Integración por cambio de variable

A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:

Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:

Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.

Un equipo docente diseña un examen con un reto inverso sobre primitivas compuestas de tipo potencia. Desean que la solución a una integral indefinida sea:

y que proceda de integrar una función racional de la forma:

donde $a$ y $b$ son constantes reales fijas.

1. a) Deriva la función $F(x)$ aplicando la regla de la cadena y deduce los valores numéricos exactos de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $\int f(x)\, dx = F(x)$.
2. b) Generaliza el razonamiento: ¿qué relación de proporcionalidad debe guardar obligatoriamente el numerador $m \cdot x + n$ respecto a la derivada del polinomio del denominador para que cualquier integral del tipo $\int \frac{m \cdot x + n}{(x^2 + 4x + 7)^k}\, dx$ (con $k > 1$) pueda resolverse como una potencia inmediata de tipo $u'(x) \cdot [u(x)]^{-k}$ sin necesidad de recurrir a la descomposición en fracciones simples?

Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:

En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.

Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:

Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:

La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.

Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable sugerido $t = 2x + 1$:

En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utiliza el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:

Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:

Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$ para simplificar la expresión:

Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:

Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.

En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:

Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:

En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:

Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.

Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.

Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.

Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.

Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:

Indica paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizarías para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.

Para resolver la primitiva $I = \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}\, dx$, el departamento de matemáticas propone contrastar dos cambios de variable distintos:

• Estrategia A (sustituir el radicando): Definir $u = e^x + 1$, de modo que el radicando sea $u$, y transformar el resto de elementos del integrando operando con potencias de exponente fraccionario.

• Estrategia B (sustituir la raíz completa): Definir $t = \sqrt{e^x + 1}$ (o lo que es equivalente, $t^2 = e^x + 1$), despejar las potencias de $e^x$ y diferenciar $2t\, dt = e^x\, dx$ para eliminar cualquier raíz del integrando desde el primer paso.

1. a) Desarrolla por completo la Estrategia A, detallando cómo sustituyes $e^{2x}$ y $dx$, integrando en la variable $u$ y deshaciendo el cambio hasta expresar la solución final en función de $x$.
2. b) Desarrolla por completo la Estrategia B, escribiendo la integral resultante como un polinomio en la variable $t$, integrando y retornando a la variable original $x$.
3. c) Compara ambos desarrollos: comprueba si conducen a expresiones equivalentes, explica qué ventajas operativas aporta erradicar de raíz los exponentes fraccionarios frente al método estándar y justifica cuál de las dos estrategias resulta más robusta para evitar errores de cálculo en una prueba de evaluación.