Aufgaben: Pläne und Maßstab

Auf einer Straßenkarte von Deutschland ist der Maßstab $1:250.000$ angegeben. Wenn du mit einem Lineal den Abstand zwischen zwei Orten misst und genau $8\text{ cm}$ abliest, wie viele Kilometer liegen diese beiden Orte in Wirklichkeit auseinander?

Du möchtest dein neues Grafiktablett in deinem Heft zeichnen. Das Tablett ist in Wirklichkeit $30\text{ cm}$ lang. Wenn du dich für einen Verkleinerungsmaßstab von $1:3$ entscheidest, wie lang ist dann die Zeichnung in deinem Heft?

Eine Gruppe von Archäologen hat ein antikes Gefäß auf Papier gezeichnet. In der Zeichnung ist das Gefäß $15\text{ cm}$ hoch. Das echte Gefäß hat eine Höhe von $75\text{ cm}$. Welchen Maßstab haben die Archäologen verwendet?

Im Grundriss einer Wohnung im Maßstab $1:100$ ist das Elternschlafzimmer als Rechteck dargestellt, das $4\text{ cm}$ lang und $3\text{ cm}$ breit ist. Berechne die tatsächlichen Maße des Zimmers in Metern.

Ein Sammler von Modellautos hat ein Modell im Maßstab $1:24$. Das Modell ist $18\text{ cm}$ lang. Wie lang ist das echte Auto in Metern?

Auf einer Wanderkarte siehst du eine Maßstabsleiste, auf der eine Strecke von $1\text{ cm}$ in der Wirklichkeit $500\text{ Meter}$ entspricht. Die Route, die du wandern möchtest, ist auf der Karte $12\text{ cm}$ lang. Wie viele Kilometer wirst du insgesamt gehen?

Ein Biologe fotografiert eine kleine Ameisenkönigin mit einem Vergrößerungsmaßstab von $5:1$. Auf dem Foto ist die Ameise $45\text{ mm}$ lang. Wie groß ist sie in Wirklichkeit in Millimetern?

In einem Flyer einer Sporthalle wurde ein Basketballfeld im Maßstab $1:200$ gezeichnet. Das echte Feld ist $28\text{ Meter}$ lang. Wie viele Zentimeter lang ist das Feld in der Zeichnung auf dem Flyer?

Markus entwirft im Technikunterricht den Grundriss seines Zimmers im Maßstab $1:50$. Er misst mit dem Lineal die Hauptwand, an der das Bett stehen soll, und notiert eine Länge von $7,2\text{ cm}$. Anschließend rechnet er, um das echte Maß zu bestimmen: $7,2 \cdot 50 = 360$, und schreibt in sein Heft: „Die Wand meines Zimmers ist $360\text{ Meter}$ lang."

1. Erkläre begründet, warum das Ergebnis von Markus für eine Wohnung physikalisch keinen Sinn ergibt.

2. Benenne den konkreten Fehler bei den Einheiten oder im Verständnis, den er beim Deuten des Maßstabs gemacht hat.

3. Korrigiere sein Vorgehen und bestimme die richtige tatsächliche Länge der Wand in Metern.

Du planst eine Wanderroute durch den Naturpark Cabo de Gata (Almería) mit einer topografischen Karte im Maßstab $1:40.000$. Mit einem Lineal misst du zwischen zwei Buchten an der Küste eine Luftlinie von $7,5\text{ cm}$.

1. Schätze: Schätze zuerst im Kopf, ohne Taschenrechner und ohne schwierige Multiplikationen mit Dezimalzahlen. Im Maßstab $1:40.000$ entspricht jeder Zentimeter etwas weniger als einem halben Kilometer ($0,4\text{ km}$). Liegt die tatsächliche Entfernung näher bei $1\text{ km}$, bei $3\text{ km}$ oder bei $10\text{ km}$? Erkläre, worauf du dich stützt.

