Propiedades de la integral definida

Un dron se desplaza horizontalmente con una velocidad constante de $v(t) = 12$ metros por segundo. Calcula el espacio recorrido por el dron entre los segundos $t=5$ y $t=15$ planteando la integral definida de la función constante:

Comprueba el resultado usando la fórmula geométrica del área de un rectángulo. En la figura se sombrea la región comprendida entre la gráfica de $v(t)$ y el eje de tiempos para $5 \le t \le 15$.

Dadas dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[1, 5]$, conocemos los siguientes valores de sus integrales definidas:

Utiliza las propiedades de linealidad de la integral para calcular el valor de:

Se sabe que una señal eléctrica captada por un sensor sigue un comportamiento descrito por dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$. Tras realizar varias mediciones en el laboratorio, se han obtenido los siguientes valores para sus integrales definidas en el intervalo $[1, 4]$:

$\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y $\int_{1}^{4} g(x) \, dx = -3$

Utilizando las propiedades de linealidad de la integral definida, calcula el valor de la integral resultante de la combinación de ambas señales en dicho intervalo:

Marcos está resolviendo ejercicios de repaso para la prueba de acceso a la universidad y se encuentra con el siguiente enunciado: «Sabiendo que $f(x)$ es una función continua en $[1, 4]$ y que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8$, calcula el valor de $\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx$».\nEn su cuaderno escribe la siguiente resolución:\n$$\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx = 2 \cdot \int_{1}^{4} f(x) \, dx + 3 = 2 \cdot 8 + 3 = 19$$\na) Identifica con precisión matemática el error que ha cometido Marcos. Explica por qué su tratamiento del término constante $+3$ es incorrecto atendiendo a la definición de la integral definida como suma de áreas de rectángulos infinitesimales.\nb) Corrige el cálculo aplicando con rigor las propiedades de linealidad de la integral definida.

Una empresa de logística monitoriza la velocidad de uno de sus vehículos. La gráfica de la función $f(x)$ representa el ritmo de consumo de combustible. Sabiendo que:

Calcula, aplicando la propiedad de aditividad del intervalo, el valor de la integral $\int_0^7 f(x) \, dx$ e interpreta su significado si el eje de abscisas representa el tiempo en horas.

Dada una función continua $h(x)$, se conocen los siguientes datos:

Calcula el valor de la integral $\int_3^6 h(x) \, dx$ utilizando la propiedad de la suma de intervalos.

Un dron de vigilancia recorre una trayectoria rectilínea cuya velocidad en función del tiempo viene dada por una función continua $v(t)$. Los analistas de datos han determinado que el desplazamiento acumulado en diferentes tramos es:

1. Desde el inicio hasta el segundo 3: $\int_{0}^{3} v(t) \, dt = 45$ metros.

2. Desde el segundo 3 hasta el segundo 8: $\int_{3}^{8} v(t) \, dt = 120$ metros.

3. Desde el segundo 5 hasta el segundo 8: $\int_{5}^{8} v(t) \, dt = 70$ metros.

Calcula, justificando el uso de la propiedad de aditividad del intervalo, el desplazamiento del dron entre los segundos 0 y 5, es decir: $\int_{0}^{5} v(t) \, dt$.

La Autoridad de Fiscalización y Control Social de Agua Potable y Saneamiento Básico (AAPS) monitorea el caudal neto de entrada $q(t)$ (medido en $\text{hm}^3/\text{día}$) en una represa de la cordillera durante un episodio de lluvias de tres días ($t \in [0, 3]$). Los sensores automáticos registraron las siguientes mediciones hídricas integradas:\n- Aportación neta total durante los tres días completos: $\int_{0}^{3} q(t) \, dt = 14,5 \, \text{hm}^3$.\n- Aportación neta acumulada en los dos últimos días: $\int_{1}^{3} q(t) \, dt = 9,2 \, \text{hm}^3$.\n- Medición de control entre dos compuertas registrada en sentido cronológico inverso: $\int_{2}^{1} q(t) \, dt = -3,8 \, \text{hm}^3$.\na) Modela la situación planteando las relaciones pertinentes mediante las propiedades de aditividad por intervalos e inversión de límites de integración, y calcula el volumen neto aportado durante el primer día ($t \in [0, 1]$).\nb) Determina razonadamente el volumen neto de agua que entró en la represa exclusivamente durante el tercer día ($t \in [2, 3]$).

