Funciones de variable real. Tipos de funciones
Valentina contrata un plan de datos en su celular: los primeros 10 GB tienen un precio fijo de Bs 105 y cada GB extra se cobra aparte. Antes de preguntarnos qué le pasa a esa función justo en los 10 GB (el tema de límites y continuidad), tienes que manejar con soltura qué es una función, de qué tipo es y cómo se combinan. Este apartado es un repaso en bloque de lo que ya conoces de años anteriores.
Tipos de funciones y su dominio
El dominio de una función es el conjunto de valores de $x$ para los que la fórmula tiene sentido. Cada tipo de función tiene su restricción característica.
Fíjate en el gráfico: la raíz empieza en $x=-4$ y el logaritmo en $x=1$. Allí donde la fórmula deja de tener sentido, la gráfica no existe.
Clasifica las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica): a) $f(x) = 3^x - 1$ b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ c)…
Clasifica las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):
- a) $f(x) = 3^x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$
- c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$
- d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$
- e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándote en las restricciones de las operaciones que las forman: a)…
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándote en las restricciones de las operaciones que las forman:
- a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$
- b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$
- c) $h(x) = \ln(x - 1)$
Dominios con varias condiciones
Cuando una función combina varios tipos, cada operación impone su condición y el dominio es la intersección de todas. Es lo mismo que resolver un sistema de inecuaciones.
Determina el dominio de definición más amplio posible para la siguiente función real de variable real, expresando el resultado mediante la unión de intervalos: $$f(x) =…
Determina el dominio de definición más amplio posible para la siguiente función real de variable real, expresando el resultado mediante la unión de intervalos:
$$f(x) = \sqrt{\frac{\ln(x^2 - 8)}{|x| - 4}}$$Para resolverlo, deberás considerar simultáneamente las restricciones impuestas por la raíz cuadrada, el logaritmo neperiano y el denominador de la fracción.
Puntos de corte con los ejes
Los puntos de corte son los lugares donde la gráfica toca los ejes coordenados. Se calculan con un método sencillo para cada eje.
En una función racional, $f(x)=0$ equivale a que el numerador sea cero, siempre que el denominador no se anule en ese valor.
Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$: 1. Calcula su dominio. 2. Identifica si existe algún punto donde la función presente una "discontinuidad…
Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:
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Calcula su dominio.
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Identifica si existe algún punto donde la función presente una "discontinuidad evitable" (un punto donde el numerador y el denominador se anulen simultáneamente).
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Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$. 1. Demuestra que para cualquier valor de $k$, la función…
Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.
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Demuestra que para cualquier valor de $k$, la función es par.
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Determina los puntos de corte con los ejes en función de $k$.
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Encuentra el valor de $k$ para que la función tome el valor $y = 1/2$ cuando $x = 3$.
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Discute si existe algún valor de $k$ para el cual la función tenga asíntotas verticales.
Funciones a trozos
Una función definida a trozos usa expresiones distintas según el intervalo de $x$. El punto donde cambia de expresión es el que hay que vigilar: si los dos trozos "empalman" en el mismo valor, la función es continua ahí; si no, hay un salto.
(El gráfico muestra el costo en bolivianos de un plan de datos: Bs 15 fijos hasta los 10 GB y Bs 2 por cada GB extra.)
Una empresa de telefonía ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $105$ bolivianos fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $14$ bolivianos. La…
Una empresa de telefonía ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $105$ bolivianos fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $14$ bolivianos. La función que representa el costo total $C(x)$ en función de los GB consumidos $x$ es:
$C(x) = \begin{cases} 105 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 105 + 14(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudia si la función es continua en el punto crítico $x = 10$.
Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una…
Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una cuota fija de $105$ bolivianos. A partir de ahí, el precio por cada GB adicional aumenta de forma lineal según la función $P(x) = 105 + 3,50(x - 20)$, donde $x$ es el número total de GB consumidos.
Sin embargo, si el usuario supera los $100$ GB, la empresa aplica una penalización por exceso de tráfico y la función pasa a ser $P(x) = 0,70x^2 - 315$.
Escribe la expresión analítica de la función costo total $C(x)$ como una función definida a trozos y comprueba si el precio "salta" o es continuo justo en el momento de consumir $100$ GB.
Dada la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x^2 + 3} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Halla los valores…
Dada la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x^2 + 3} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(-2, 0)$ y que es continua en el punto de abscisa $x = 1$. Una vez hallados, estudia la simetría de la función en el intervalo $[1, +\infty)$.
Operaciones y composición
Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realiza las siguientes operaciones y determina el dominio de la función resultante: a) $(f + g)(x)$ b)…
Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realiza las siguientes operaciones y determina el dominio de la función resultante:
- a) $(f + g)(x)$
- b) $(f \cdot g)(x)$
- c) $(\frac{f}{g})(x)$
Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$. 1. Halla la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$. 2. Determina el dominio de…
Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.
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Halla la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.