2. Berechne: Nutze den Maßstab, um den genauen Wert der tatsächlichen Entfernung in Kilometern zu bestimmen.

3. Überprüfe: Vergleiche die Rechnung mit deiner Schätzung und begründe, ob eine Person, die mit gleichbleibender Geschwindigkeit von $4\text{ km/h}$ geht, für diese Strecke in Luftlinie mehr oder weniger als eine Stunde brauchen würde.

Auf einer Wanderkarte des Harzes ist der Maßstab $1:25.000$ angegeben. Wenn der mit dem Lineal gemessene Abstand zwischen dem Torfhaus und dem Brocken auf dem Papier $12,4$ cm beträgt, wie viele Kilometer muss eine Wandergruppe in Wirklichkeit in gerader Linie von einem Punkt zum anderen zurücklegen?

Eine junge Architektin entwirft einen neuen Skatepark für ihre Stadt. Im technischen Plan hat die Hauptspringbahn eine Länge von $15$ cm. Wenn der Park im Maßstab $1:150$ gebaut werden soll, berechne die tatsächliche Länge der Bahn in Metern.

Du hast beschlossen, die Einrichtung deines Zimmers zu ändern, und möchtest einen Plan im Maßstab $1:20$ zeichnen, um zu sehen, ob ein neuer Schreibtisch hineinpasst. Wenn dein Zimmer rechteckig ist und $4,2$ Meter lang und $3,4$ Meter breit ist, welche Abmessungen (Länge und Breite) hat das Rechteck in deiner Zeichnung, angegeben in Zentimetern?

Beim Modell eines berühmten Fernsehturms beträgt die Höhe des Nachbaus $85$ cm. Wenn die tatsächliche Höhe des Turms $255$ Meter beträgt, bestimme den vereinfachten Zahlenmaßstab, in dem das Modell gebaut wurde.

Eine Straßenkarte hat einen Maßstabsbalken, bei dem eine Strecke von $2$ cm einer tatsächlichen Entfernung von $15$ km entspricht. Wenn der Abstand zwischen zwei Städten auf dieser Karte $9,4$ cm beträgt, wie groß ist die tatsächliche Entfernung zwischen beiden Städten in Kilometern?

Ein Biologe beobachtet eine Ameise durch ein Mikroskop. In seiner technischen Zeichnung hat die Ameise eine Länge von $12$ cm. Wenn der Maßstab der Zeichnung eine Vergrößerung von $25:1$ ist, wie lang ist die Ameise in Wirklichkeit, angegeben in Millimetern?

Der Plan eines städtischen Fußballplatzes ist im Maßstab $1:400$ gezeichnet. Im Plan ist die Rasenfläche ein Rechteck von $25$ cm Länge und $15$ cm Breite. Berechne den tatsächlichen Flächeninhalt des Fußballplatzes in Quadratmetern.

Du hast zwei verschiedene Karten desselben Gebiets. Auf Karte A beträgt der Abstand zwischen zwei Dörfern $6$ cm und der Maßstab ist $1:50.000$. Auf Karte B beträgt der Abstand zwischen denselben Dörfern $15$ cm. Berechne, welchen Zahlenmaßstab Karte B hat.

Das Sportamt einer Stadt will ein Informationsblatt mit dem Plan eines regelgerechten Sportplatzes im Freien herausgeben. Die tatsächlichen Abmessungen des Platzes sind $40\text{ m}$ lang und $20\text{ m}$ breit. Im Layout der Druckerei wurde für diesen Plan ein geschlossener Rahmen von $12\text{ cm}$ Länge und $8\text{ cm}$ Breite reserviert. Der Gestalter kann nur zwischen vier genormten Standardmaßstäben wählen: $1:200$, $1:300$, $1:400$ und $1:500$.

1. Untersuche jeden Maßstab und bestimme den größten Maßstab (den mit dem höchsten Detailgrad), mit dem der gesamte Platz in den Rahmen gezeichnet werden kann, ohne einen der Ränder zu überschreiten.

