Área bajo una curva
En el tanque de agua de una casa de El Alto, en el arco de un puente o en el túnel de un lavado de autos, la figura casi nunca es un triángulo ni un trapecio. ¿Cuál es el área de la región entre la curva $f(x)=x^2$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=2$? No existe una fórmula geométrica para esa forma. La integral definida nace para resolver justo este problema.
Aproximar el área con rectángulos
Si no sabes calcular el área exacta de una forma curva, aproxímala con figuras que sí conoces. Divide el intervalo $[a, b]$ en trozos estrechos de anchura $\Delta x$ y, en cada trozo, levanta un rectángulo cuya altura sea el valor de $f(x)$ en ese trozo.
Cuantos más rectángulos uses (más estrechos), menos sobra o falta entre los escalones y la curva real, y la suma de sus áreas se acerca más al área verdadera.
Si $f$ es constante, el recinto ya es un rectángulo: el área es exacta con un solo rectángulo.
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se…
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se mueve con una velocidad constante de $v(t) = 12$ km/h durante la primera media hora ($t = 0,5$ h), plantea y calcula la integral definida que representa la distancia recorrida en ese tiempo.
La integral definida: notación y significado
Cuando el número de rectángulos crece sin límite ($n\to\infty$ y $\Delta x\to 0$), la suma de sus áreas se estabiliza en un número. Ese número es la integral definida de $f$ entre $a$ y $b$.
Cuando $f\ge 0$ en $[a, b]$, la integral es exactamente el área entre la curva y el eje $OX$. Si $f$ es sencilla (una recta, por ejemplo), puedes comprobarlo con geometría.
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas…
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 4$. Para ello:
-
Calcula el valor del área utilizando fórmulas geométricas elementales (área de un trapecio).
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Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicando la regla de Barrow y comprueba que ambos resultados coinciden.
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de: $$\int_{1}^{2} (3x^2…
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 5) \, dx$$Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente…
Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente de $18$ unidades cuadradas.
Antiderivadas para calcular la integral
Para calcular una integral definida sin sumar rectángulos usas la regla de Barrow: si $F$ es una antiderivada de $f$ (es decir, $F'(x)=f(x)$), entonces
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$Una antiderivada se encuentra leyendo la tabla de derivadas al revés. Estas son las que necesitas en este apartado:
| $f(x)$ | Una antiderivada $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n$ (con $n\ne -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\operatorname{sen}x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\operatorname{sen}x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x$ (para $x>0$) |
| $\ln x$ | $x\ln x - x$ |
¿Por qué? Basta derivar la columna derecha. Por ejemplo, $(-\cos x)'=\operatorname{sen}x$ y $(x\ln x-x)'=\ln x+1-1=\ln x$.
Si el argumento es lineal, $kx$, divide entre $k$: $\displaystyle\int\cos(kx)\,dx=\frac{\operatorname{sen}(kx)}{k}$ y $\displaystyle\int e^{kx}\,dx=\frac{e^{kx}}{k}$. Es lo que pide la regla de la cadena al derivar de regreso.
Lo mismo ocurre con una potencia de un binomio: $\displaystyle\int (x+a)^n\,dx=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$), porque al derivar $(x+a)^{n+1}$ la derivada interior de $x+a$ vale $1$ y no cambia nada.
Recta tangente y recta normal
Varios problemas usan una recta asociada a la curva. La tangente en $x=x_0$ tiene pendiente $f'(x_0)$. La normal es perpendicular a ella, así que su pendiente es $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$ (si $f'(x_0)\ne0$).
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo…
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo $[0, \pi]$. Calcula la superficie total de la figura limitada por la curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$.
Según los registros de radiación solar del SENAMHI en una estación meteorológica de Cochabamba durante un día despejado de primavera, la potencia instantánea generada…
Según los registros de radiación solar del SENAMHI en una estación meteorológica de Cochabamba durante un día despejado de primavera, la potencia instantánea generada por una instalación fotovoltaica se modeliza mediante la función:
$$P(t) = -0,1 t^2 + 2,4 t - 10,8$$donde $P(t)$ representa la potencia en megavatios ($\text{MW}$) y $t$ es la hora del día medida en el intervalo $[0, 24]$.
- a) Determina el intervalo de horas del día $[t_1, t_2]$ en el que la instalación genera energía de forma efectiva ($P(t) \ge 0$).
- b) Sabiendo que la energía acumulada total producida (en $\text{MWh}$) coincide con el área bajo la curva de potencia durante las horas de producción, calcula la energía total generada a lo largo de esa jornada.