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Determina el dominio de $(g \circ f)(x)$.
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¿Coincide este dominio con el de la función $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifica tu respuesta.
Una empresa de ingeniería aeroespacial está diseñando la trayectoria de ascenso de una sonda. La altura $h$ en kilómetros, medida desde un nivel de referencia (negativa…
Una empresa de ingeniería aeroespacial está diseñando la trayectoria de ascenso de una sonda. La altura $h$ en kilómetros, medida desde un nivel de referencia (negativa por debajo de él), respecto al tiempo $t$ en minutos viene dada por una función compuesta. Se sabe que la función externa es $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ y la función interna es $g(t) = \sqrt{t^2 - 1}$.
Calcula la expresión analítica de la función de altura total $H(t) = (f \circ g)(t)$ y determina razonadamente su dominio y su recorrido en el contexto físico del problema, sabiendo que la sonda comienza su misión en $t = 1$.
Función inversa
Una función $f$ es inyectiva si valores distintos de $x$ dan valores distintos de $y$: si $f(a)=f(b)$ entonces $a=b$. Solo las funciones inyectivas tienen inversa. Gráficamente, ninguna recta horizontal corta la gráfica más de una vez.
La inversa $f^{-1}$ "deshace" lo que hace $f$: $f^{-1}(f(x))=x$. Su dominio es el rango de $f$ y su rango es el dominio de $f$.
El rango también se obtiene al despejar. En $A(x)=\dfrac{10}{1+e^{-0{,}5x}}$ (una función "logística"): de $y=\dfrac{10}{1+e^{-0{,}5x}}$ sale $e^{-0{,}5x}=\dfrac{10-y}{y}$, y tomando logaritmo, $x=-2\ln\!\left(\dfrac{10-y}{y}\right)=2\ln\!\left(\dfrac{y}{10-y}\right)$. Ese logaritmo solo existe si $\dfrac{y}{10-y}>0$, es decir, $0 Halla la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el dominio y el recorrido de ambas funciones y comprueba gráficamente su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Sea la función $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demuestra analíticamente que la función es inyectiva en todo su dominio. A continuación, obtén la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$ y especifica claramente el dominio y el recorrido de dicha inversa. Un algoritmo de inteligencia artificial procesa datos de entrada $x$ mediante una función de activación logística modificada: La figura muestra la gráfica de $A(x)$ para $x$ entre $-10$ y $10$. Se desea encontrar la función inversa $A^{-1}(x)$ para que el sistema pueda realizar el proceso inverso (decodificación).Halla la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el dominio y el recorrido de ambas funciones y comprueba gráficamente su simetría…
Sea la función $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demuestra analíticamente que la función es inyectiva en todo su dominio. A continuación, obtén la expresión de su…
Un algoritmo de inteligencia artificial procesa datos de entrada $x$ mediante una función de activación logística modificada: $$A(x) = \frac{10}{1 + e^{-0,5x}}$$ La…
Simetría: funciones pares e impares
Estudia la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$: 1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ 2.…
Estudia la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$:
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$f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
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$g(x) = x \cdot \cos(x)$
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$h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Función coseno hiperbólico)
Toda función $f(x)$ puede descomponerse, en los puntos $x$ en los que existen $f(x)$ y $f(-x)$, de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar…
Toda función $f(x)$ puede descomponerse, en los puntos $x$ en los que existen $f(x)$ y $f(-x)$, de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar $h(x)$, de tal manera que:
$$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad \text{y} \quad h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$Dada la función $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, halla sus componentes par e impar. Comprueba analíticamente que, efectivamente, $g(x)$ es una función par y $h(x)$ es una función impar. ¿Cuáles son los dominios de cada una de estas tres funciones?
Transformaciones de gráficos y parábolas
Muchas gráficas se obtienen a partir de una función elemental (como $\ln x$, $x^2$ o $e^x$) con movimientos del plano.
Para una composición de transformaciones, como $g(t)=\bigl|\ln(|t-2|)-1\bigr|$, se va de adentro hacia afuera: primero el corrimiento $t-2$, luego el valor absoluto interior, después el $-1$ y por último el valor absoluto exterior.
Parábolas
La gráfica de $y=at^2+bt+c$ es una parábola. Su vértice está en $t_v=-\dfrac{b}{2a}$, y la ordenada al origen es $c$ (el valor en $t=0$, es decir, el corte con el eje vertical, como viste en la sección de cortes). Si $a<0$ abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntala como una función definida a trozos y calcula su valor para $x = 0$ y $x = 5$.
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntala como una función definida a trozos y calcula su valor para $x = 0$ y $x = 5$.
Un dron de vigilancia realiza un vuelo de prueba siguiendo una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la función: $$H(t) = -t^2…
Un dron de vigilancia realiza un vuelo de prueba siguiendo una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la función:
$$H(t) = -t^2 + 20t + 5$$La gráfica de la trayectoria es la siguiente:
- a) ¿Desde qué altura despega el dron?
