Circunferencia
Una antena de telefonía en El Alto está en el origen de un mapa (en km) y cubre hasta 5 km a la redonda. ¿Cómo decide la computadora si un celular ubicado en $(4, 2)$ tiene señal? La respuesta está en la ecuación de una circunferencia. Con ella vas a resolver también problemas con rectas y con otras circunferencias.
La ecuación reducida
El radio es la distancia fija al centro. Por eso la ecuación pide que $(x-h)^2+(y-k)^2$, es decir, la distancia al cuadrado, valga siempre $r^2$.
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el área de cobertura de una antena wifi, sabiendo que la antena está situada en el punto $(2, -3)$ de un plano…
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el área de cobertura de una antena wifi, sabiendo que la antena está situada en el punto $(2, -3)$ de un plano cartesiano (medido en kilómetros) y tiene un alcance máximo de $5$ km.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la zona circular regada por un aspersor agrícola cuya frontera viene dada por la ecuación…
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la zona circular regada por un aspersor agrícola cuya frontera viene dada por la ecuación $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.
Posición de un punto
Para saber si un punto está dentro, fuera o sobre la circunferencia, comparas su distancia al centro con el radio. Sin sacar raíz, alcanza con evaluar $(x_P-h)^2+(y_P-k)^2$ y compararlo con $r^2$:
Un sismógrafo detecta que el epicentro de un terremoto se sitúa en el origen de coordenadas y que la onda sísmica ha alcanzado un radio exacto de $10$ km. Comprueba…
Un sismógrafo detecta que el epicentro de un terremoto se sitúa en el origen de coordenadas y que la onda sísmica ha alcanzado un radio exacto de $10$ km. Comprueba analíticamente si una estación meteorológica situada en el punto $(6, -8)$ ha sentido el sismo o si se encuentra en el límite exacto de la onda.
Armar la ecuación con otros datos
Siempre necesitas centro y radio. Según lo que te den, los consigues así:
-
Centro y un punto: el radio es la distancia entre ambos.
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Extremos de un diámetro: el centro es el punto medio y el radio es la distancia del centro a un extremo.
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Tangente a los ejes: si el centro está en el primer cuadrante y la circunferencia toca ambos ejes, el centro es $(r, r)$.
Halla la ecuación de la circunferencia que representa el barrido de un radar de un barco. Se sabe que el radar está posicionado en las coordenadas $(-1, 4)$ y que en el…
Halla la ecuación de la circunferencia que representa el barrido de un radar de un barco. Se sabe que el radar está posicionado en las coordenadas $(-1, 4)$ y que en el extremo exacto de su pantalla detecta una boya situada en el punto $(2, 0)$.
Escribe la ecuación de la circunferencia que delimita una rotonda, sabiendo que los extremos de uno de sus diámetros (donde se sitúan dos pasos de cebra opuestos)…
Escribe la ecuación de la circunferencia que delimita una rotonda, sabiendo que los extremos de uno de sus diámetros (donde se sitúan dos pasos de cebra opuestos) corresponden a los puntos $(1, 2)$ y $(7, -6)$.
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el chasis de un robot aspirador de $15$ cm de radio cuando se encuentra encajado exactamente en la esquina de una…
Escribe la ecuación de la circunferencia que describe el chasis de un robot aspirador de $15$ cm de radio cuando se encuentra encajado exactamente en la esquina de una habitación. Considera que las paredes coinciden con los semiejes positivos de coordenadas (cuadrante I) y el robot es tangente a ambas paredes.
La ecuación general
Si desarrollas los cuadrados de la ecuación reducida (con las identidades notables) y pasas todo al primer miembro, aparece una forma sin paréntesis.
¿Por qué? Al desarrollar $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ queda $x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2-r^2=0$, y se comparan los coeficientes uno a uno.
Halla el centro y el radio de la circunferencia que describe el borde exterior de un engranaje en un plano de diseño asistido por computadora, cuya ecuación general es…
Halla el centro y el radio de la circunferencia que describe el borde exterior de un engranaje en un plano de diseño asistido por computadora, cuya ecuación general es $x^2+y^2-6x+8y=0$.