2. Berechne mit dem gewählten passenden Maßstab die genauen Abmessungen (Länge und Breite) des auf dem Papier gezeichneten Rechtecks in Zentimetern.

3. Wie viele Zentimeter freier Rand bleiben in der Länge und in der Breite innerhalb des Rahmens des Informationsblatts?

Über das Online-Portal des Katasteramts ruft eine landwirtschaftliche Genossenschaft aus dem Kreis Soest ein rechteckiges Ackergrundstück auf, das in einer Karte im Maßstab $1:5.000$ dargestellt ist. Auf dem Bildschirm ist das Rechteck des Grundstücks $8\text{ cm}$ lang und $5\text{ cm}$ breit.

1. Modelliere die Situation mathematisch und berechne die tatsächlichen Abmessungen des Grundstücks (Länge und Breite) in Metern.

2. Bestimme den gesamten tatsächlichen Flächeninhalt des Grundstücks in Quadratmetern ($\text{m}^2$) und rechne ihn in Hektar ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$) um.

3. Agronomische Berichte der Region geben einen durchschnittlichen Ertrag von $4.200\text{ kg}$ Oliven pro Hektar an, und es ist bekannt, dass in der Ölmühle $20\,\%$ ihres Gewichts als natives Olivenöl extra gewonnen werden. Berechne, wie viele Kilogramm Olivenöl die Genossenschaft mit der Ernte dieses Grundstücks voraussichtlich produziert.

Eine Drohne zur Waldüberwachung fliegt eine rechteckige Route über einem Naturpark. In der Leitstelle sehen die Techniker die Route auf einem digitalen Bildschirm im Maßstab $1:50.000$. Auf diesem Bildschirm ist das Rechteck $12\text{ cm}$ lang und $8\text{ cm}$ breit. Für den gedruckten Bericht müssen sie die Karte jedoch so verkleinern, dass die Länge der Route nur noch $4\text{ cm}$ misst.

Berechne:

1. Den tatsächlichen Flächeninhalt des Naturparks in Quadratkilometern ($\text{km}^2$).

2. Den Maßstab, den die Karte im gedruckten Bericht haben muss.

Du entwirfst dein eigenes „Gaming Room“ in einem Plan im Maßstab $1:40$. In der Zeichnung hat das Zimmer einen Flächeninhalt von $75\text{ cm}^2$. Du hast einen professionellen Schreibtisch gesehen, der in Wirklichkeit eine Fläche von $1,28\text{ m}^2$ einnimmt, und einen Stuhl, der $0,6\text{ m}^2$ einnimmt.

Wenn du dich entscheidest, den Schreibtisch und zwei gleiche Stühle aufzustellen, welche tatsächliche Fläche bleibt dann im Zimmer frei? Gib das Ergebnis in Quadratmetern ($\text{m}^2$) an.

Auf einer Straßenkarte von Deutschland im Maßstab $1:2.500.000$ beträgt die mit dem Lineal gemessene Entfernung zwischen Berlin und Düsseldorf $14,2\text{ cm}$. Ein Lieferwagen fährt um $08:00\text{ h}$ in Berlin los und fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $90\text{ km/h}$ nach Düsseldorf.

Wann wird er voraussichtlich am Ziel ankommen, wenn er auf halber Strecke eine halbe Stunde Pause macht?

Eine Karten-App auf einem Smartphone zeigt einen Stadtteil. Bei Zoomstufe A ist der Maßstab $1:15.000$ und der Abstand zwischen zwei U-Bahn-Haltestellen beträgt $6\text{ cm}$. Wenn der Nutzer herauszoomt, bis der Maßstab $1:50.000$ beträgt (Stufe B):

1. Wie groß ist dann der Abstand zwischen diesen beiden Haltestellen auf dem Bildschirm in Zentimetern?

2. Wenn der Bildschirm des Telefons einen Flächeninhalt von $80\text{ cm}^2$ hat, wie viele Quadratkilometer städtischer Fläche werden in Stufe B in Wirklichkeit angezeigt?

