Ejercicios de cónicas

Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.

Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.

En un examen de Geometría Analítica, Marcos se encuentra con el siguiente enunciado: «Determina el lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ del plano cuya distancia al punto $A(-3, 0)$ es exactamente el triple de su distancia al punto $B(1, 0)$». Sin realizar operaciones, Marcos afirma: «Como intervienen dos puntos fijos que actúan como focos y una constante de proporcionalidad, la curva resultante es con total seguridad una elipse con focos en $A$ y $B$».

1. a) Explica razonadamente el error conceptual cometido por Marcos a partir de la definición métrica rigurosa de la elipse frente a la condición dada en el enunciado.
2. b) Plantea analíticamente la condición del enunciado ($d(P, A) = 3 \cdot d(P, B)$), elimina los radicales y obtén la ecuación reducida u ordinaria de la cónica para demostrarle a Marcos qué figura geométrica se obtiene realmente, especificando las coordenadas de su centro y el valor de su radio.

Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.

Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.

El centro de Salvamento Marítimo de Finisterre (Galicia) monitoriza la trayectoria de una boya a la deriva en el océano mediante dos estaciones fijas situadas en $A(-5, 0)$ y $B(5, 0)$ (coordenadas en kilómetros).

1. a) En una primera fase, la boya $P(x, y)$ emite impulsos acústicos que llegan a $B$ antes que a $A$, manteniéndose constante la diferencia de distancias a ambas estaciones: $d(P, A) - d(P, B) = 6\text{ km}$. Identifica razonadamente sobre qué tipo de cónica y sobre cuál de sus dos ramas se mueve la boya, deduce sus parámetros ($a, b, c$) y escribe su ecuación reducida.
2. b) En una segunda fase, la boya entra en el área litoral frente a una línea recta de costa descrita por $r: x = -7$. Los sensores registran que en ese tramo la boya se mueve manteniendo en todo momento la misma distancia a la estación $A(-5, 0)$ que a la línea de costa $r$. Identifica esta segunda cónica, determina las coordenadas de su vértice, su foco y su parámetro $p$, y obtén su ecuación canónica u ordinaria.
3. c) Determina analíticamente las coordenadas de los puntos donde pudieron cruzarse ambas trayectorias registradas (intersección de las dos cónicas en la región $x > 0$) y discute la coherencia geométrica de las soluciones obtenidas.

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.

Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.

Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.

Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.

Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).

Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria.

Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.

Inspirándose en las famosas «galerías de los susurros» de los grandes templos del mundo, una sala de divulgación científica de la ciudad de La Paz tiene una bóveda de sección semielíptica para aprovechar la propiedad acústica focal: cualquier susurro emitido desde uno de sus focos rebota en el techo y se escucha con nitidez en el otro foco. La base horizontal del suelo mide $10\text{ m}$ de anchura (eje mayor coincidente con el suelo) y la altura máxima en el centro de la sala es de $3\text{ m}$.

1. a) Sitúa el origen de coordenadas en el centro del suelo y escribe la ecuación reducida de la elipse que modela la sección del techo, identificando los semiejes $a$ y $b$.
2. b) ¿A qué distancia exacta de las paredes laterales deben colocarse de pie dos visitantes para ubicarse sobre los focos acústicos y experimentar el fenómeno?
3. c) Una escultura vertical de $2,5\text{ m}$ de altura se va a colocar de pie sobre el suelo a una distancia horizontal de $3\text{ m}$ respecto al centro de la sala. Justifica mediante el cálculo de la altura del techo en ese punto si la escultura rozará o no con el techo.

Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.

La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.

Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, resuelve:

1. a) Halla la ecuación de la trayectoria.

1. b) Determina las coordenadas exactas de los vértices y de los focos.

1. c) Representa gráficamente la curva (en la figura tienes los ejes y el punto $P$; puedes copiarla en tu cuaderno).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Diseña y construye, justificando la elección de cada parámetro, la ecuación general de una cónica de la forma $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ con coeficientes enteros que satisfaga de forma simultánea las siguientes tres condiciones:

1) Es una hipérbola equilátera (sus asíntotas son perpendiculares entre sí y se cumple que $a = b$).

2) Su centro está situado en el punto $C(2, -1)$.

3) Pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$.

Una vez obtenida la ecuación general desarrollada, explica detalladamente qué relación entre los signos y valores de los coeficientes $A$ y $B$ garantiza que la cónica sea una hipérbola y por qué sus asíntotas resultan perpendiculares.

Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.

El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.

Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.

Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la elipse de ecuación reducida $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ y la recta $r: x + y - 4 = 0$.

1. a) Antes de operar algebraicamente, realiza una estimación geométrica razonada: obtén los cuatro vértices de la elipse, determina los puntos de corte de la recta $r$ con los ejes coordenados y deduce de forma justificada si la recta es exterior, tangente o secante a la elipse, indicando si esperas encontrar cero, uno o dos puntos de corte.
2. b) Comprueba tu estimación mediante el método analítico: plantea el sistema de ecuaciones, sustituye la recta en la elipse, calcula el discriminante ($\Delta$) de la ecuación de segundo grado resultante e interpreta su signo. Finalmente, halla las coordenadas exactas de los puntos de contacto para confirmar si tu previsión inicial era acertada.

Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.

Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control.

Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente.

Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección.

Para hallar las rectas tangentes a la circunferencia $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ trazadas desde el punto exterior $P(5, 5)$, se proponen dos caminos metodológicos:

• Método A (Algebraico general): Plantear el haz de rectas que pasa por $P$, $y - 5 = m(x - 5)$, sustituir en la cónica e imponer que el discriminante de la ecuación de segundo grado resultante sea nulo ($\Delta = 0$).

• Método B (Geométrico métrico): Obtener el centro $C$ y el radio $R$ de la circunferencia completando cuadrados, e imponer que la distancia del centro a la recta general $mx - y + (5 - 5m) = 0$ sea igual al radio ($d(C, r) = R$).

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos de forma completa para obtener los valores de las pendientes $m$ y escribe las ecuaciones generales de las dos tangentes resultantes.
2. b) Compara críticamente ambos métodos: ¿cuál de los dos resulta notablemente más ágil y con menor carga de cálculo en este caso? ¿Podrías aplicar el Método B con la misma sencillez si la cónica fuera una elipse de la forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$? Justifica tu respuesta a partir de las propiedades geométricas de ambas curvas.