Determina si la ecuación $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matemáticamente una circunferencia válida en el motor físico de un videojuego. Justifica tu respuesta…
Determina si la ecuación $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matemáticamente una circunferencia válida en el motor físico de un videojuego. Justifica tu respuesta calculando su centro y el valor de su radio al cuadrado.
Lucas tiene que calcular el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación general $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. En su examen escribe lo siguiente: «El…
Lucas tiene que calcular el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación general $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. En su examen escribe lo siguiente:
«El centro es $C(-6, 4)$ porque son directamente los coeficientes que acompañan a $x$ e $y$. Para el radio, sustituyo en la fórmula y obtengo $r = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 12} = \sqrt{36 + 16 - 12} = \sqrt{40} \approx 6,32$».
Identifica y explica detalladamente los dos errores conceptuales que ha cometido Lucas al deducir el centro y el radio a partir de la ecuación general. A continuación, muestra el razonamiento correcto y calcula las coordenadas exactas del centro $C$ y el valor exacto del radio $r$.
Determina la ecuación de la circunferencia que define el carril exterior de una pista de atletismo, sabiendo que es concéntrica a la circunferencia del carril interior…
Determina la ecuación de la circunferencia que define el carril exterior de una pista de atletismo, sabiendo que es concéntrica a la circunferencia del carril interior $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ y que pasa por la posición de salida situada en $(1, 1)$.
Familia de circunferencias
Si en la ecuación general dejas un parámetro libre, por ejemplo $k$, obtienes una familia de circunferencias: cada valor de $k$ da una circunferencia distinta (o un punto, o ninguna).
Se considera la familia de curvas dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, donde $k$ es un número real. a) Determina de forma razonada el valor que debe tomar…
Se considera la familia de curvas dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, donde $k$ es un número real.
- a) Determina de forma razonada el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación represente una circunferencia de radio exactamente igual a $5$ unidades, y escribe su correspondiente ecuación reducida.
- b) Justifica qué figura u objeto geométrico representa dicha ecuación si se toma $k = 13$, y qué ocurre si se elige cualquier valor $k > 13$.
Circunferencia por tres puntos o con el centro en una recta
Con la forma general $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ tienes tres incógnitas. Cada punto por el que pasa la circunferencia da una ecuación: reemplazas sus coordenadas y armas un sistema de $3\times 3$ muy sencillo.
Si el centro está sobre una recta dada, escribes $C(a, b)$ con $a$ y $b$ ligadas por la recta, e impones que la distancia a cada punto sea la misma.
Para el circuncírculo de un triángulo, usa los tres vértices como puntos; si hace falta, halla primero los vértices resolviendo el sistema de las rectas de los lados.
Halla la ecuación de la circunferencia que reconstruye el borde de una antigua vasija de cerámica encontrada en una excavación arqueológica. Los restauradores han medido…
Halla la ecuación de la circunferencia que reconstruye el borde de una antigua vasija de cerámica encontrada en una excavación arqueológica. Los restauradores han medido tres puntos intactos del borde, que en un sistema de ejes coordenados corresponden a $(0, 0)$, $(4, 0)$ y $(0, 3)$.
Calcula la ecuación de la circunferencia que perfila la estructura principal de una noria de feria. Se sabe que el eje central de rotación descansa sobre un pilar…
Calcula la ecuación de la circunferencia que perfila la estructura principal de una noria de feria. Se sabe que el eje central de rotación descansa sobre un pilar inclinado representado por la recta $x+y-4=0$ y que las cabinas pasan por las plataformas de embarque situadas en los puntos $(2, 0)$ y $(0, 2)$.
Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al parque triangular delimitado por las avenidas cuyas ecuaciones son $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$.
Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al parque triangular delimitado por las avenidas cuyas ecuaciones son $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$.