Ein Architekt hat ein Modell eines neuen Auditoriums im Maßstab $1:250$ gebaut. Das Gesamtvolumen des Modells beträgt $0,64\text{ dm}^3$.

Die Dichte der echten Materialien ist zwar anders, aber das Volumen ist proportional zur dritten Potenz des Maßstabs. Berechne das tatsächliche Volumen des Auditoriums in Kubikmetern ($\text{m}^3$).

(Hinweis: Denke daran: Wenn der Längenmaßstab $k$ ist, ist der Volumenmaßstab $k^3$.)

Der Plan eines städtischen Schwimmbads ist in einem Maßstab gezeichnet, bei dem eine Wand, die in Wirklichkeit $25\text{ Meter}$ misst, durch eine Strecke von $12,5\text{ cm}$ dargestellt wird. Im Plan hat der Beckenboden einen Flächeninhalt von $120\text{ cm}^2$.

Der tatsächliche Beckenboden soll mit quadratischen Fliesen mit $20\text{ cm}$ Seitenlänge ausgelegt werden. Wie viele Fliesen müssen gekauft werden?

Bei einer alten Karte fehlt die Angabe des Zahlenmaßstabs. Sie zeigt jedoch einen Maßstabsbalken, bei dem eine Strecke von $3,5\text{ cm}$ auf dem Papier einer tatsächlichen Entfernung von $17,5\text{ Kilometer}$ entspricht.

1. Bestimme den Zahlenmaßstab der Karte.

2. Zwei Dörfer sind auf der Karte $12\text{ cm}$ voneinander entfernt. Wie viele Stunden braucht ein Radfahrer von einem zum anderen bei einer konstanten Geschwindigkeit von $24\text{ km/h}$?

Von einem Originalplan im Maßstab $1:200$ wurde eine Fotokopie angefertigt. Wegen eines Einstellfehlers wurde die Kopie auf $75\%$ der ursprünglichen Größe verkleinert.

Auf der Fotokopie ist das Wohnzimmer der Wohnung $6\text{ cm}$ lang.

1. Welchen Maßstab hat die Fotokopie in Bezug auf die Wirklichkeit?

2. Wie lang ist das Wohnzimmer in Wirklichkeit in Metern?

Das Stadtplanungsamt hat den Plan eines künftigen Fußgängerplatzes im Maßstab $1:200$. In diesem Plan nimmt der Platz eine Fläche von $64\text{ cm}^2$ ein. Für eine Bürgerausstellung soll eine Vergrößerung desselben Platzes auf einer Tafel im Maßstab $1:50$ gezeichnet werden. Zwei Zeichner diskutieren, welche Methode am besten geeignet ist, um den Flächeninhalt des Platzes auf der neuen Tafel zu bestimmen:

• Methode A (Weg über die Wirklichkeit): Den tatsächlichen Flächeninhalt des Platzes in $\text{m}^2$ aus dem ersten Plan und seinem Maßstab ($1:200$) berechnen und aus diesem tatsächlichen Wert den Flächeninhalt auf der Tafel im Maßstab $1:50$ ableiten.

• Methode B (direktes Flächenverhältnis): Die beiden Maßstäbe direkt vergleichen, indem man beobachtet, dass $200 \div 50 = 4$ gilt (die Längen auf der Tafel vervierfachen sich), und direkt das Verhältnis der Flächen anwenden, indem man den ursprünglichen Flächeninhalt mit $4^2 = 16$ multipliziert.

• Löse die Aufgabe mit Methode A Schritt für Schritt und gib den tatsächlichen Flächeninhalt in $\text{m}^2$ und den endgültigen Flächeninhalt auf der Tafel in $\text{cm}^2$ an.