- c) Si la energía se retribuye a una tarifa fija de $50\text{ \text{Bs}\ /MWh}$, halla el ingreso económico del día. Explica por qué habría sido un error metodológico calcular la energía mediante la integral directa $\int_0^{24} P(t)\,dt$.
Propiedades básicas de la integral definida
Tres reglas permiten manejar integrales sin calcularlas desde cero.
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema: Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$,…
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema:
Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula razonadamente el valor de:
-
$\int_{1}^{6} f(x) \, dx$
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$\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$
El signo de la integral: áreas por debajo del eje
Una suma de Riemann no distingue «arriba» de «abajo»: si $f(x)<0$, cada rectángulo tiene altura negativa y entra en la suma con signo negativo.
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).
Un túnel de lavado para autos tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana…
Un túnel de lavado para autos tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana (frontal) limitada por la estructura de la parábola y el suelo (eje $OX$), sabiendo que los puntos de apoyo en el suelo son $x = -2$ y $x = 2$.
Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Representa gráficamente el recinto antes de…
Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar los cálculos para identificar los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Funciones que cambian de signo: hay que partir la integral
Si $f$ es positiva en una parte de $[a, b]$ y negativa en otra, $\int_a^b f(x)\,dx$ mezcla áreas positivas y negativas y no da el área total: las partes se pueden cancelar. Para hallar el área real, localiza los puntos donde $f$ corta al eje $OX$ y separa la integral en tantos trozos como cambios de signo haya.
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. Nota: Observa que la función corta…
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.
Nota: Observa que la función corta al eje $OX$ en un punto dentro del intervalo dado, por lo que tendrás que descomponer el recinto en dos subáreas.
Lucía tiene que calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 1$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. En su examen…
Lucía tiene que calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 1$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:
$$\text{Área} = \int_{0}^{2} (x^2 - 1)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_0^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - 0 = \frac{2}{3} \approx 0,67\text{ u}^2$$- a) Sin realizar todavía ningún cálculo nuevo, explica detalladamente el error conceptual cometido por Lucía a partir del signo de $f(x)$ en el intervalo $[0, 2]$ y explica por qué su resultado final es menor que el área real.
- b) Corrige el ejercicio dividiendo adecuadamente el intervalo de integración y calcula el valor exacto del área.
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo…
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo dentro del intervalo, por lo que deberás descomponer la integral si es necesario.
Áreas de recintos: valor absoluto, a trozos y entre curvas
Muchos problemas piden el área de un recinto limitado por varias curvas. El método siempre es el mismo: dibuja, encuentra los puntos de corte y decide qué curva está arriba en cada tramo.
Para funciones con valor absoluto o definidas a trozos, escribe cada trozo sin barras y integra por separado, por ejemplo $|x^2-1|=x^2-1$ si $|x|\ge1$ y $1-x^2$ si $|x|<1$.
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye una forma curva definida por $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula el área de la parte del logotipo encerrada…
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye una forma curva definida por $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula el área de la parte del logotipo encerrada entre esta curva, el eje $OX$ y la recta vertical $x = 9$.
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica…
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica que la función siempre es no negativa, pero su expresión analítica cambia en los puntos donde el argumento se anula.
Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están…
Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están expresados en metros. El suelo del túnel coincide con el eje $OX$. Calcula el área de la sección transversal de la entrada del túnel.
Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$, el eje $OY$ y la recta tangente a la curva en…
Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$, el eje $OY$ y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 3$.
Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la…
Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la estabilidad, se debe colocar un refuerzo metálico que sigue la línea tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 4$.
Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($Eje\ OY$).
Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$. Calcula el área del…
Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$.
Calcula el área del recinto limitado superiormente por la recta $y = 5$ e inferiormente por la gráfica de la función $f(x)$. Nota: Ten en cuenta los puntos de corte y la definición de la función en valor absoluto para dividir la integral si fuera necesario.
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función. Ayuda: Deberás primero…
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función.
Ayuda: Deberás primero localizar el máximo relativo mediante la derivada, hallar el valor de la ordenada en dicho punto y luego determinar los puntos de intersección entre la curva y la recta resultante.
Vuelve al principio: el área bajo $f(x)=x^2$ entre $x=0$ y $x=2$ es $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}\approx 2{,}67$ u². Con $4$ rectángulos la estimación da $3{,}75$ y, con más rectángulos, se acerca cada vez más a $\frac{8}{3}$.