Recta secante y cuerdas
Una recta y una circunferencia pueden cortarse en dos puntos (secante), en uno (tangente) o en ninguno (exterior). Para saberlo, despeja una variable de la recta, reemplázala en la circunferencia y mira el discriminante $\Delta$ de la ecuación cuadrática que queda: $\Delta>0$ secante, $\Delta=0$ tangente, $\Delta<0$ exterior.
Si la recta es secante, el segmento entre los dos puntos de corte es una cuerda. Por ejemplo, para $x^2+y^2=25$ e $y=3$: $x^2=16$, $x=\pm 4$, y la cuerda mide $4-(-4)=8$.
Estudia analíticamente la posición relativa entre la órbita de un satélite artificial, modelizada por la circunferencia $x^2+y^2=4$, y la trayectoria rectilínea de un…
Estudia analíticamente la posición relativa entre la órbita de un satélite artificial, modelizada por la circunferencia $x^2+y^2=4$, y la trayectoria rectilínea de un asteroide dada por la ecuación $y=x+2$. Determina los puntos de intersección en caso de que existan.
Calcula la longitud de la superficie libre del agua dentro de una tubería circular de ecuación $x^2+y^2=100$. Se sabe que el nivel del agua se ha estabilizado formando…
Calcula la longitud de la superficie libre del agua dentro de una tubería circular de ecuación $x^2+y^2=100$. Se sabe que el nivel del agua se ha estabilizado formando una cuerda horizontal sobre la recta $y=6$.
La recta tangente
La recta tangente toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular al radio que llega a ese punto.
Otra forma: la recta es tangente cuando la distancia del centro a la recta es igual al radio. La distancia del punto $(x_0, y_0)$ a la recta $Ax+By+C=0$ es
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$Esto sirve para hallar una circunferencia tangente a una recta (el radio es esa distancia) y para encontrar parámetros.
Calcula la ecuación de la recta tangente a la trayectoria circular trazada por un lanzador de martillo en el momento exacto en que suelta el cable. La trayectoria del…
Calcula la ecuación de la recta tangente a la trayectoria circular trazada por un lanzador de martillo en el momento exacto en que suelta el cable. La trayectoria del martillo viene dada por la circunferencia $x^2+y^2=25$ y el atleta suelta el cable cuando la bola pasa por el punto $(3, 4)$.
Escribe la ecuación de la circunferencia que representa una polea cuyo eje de rotación está fijado en el punto $(3, -2)$ y que está en contacto tangencial con una correa…
Escribe la ecuación de la circunferencia que representa una polea cuyo eje de rotación está fijado en el punto $(3, -2)$ y que está en contacto tangencial con una correa de transmisión cuya línea de acción es la recta $4x-3y+2=0$.
Un dron realiza una maniobra evasiva siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la familia de rectas $y=2x+k$. El espacio aéreo restringido alrededor de un radar se…
Un dron realiza una maniobra evasiva siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la familia de rectas $y=2x+k$. El espacio aéreo restringido alrededor de un radar se define mediante la circunferencia $x^2+y^2=5$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dron roza el espacio restringido sin llegar a penetrar en él (es decir, la recta es tangente a la circunferencia).
Tangentes desde un punto exterior o con una dirección dada
Desde un punto exterior $P$: escribe la recta general por $P$ con pendiente $m$ (incógnita) e impón que la distancia del centro a la recta sea igual al radio.
Con una dirección dada (por ejemplo, paralelas a una recta): las rectas paralelas a $Ax+By=0$ son $Ax+By+c=0$, y busca $c$ con la condición de tangencia.
Si el centro no es el origen, la distancia es $\dfrac{|A a+B b+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ y se resuelve igual.
Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes trazadas desde un faro situado en el punto $(0, 4)$ hacia un depósito cilíndrico de combustible cuya base ocupa la…
Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes trazadas desde un faro situado en el punto $(0, 4)$ hacia un depósito cilíndrico de combustible cuya base ocupa la región delimitada por la circunferencia $x^2+y^2=4$. Estas rectas representan los límites de las sombras proyectadas en el suelo.