Pablo y Sofía discuten sobre el alcance de las propiedades teóricas de la integral definida. Pablo formula en la pizarra dos conclusiones:\n1. Conclusión 1: «Para calcular $\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ conociendo únicamente que $\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 15$ y que $\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 6$, no se puede aplicar la propiedad de aditividad $\int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f$ porque el punto $c = 10$ no está dentro del intervalo $[2, 8]$».\n2. Conclusión 2: «Si para una función continua $g(x)$ se comprueba que $\int_{-3}^{3} g(x) \, dx = 0$, queda demostrado que $g(x)$ es obligatoriamente una función impar en $[-3, 3]$».\na) Identifica el error conceptual de la Conclusión 1. Demuestra formalmente que la propiedad de aditividad sigue siendo válida aunque $c$ sea exterior al intervalo $[a, b]$, combinando la relación ordinaria en $[2, 10]$ con la inversión de límites, y calcula el valor exacto de $\int_{2}^{8} f(x) \, dx$.\nb) Refuta la Conclusión 2 explicando el error de razonamiento lógico (confusión entre implicación y recíproco) y proporciona un contraejemplo explícito: define una función continua sencilla que sea par en $[-3, 3]$ (y no idénticamente nula) cuya integral en dicho intervalo simétrico sea exactamente $0$.

Si se conoce que la integral de una función $f(x)$ en un intervalo invertido es $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentido convencional:

Justifica qué propiedad de la integral definida has utilizado.

Determina, sin necesidad de calcular la primitiva ni evaluar la función, el valor de la siguiente integral:

Indica el nombre de la propiedad en la que te basas para dar tu respuesta.

Dada la función continua $f(x)$ definida en el intervalo $[-2, 5]$, se sabe que el área encerrada por la curva y el eje $OX$ es la siguiente:

• En el intervalo $[-2, 1]$, la función es negativa y el área del recinto es $4$ $u^2$.

• En el intervalo $[1, 5]$, la función es positiva y el área del recinto es $10$ $u^2$.

Calcula razonadamente los valores de las siguientes integrales definidas:

1. $\int_{-2}^{5} f(x) \, dx$

2. $\int_{5}^{1} f(x) \, dx$

3. $\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx$

Calcula el valor de la integral definida de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el intervalo $[0, 3]$. Para ello, deberás descomponer la integral en varios tramos utilizando la propiedad de aditividad según el signo del integrando.

Sea la función $f(x) = |x - a| + |x - 2|$ definida en el intervalo $[0, 4]$. Si se sabe que el valor de la integral definida de esta función en dicho intervalo es mínima para un valor específico de $a \in [0, 4]$, utiliza las propiedades de la integral para expresar $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ como una función de $a$, $I(a)$, y halla el valor de $a$ que minimiza dicha integral.

Sin necesidad de calcular las primitivas, justifica razonadamente cuál de las siguientes integrales es mayor utilizando la propiedad de comparación de integrales ($f(x) \leq g(x) \implies \int f \leq \int g$):

¿Cambiaría tu respuesta si el intervalo de integración fuera $[1, 2]$? Justifica la respuesta analizando el comportamiento de las funciones en ambos intervalos.

Dadas dos funciones continuas $f$ y $g$ en el intervalo $[0, 1]$ tales que $f(x) = \frac{1}{1+x^4}$ y $g(x) = 1 - x^4$, utiliza la propiedad de acotación de la integral definida para demostrar la siguiente desigualdad sin calcular las integrales:

Ayuda: Analiza el comportamiento de las funciones en el interior del intervalo $(0, 1)$ y utiliza que para $0 < u < 1$ se cumple $1-u < \frac{1}{1+u} < 1$.

Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo $[2, 6]$ de la cual se sabe que su valor mínimo es $m = 1$ y su valor máximo es $M = 5$.

1. a) Indica razonadamente entre qué valores se encuentra comprendida la integral $\int_{2}^{6} f(x) \, dx$.

1. b) Si sabemos además que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = 12$, halla el valor medio de la función en dicho intervalo y explica su significado geométrico.