• Löse die Aufgabe mit Methode B und prüfe, ob beide Ergebnisse genau übereinstimmen.

• Vergleiche beide Verfahren: Welches verringert das Risiko von Fehlern bei Einheitenumrechnungen, und welches wäre unverzichtbar, wenn man zusätzlich die Kosten für die Pflasterung des tatsächlichen Platzes veranschlagen sollte?

Während einer Hitzewelle überwacht der Katastrophenschutz einen aktiven Waldbrand mit einer Notfall-App im Maßstab $1:25.000$. Auf der taktischen Karte wird die verbrannte Fläche näherungsweise durch ein Trapez mit den Grundseiten $6\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ und einer Höhe von $4\text{ cm}$ dargestellt.

1. Berechne den Flächeninhalt des Brandes auf der Karte in $\text{cm}^2$ und berechne mithilfe des quadratischen Zusammenhangs der Maßstäbe ($\text{Reale Fläche} = \text{Fläche im Plan} \cdot k^2$) die tatsächlich verbrannte Fläche direkt in Hektar ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$). Begründe den verwendeten Umrechnungsfaktor.

2. Auf derselben taktischen Karte misst die Brandfront, die die Bodentrupps bekämpfen müssen, eine Strecke von $12\text{ cm}$. Die Einsatzleitung verlangt, eine Handkarte für die Trupps auf eine laminierte Folie zu drucken, deren maximal nutzbarer Platz $15\text{ cm}$ beträgt. Wenn ein normierter technischer Maßstab $1:k$ verwendet werden muss, bei dem $k$ ein exaktes Vielfaches von $5.000$ ist ($1:15.000$, $1:20.000$, $1:25.000$, $1:30.000$ ...), bestimme den Maßstab mit dem größten Detailgrad (kleinster Wert von $k$), der es erlaubt, die gesamte Front darzustellen, ohne $15\text{ cm}$ zu überschreiten, und berechne die genaue Länge, die diese Front auf der Karte haben wird.

Herausforderung zum Thema. Entwirf die Renovierung deines Zimmers!

1. Plan und Maßstab: Miss mit einem Maßband die tatsächlichen Abmessungen deines Zimmers. Zeichne einen Plan im Maßstab $1:50$ (von Hand oder mit GeoGebra) und berechne das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Fläche und der Fläche der Zeichnung.

2. Budget und Ergiebigkeit: Suche auf einer Webseite eines Händlers den Preis für einen Eimer Farbe. Wenn $2$ Eimer $15,5\text{ m}^2$ bei $2$ Anstrichen und $4$ Stunden Arbeit abdecken, berechne mit einem zusammengesetzten Dreisatz, wie viele Eimer und Stunden du bräuchtest, um die Decke deines Zimmers (mit gleichem Flächeninhalt wie der Boden) mit $3$ Anstrichen zu streichen. Ziehe von den Endkosten einen Rabatt von $10\%$ ab und addiere $21\%$ Mehrwertsteuer.

3. Aufteilung und Modellierung: Erstelle in einer Tabellenkalkulation eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der antiproportionalen Zuordnung $t = k/n$ (aufgewendete Zeit in Abhängigkeit von der Anzahl $n$ der streichenden Personen). Simuliere abschließend die Finanzierung der Gesamtkosten durch eine direkt proportionale Aufteilung auf zwei Verwandte nach ihrem Alter.

Lege einen kurzen Bericht mit dem Plan, der Tabelle mit dem Graphen und den ausführlichen Rechnungen vor.

Bewertet wird:

• Genauigkeit bei der Berechnung des Maßstabs, des Verhältnisses und bei der Zeichnung des Plans.

• Richtigkeit und Genauigkeit beim zusammengesetzten Dreisatz und beim Umgang mit Prozenten.

• Angemessene Darstellung der antiproportionalen Zuordnung und Lösung der proportionalen Aufteilung.

• Verständliche Darstellung und Präsentation der Daten im Bericht.