Punto medio de un segmento
Wilmer vive en la esquina que tomamos como origen del plano y Camila, a 8 cuadras hacia el este y 6 hacia el norte, en El Alto. Quieren encontrarse justo a mitad de camino para comprar una salteña. ¿En qué esquina tienen que quedar? Eso es un punto medio, y vas a ver que aparece escondido en muchos problemas de geometría analítica: centros, diagonales, simetrías.
La fórmula del punto medio
¿Por qué funciona? Para ir de $A$ a $M$ se recorre la mitad del camino en horizontal y la mitad en vertical. Quedar a mitad de camino entre dos números es tomar su promedio, y eso se hace en cada coordenada por separado.
Con Wilmer y Camila: $\left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{0+6}{2}\right)=(4, 3)$. Se encuentran 4 cuadras al este y 3 al norte. Así se cierra la pregunta del principio.
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.
El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.
El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.
El punto medio en figuras geométricas
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.
Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.
Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.
Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.
Diagonales de un paralelogramo
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su…
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$.
En el plano territorial de una comarca (con distancias en kilómetros), la sede central comarcal de mensajería se ubica en $A(1, 3)$ y una filial en $C(9, 7)$. La empresa…
En el plano territorial de una comarca (con distancias en kilómetros), la sede central comarcal de mensajería se ubica en $A(1, 3)$ y una filial en $C(9, 7)$. La empresa proyecta construir una nave intermedia de distribución en el punto medio $M$ del segmento $AC$.
- a) Calcula las coordenadas del centro de distribución $M$.
- b) La empresa desea completar un recinto logístico con forma de paralelogramo $ABCD$, de modo que $AC$ y $BD$ sean sus diagonales. Si el segundo almacén está ubicado en $B(2, 8)$, halla razonadamente las coordenadas del cuarto almacén $D$ utilizando la propiedad que comparten las diagonales de un paralelogramo respecto a su punto medio.
- c) Una autovía rectilínea sigue el trazado de la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. Averigua analíticamente si el centro de distribución $M$ y el almacén $D$ tienen acceso directo a la autovía (es decir, si pertenecen a la recta $r$).
Los puntos medios de un cuadrilátero
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo…
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo de Varignon) y calcula su área.
El triángulo, la mediana y el baricentro
Aquí $M$ es el punto medio del lado $AB$.
Reconstruir un triángulo desde los puntos medios de sus lados
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres…
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres vértices del triángulo $A, B$ y $C$.
Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.
Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la…
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la propiedad del baricentro respecto a los puntos medios de los lados.
Puntos medios con parámetros y lugares geométricos
Si las coordenadas de un extremo dependen de un parámetro, el punto medio también, y puedes imponerle una condición.
Otro tipo de problema: ¿qué recorre el punto medio cuando un extremo se mueve sobre una recta? Es un lugar geométrico.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
El punto $M(3, 2)$ es el punto medio de un segmento de extremos desconocidos $A$ y $B$. Se sabe además que el extremo $A$ se encuentra sobre la recta $r: y = 2x - 1$,…
El punto $M(3, 2)$ es el punto medio de un segmento de extremos desconocidos $A$ y $B$. Se sabe además que el extremo $A$ se encuentra sobre la recta $r: y = 2x - 1$, mientras que el extremo $B$ está apoyado sobre el eje de abscisas ($y = 0$).
- a) Escribe las coordenadas genéricas de los puntos $A$ y $B$ en función de un único parámetro independiente para cada uno.
- b) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales que determina de forma única las coordenadas numéricas de $A$ y $B$.
- c) Comprueba analíticamente si el segmento $AB$ resulta ser perpendicular a la recta $r$ calculando las pendientes de ambos elementos.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
El punto simétrico respecto de una recta
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto…
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto medio del segmento $ST$ coincide con el punto de impacto en el espejo.
Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.
Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.