El diseño de un nudo viario exige trazar dos carreteras rectas que sean tangentes a una plaza circular central cuya ecuación es $x^2+y^2-6x+8y=0$. Además, por motivos de…
El diseño de un nudo viario exige trazar dos carreteras rectas que sean tangentes a una plaza circular central cuya ecuación es $x^2+y^2-6x+8y=0$. Además, por motivos de planificación urbana, estas carreteras deben ser paralelas a una avenida principal de ecuación $3x-4y=0$. Encuentra las ecuaciones de ambas carreteras tangentes.
Dos circunferencias entre sí
La posición relativa se decide comparando la distancia $d$ entre los centros con los radios $r_1$ y $r_2$:
| Condición | Posición |
|---|---|
| $d > r_1+r_2$ | exteriores |
| $d = r_1+r_2$ | tangentes exteriores |
| $\lvert r1-r2\rvert < d < r_1+r_2$ | secantes (dos puntos) |
| $d = \lvert r_1-r_2\rvert$ | tangentes interiores |
| $d < \lvert r_1-r_2\rvert$ | una dentro de la otra |
Cuando son secantes, restando las ecuaciones generales desaparecen $x^2$ e $y^2$ y queda una recta: el eje radical, que pasa por los dos puntos de corte. Para hallarlos, cruza esa recta con una de las circunferencias.
Estudia la posición relativa entre las frentes de onda generados por dos gotas al caer en un estanque, modelizados por las circunferencias $C_1: x^2+y^2=9$ y…
Estudia la posición relativa entre las frentes de onda generados por dos gotas al caer en un estanque, modelizados por las circunferencias $C_1: x^2+y^2=9$ y $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.
Halla la ecuación del eje radical de las dos circunferencias que modelizan el área de influencia de dos antenas de radio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ y $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.
Halla la ecuación del eje radical de las dos circunferencias que modelizan el área de influencia de dos antenas de radio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ y $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.
El sistema GPS de un teléfono celular recibe señales de dos torres de telecomunicaciones. La primera torre está en el origen de coordenadas y estima que el celular está…
El sistema GPS de un teléfono celular recibe señales de dos torres de telecomunicaciones. La primera torre está en el origen de coordenadas y estima que el celular está a $5$ km de distancia. La segunda torre está en el punto $(5, 0)$ y estima que el celular está a $4$ km de distancia. Halla las coordenadas exactas de los dos posibles puntos donde podría encontrarse el teléfono celular calculando la intersección de ambas circunferencias.
Lugares geométricos que resultan circunferencias
A veces el enunciado no te da una circunferencia, sino una condición que cumplen los puntos $P(x, y)$. Escribe la condición con la fórmula de distancia, desarrolla y reconoce la forma $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$.
En un experimento de acústica, se busca el lugar geométrico de todos los puntos del plano donde el sonido emitido por un altavoz situado en $A(6, 0)$ se percibe con la…
En un experimento de acústica, se busca el lugar geométrico de todos los puntos del plano donde el sonido emitido por un altavoz situado en $A(6, 0)$ se percibe con la cuarta parte de la intensidad que el sonido emitido por otro altavoz idéntico en el origen $O(0, 0)$. Esto equivale a hallar los puntos $P(x, y)$ cuya distancia al punto $A$ es el doble que su distancia al punto $O$. Demuestra que este lugar geométrico es una circunferencia y halla su centro y su radio.
En un problema de optimización de redes, se requiere encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos…
En un problema de optimización de redes, se requiere encontrar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos servidores fijos situados en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$ sea exactamente igual a $20$. Demuestra analíticamente que la figura resultante es una circunferencia y obtén su ecuación.
Vuelve al principio: la antena en el origen cubre $x^2+y^2=25$. Para el celular en $(4, 2)$ tenemos $16+4=20<25$, así que está dentro de la zona de cobertura y tiene señal.