. Mehrere kleine Stücke werden zu größeren zusammengefasst.
$$\frac{12}{18} = \frac{12 \mathbin{:} 6}{18 \mathbin{:} 6} = \frac{2}{3}$$Du kannst nur durch eine Zahl kürzen, die gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner ist. Die Teilbarkeitsregeln helfen dir beim Finden.
Du kannst auch gleich mit dem größten gemeinsamen Teiler kürzen: $\frac{18}{24}$ mit $6$ ergibt direkt $\frac{3}{4}$.
Kürze die Brüche so weit wie möglich. a) $\frac{6}{8}$ b) $\frac{15}{25}$ c) $\frac{18}{24}$
Kürze die Brüche so weit wie möglich.
- a) $\frac{6}{8}$
- b) $\frac{15}{25}$
- c) $\frac{18}{24}$
Kürzen mit der Primfaktorzerlegung
Bei großen Zahlen siehst du den gemeinsamen Teiler nicht sofort. Dann zerlegst du Zähler und Nenner in Primfaktoren. Gemeinsame Faktoren kürzt du weg.
Bleibt kein gemeinsamer Primfaktor übrig, ist der Bruch vollständig gekürzt.
Kürze mit Hilfe der Primfaktorzerlegung auf die einfachste Form. a) $\frac{84}{126}$ b) $\frac{90}{150}$
Kürze mit Hilfe der Primfaktorzerlegung auf die einfachste Form.
- a) $\frac{84}{126}$
- b) $\frac{90}{150}$
Gleicher Wert, andere Schreibweise
Erweitern und Kürzen ändern nur die Schreibweise, nicht den Wert. Man nennt solche Brüche gleichwertig. Du erkennst das so: Lässt sich ein Bruch durch Kürzen oder Erweitern in den anderen verwandeln, sind sie gleich groß.
Zurück zur Pizza: Mias Anteil ist $\frac{2}{8}$. Gekürzt mit $2$ ergibt das $\frac{1}{4}$. Das ist Bens Anteil. Beide haben gleich viel gegessen.
Ein Bruch hat den Wert $\frac{3}{7}$. Sein Zähler und sein Nenner ergeben zusammen $50$, wenn man ihn erweitert. Bestimme den erweiterten Bruch und den…
Ein Bruch hat den Wert $\frac{3}{7}$. Sein Zähler und sein Nenner ergeben zusammen $50$, wenn man ihn erweitert. Bestimme den erweiterten Bruch und den Erweiterungsfaktor. Begründe dein Vorgehen.
Paula sagt: „$\frac{4}{9}$ kann man nicht kürzen, aber $\frac{12}{27}$ kann man kürzen. Also sind beide Brüche verschieden groß.“ Nimm Stellung. Berechne dazu, auf…
Paula sagt: „$\frac{4}{9}$ kann man nicht kürzen, aber $\frac{12}{27}$ kann man kürzen. Also sind beide Brüche verschieden groß.“
Nimm Stellung. Berechne dazu, auf welchen Bruch sich $\frac{12}{27}$ kürzen lässt, und begründe, warum das Kürzen den Wert eines Bruches nicht verändert.
Finde alle Brüche mit dem Nenner $36$, die den gleichen Wert haben wie ein Bruch mit dem Nenner $6$ und dem Zähler zwischen $1$ und $5$ (jeweils einschließlich). Gib die…
Finde alle Brüche mit dem Nenner $36$, die den gleichen Wert haben wie ein Bruch mit dem Nenner $6$ und dem Zähler zwischen $1$ und $5$ (jeweils einschließlich). Gib die Brüche mit Nenner $6$ und $36$ an und kürze sie anschließend so weit wie möglich.
Brüche als Prozentzahl
Prozent heißt „von hundert“. Es gilt $1\,\% = \frac{1}{100}$. Hat ein Bruch den Nenner $100$, kannst du die Prozentzahl direkt ablesen:
$$\frac{37}{100} = 37\,\%$$Andere Brüche erweiterst oder kürzt du zuerst auf den Nenner $100$.
Praktisch zu merken: $\frac{1}{2} = 50\,\%$, $\frac{1}{4} = 25\,\%$, $\frac{1}{5} = 20\,\%$, $\frac{1}{10} = 10\,\%$.
In einer Klasse mit $24$ Kindern sind $18$ Kinder mit dem Fahrrad zur Schule gekommen. Gib den Anteil als gekürzten Bruch an. Erweitere ihn anschließend auf den Nenner…
In einer Klasse mit $24$ Kindern sind $18$ Kinder mit dem Fahrrad zur Schule gekommen. Gib den Anteil als gekürzten Bruch an. Erweitere ihn anschließend auf den Nenner $100$ und schreibe ihn als Prozentzahl.
Schreibe als Bruch mit dem Nenner $100$ und als Prozentzahl. a) $\frac{3}{4}$ b) $\frac{7}{20}$ c) $\frac{2}{5}$
Schreibe als Bruch mit dem Nenner $100$ und als Prozentzahl.
- a) $\frac{3}{4}$
- b) $\frac{7}{20}$
- c) $\frac{2}{5}$
Auf einen Blick
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Erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, z. B. $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$.
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Kürzen: Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler teilen, z. B. $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
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Der Wert des Bruches bleibt gleich, nur die Einteilung ändert sich.
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Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ haben. Hilfe: Primfaktorzerlegung.
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Prozent: Auf den Nenner $100$ erweitern oder kürzen, dann ist der Zähler die Prozentzahl: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\,\%$.
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Vorsicht: Beim Erweitern und Kürzen wird multipliziert bzw. geteilt, nie addiert oder subtrahiert.