- b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?
- c) Si el dron debe aterrizar cuando su batería llega al $5\,\%$ (lo que ocurre a los $21$ segundos), ¿a qué altura se encontrará en ese momento? Explica si el resultado tiene sentido físico.
En el estudio de señales sonoras, se utiliza la función $s(t) = \ln(t)$ para representar la intensidad de una señal primaria. Debido a una interferencia, la señal…
En el estudio de señales sonoras, se utiliza la función $s(t) = \ln(t)$ para representar la intensidad de una señal primaria. Debido a una interferencia, la señal resultante se transforma según la regla $g(t) = |s(|t-2|)-1|$.
Representa gráficamente la función final $g(t)$ partiendo de la función elemental $\ln(t)$ y explicando detalladamente cada una de las transformaciones geométricas (traslaciones, simetrías y valores absolutos) que tienen lugar.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Leer límites y asíntotas en un gráfico
Antes de calcular límites con técnicas, se pueden leer en una gráfica. El límite de $f$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda ($x\to a^-$) o por la derecha ($x\to a^+$) es el valor al que se acerca la altura de la curva, no necesariamente el valor de $f(a)$.
En la figura, $\lim_{x\to1^-}f(x)=2$, $\lim_{x\to1^+}f(x)=3$ y $f(1)=1$. Como los límites laterales son distintos, la función da un salto en $x=1$.
Cuando la función es "buena" en el punto (polinómica, exponencial, raíz o racional con denominador no nulo), el límite se calcula por sustitución directa: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, siempre que $a$ esté en el dominio y el resultado sea finito.
Asíntotas desde el gráfico
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Vertical $x=a$: la curva se dispara hacia $+\infty$ o $-\infty$ al acercarse a $a$. En una racional suele aparecer donde se anula el denominador y no el numerador.
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Horizontal $y=b$: la curva se acerca a la recta $y=b$ cuando $x$ crece o decrece sin límite.
Calcula los siguientes límites directos por sustitución, comprobando si el valor obtenido es finito: a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$ b)…
Calcula los siguientes límites directos por sustitución, comprobando si el valor obtenido es finito:
- a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$
- b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{x + 3}$
- c) $\lim_{x \to -1} \sqrt{x + 5}$
A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, identifica los valores de los límites laterales y la imagen de la función en el punto de discontinuidad $x = 1$.…
A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, identifica los valores de los límites laterales y la imagen de la función en el punto de discontinuidad $x = 1$. En la gráfica, el círculo vacío indica un punto que no pertenece a la gráfica y el círculo relleno indica un punto que sí pertenece a ella.
- a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$
- b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$
- c) $f(1)$
Observa la siguiente gráfica e identifica visualmente las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales:
Observa la siguiente gráfica e identifica visualmente las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales:
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas describen fenómenos que se repiten: las horas de luz a lo largo del año, el sonido. Se consideran funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, con el ángulo $x$ medido en radianes.
Observa tres características:
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Periodo: $\operatorname{sen}$ y $\cos$ se repiten cada $2\pi$.
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Amplitud: $\operatorname{sen}$ y $\cos$ oscilan entre $-1$ y $1$, así que su amplitud es $1$. En $y=A\operatorname{sen}(x)$ la amplitud es $|A|$.
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Escala del eje $x$: se marca en múltiplos de $\pi$ ($\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $2\pi$…), no en números enteros.
La tangente
La tangente es el cociente $\tan x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$. No está definida donde $\cos x=0$, es decir, en $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ con $k$ entero. Allí la gráfica tiene asíntotas verticales.
Fíjate que la gráfica de $\tan$ se repite cada $\pi$ (su periodo es $\pi$), pasa por el origen y toma todos los valores reales: no tiene amplitud, porque no está acotada.
Circunferencia unitaria
En la circunferencia de radio $1$, el punto que corresponde al ángulo $x$ es $(\cos x;\ \operatorname{sen} x)$: el coseno es la coordenada horizontal y el seno es la vertical.
La misma figura justifica las igualdades siguientes, sin memorizar fórmulas:
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$\cos x=\cos(2\pi-x)$: puntos simétricos respecto del eje horizontal tienen la misma abscisa.
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$\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}(\pi-x)$: puntos simétricos respecto del eje vertical tienen la misma ordenada.
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$\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x$: el seno es una función impar.
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$\operatorname{sen}x=\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$ (y, de forma equivalente, $\cos x=\operatorname{sen}\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$): la gráfica del seno es la del coseno corrida $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la derecha. Se ve en los gráficos de arriba: el coseno vale $1$ en $x=0$, y el seno alcanza su máximo $1$ recién en $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Con esto puedes volver al gancho: el precio del plan de Valentina era una función a trozos y la pregunta era si "empalma" en los 10 GB. Ya sabes cómo decidirlo: comparas los dos trozos en ese punto. Cuando valen lo mismo, la función es continua.