Pläne und Maßstab

Auf einer Straßenkarte von Deutschland ist der Maßstab $1:250.000$ angegeben. Wenn du mit einem Lineal den Abstand zwischen zwei Orten misst und genau $8\text{ cm}$ abliest, wie viele Kilometer liegen diese beiden Orte in Wirklichkeit auseinander?

Auf einer Wanderkarte siehst du eine Maßstabsleiste, auf der eine Strecke von $1\text{ cm}$ in der Wirklichkeit $500\text{ Meter}$ entspricht. Die Route, die du wandern möchtest, ist auf der Karte $12\text{ cm}$ lang. Wie viele Kilometer wirst du insgesamt gehen?

Eine Straßenkarte hat einen Maßstabsbalken, bei dem eine Strecke von $2$ cm einer tatsächlichen Entfernung von $15$ km entspricht. Wenn der Abstand zwischen zwei Städten auf dieser Karte $9,4$ cm beträgt, wie groß ist die tatsächliche Entfernung zwischen beiden Städten in Kilometern?

Im Grundriss einer Wohnung im Maßstab $1:100$ ist das Elternschlafzimmer als Rechteck dargestellt, das $4\text{ cm}$ lang und $3\text{ cm}$ breit ist. Berechne die tatsächlichen Maße des Zimmers in Metern.

Markus entwirft im Technikunterricht den Grundriss seines Zimmers im Maßstab $1:50$. Er misst mit dem Lineal die Hauptwand, an der das Bett stehen soll, und notiert eine Länge von $7,2\text{ cm}$. Anschließend rechnet er, um das echte Maß zu bestimmen: $7,2 \cdot 50 = 360$, und schreibt in sein Heft: „Die Wand meines Zimmers ist $360\text{ Meter}$ lang."

1. Erkläre begründet, warum das Ergebnis von Markus für eine Wohnung physikalisch keinen Sinn ergibt.

2. Benenne den konkreten Fehler bei den Einheiten oder im Verständnis, den er beim Deuten des Maßstabs gemacht hat.

3. Korrigiere sein Vorgehen und bestimme die richtige tatsächliche Länge der Wand in Metern.

Du hast beschlossen, die Einrichtung deines Zimmers zu ändern, und möchtest einen Plan im Maßstab $1:20$ zeichnen, um zu sehen, ob ein neuer Schreibtisch hineinpasst. Wenn dein Zimmer rechteckig ist und $4,2$ Meter lang und $3,4$ Meter breit ist, welche Abmessungen (Länge und Breite) hat das Rechteck in deiner Zeichnung, angegeben in Zentimetern?

Eine Gruppe von Archäologen hat ein antikes Gefäß auf Papier gezeichnet. In der Zeichnung ist das Gefäß $15\text{ cm}$ hoch. Das echte Gefäß hat eine Höhe von $75\text{ cm}$. Welchen Maßstab haben die Archäologen verwendet?

Du hast zwei verschiedene Karten desselben Gebiets. Auf Karte A beträgt der Abstand zwischen zwei Dörfern $6$ cm und der Maßstab ist $1:50.000$. Auf Karte B beträgt der Abstand zwischen denselben Dörfern $15$ cm. Berechne, welchen Zahlenmaßstab Karte B hat.

Eine Drohne zur Waldüberwachung fliegt eine rechteckige Route über einem Naturpark. In der Leitstelle sehen die Techniker die Route auf einem digitalen Bildschirm im Maßstab $1:50.000$. Auf diesem Bildschirm ist das Rechteck $12\text{ cm}$ lang und $8\text{ cm}$ breit. Für den gedruckten Bericht müssen sie die Karte jedoch so verkleinern, dass die Länge der Route nur noch $4\text{ cm}$ misst.

Berechne:

1. Den tatsächlichen Flächeninhalt des Naturparks in Quadratkilometern ($\text{km}^2$).

2. Den Maßstab, den die Karte im gedruckten Bericht haben muss.

Der Plan eines städtischen Fußballplatzes ist im Maßstab $1:400$ gezeichnet. Im Plan ist die Rasenfläche ein Rechteck von $25$ cm Länge und $15$ cm Breite. Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt des Fußballplatzes in Quadratmetern.

Du entwirfst dein eigenes „Gaming Room“ in einem Plan im Maßstab $1:40$. In der Zeichnung hat das Zimmer einen Flächeninhalt von $75\text{ cm}^2$. Du hast einen professionellen Schreibtisch gesehen, der in Wirklichkeit eine Fläche von $1,28\text{ m}^2$ einnimmt, und einen Stuhl, der $0,6\text{ m}^2$ einnimmt.

Wenn du dich entscheidest, den Schreibtisch und zwei gleiche Stühle aufzustellen, welche tatsächliche Fläche bleibt dann im Zimmer frei? Gib das Ergebnis in Quadratmetern ($\text{m}^2$) an.

Der Plan eines städtischen Schwimmbads ist in einem Maßstab gezeichnet, bei dem eine Wand, die in Wirklichkeit $25\text{ Meter}$ misst, durch eine Strecke von $12,5\text{ cm}$ dargestellt wird. Im Plan hat der Beckenboden einen Flächeninhalt von $120\text{ cm}^2$.

Der tatsächliche Beckenboden soll mit quadratischen Fliesen mit $20\text{ cm}$ Seitenlänge ausgelegt werden. Wie viele Fliesen müssen gekauft werden?