Sabiendo que la integral de una función $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$ es igual a $I$, demuestra utilizando las propiedades de la integral definida que:

Explica la interpretación de este resultado en relación con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta siguiendo una velocidad dada por la función $v(t) = t \cdot \sqrt{16 - t^2}$ en metros por segundo, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el inicio de la misión hasta $t = 4$.

Halla todos los instantes $c \in (0, 4)$ en los que la velocidad instantánea del dron coincide con su velocidad media en todo el intervalo $[0, 4]$. Para ello, aplica el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral y resuelve la integral definida correspondiente.

Sin realizar el cálculo de la primitiva, razona basándote en las propiedades de simetría de las funciones por qué el valor de la siguiente integral definida es exactamente cero:

Se sabe que una función $f(x)$ es par y que el área encerrada bajo su curva entre el eje de ordenadas ($x=0$) y la recta $x=3$ es de $4,5$ unidades cuadradas. Es decir:

Calcula el valor de $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ justificando el resultado mediante la simetría de la función.

Considera una función $f(x)$ que es par y una función $g(x)$ que es impar en todo el conjunto de los números reales. Se conocen los siguientes datos:

$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ y $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$

Halla, aplicando las propiedades de simetría de la integral definida, el valor de:

En el procesamiento de señales de audio digital, se estudian funciones que representan ondas de sonido complejas. Considera la función $f(x) = x^3 \cdot \cos(x^2) \cdot e^{\sin^2(x)}$. Sin realizar el cálculo de ninguna primitiva, justifica razonadamente basándote en las propiedades de la integral definida el valor de:

Posteriormente, si se sabe que $\int_{0}^{5} f(x) \, dx = K$, determina en función de $K$ el valor de $\int_{-5}^{0} f(x) \, dx$.

El departamento de aerodinámica de una escudería modela la sección de un alerón mediante una función continua $f(x)$ que es par en todo $\mathbb{R}$ ($f(-x) = f(x)$). En los ensayos en el túnel de viento se han determinado los siguientes valores de sustentación acumulada:\n$$\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 \qquad\text{y}\qquad \int_{-4}^{6} f(x) \, dx = 19$$\na) Utilizando las propiedades de simetría de las funciones pares y la aditividad de intervalos, deduce justificadamente el valor de $\int_{4}^{6} f(x) \, dx$ y el de $\int_{-6}^{-4} f(x) \, dx$.\nb) Problema inverso: Se desea añadir un dispositivo de compensación que genera un efecto constante uniforme. Plantea y resuelve la ecuación que permite determinar el valor exacto de la constante real $k$ para que se cumpla la siguiente condición de equilibrio:\n$$\int_{-4}^{4} [k \cdot f(x) - 2] \, dx = 16$$

Considera la siguiente integral definida sobre un intervalo simétrico:\n$$I = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 2x + 5) \, dx$$\na) Estima: Antes de calcular primitivas, analiza los tres sumandos del integrando y su comportamiento respecto al origen de coordenadas. Predice de forma razonada cuál será el valor numérico exacto de $I$, justificando qué términos se anularán por simetría y cuál determinará el resultado final.\nb) Comprueba: Aplica las propiedades de linealidad y de simetría (paridad e imparidad) de la integral definida para descomponer $I$ en sumas de integrales más simples. Justifica formalmente el valor de cada una sin calcular primitivas de las potencias impares y comprueba si tu estimación inicial era correcta.

En una prueba de matemática avanzada se propone calcular el valor exacto de la integral definida:\n$$I = \int_{-2}^{2} \left( \frac{x^5 \cdot \sqrt{4 + x^2} + \sin^3(x)}{1 + \cos^2(x) + x^4} + 3x^2 + 5 \right) \, dx$$\nDos estudiantes debaten sobre la estrategia adecuada:\n- Laura (Método 1): Propone buscar primero una función primitiva general $F(x)$ para todo el integrando aplicando técnicas estándar de integración indefinida (cambios de variable y trigonometría) y luego aplicar la regla de Barrow calculando $F(2) - F(-2)$.\n- David (Método 2): Propone descomponer la integral aplicando linealidad, estudiar analíticamente la paridad de la fracción y resolver el término polinómico aprovechando las propiedades de simetría de la integral definida.\na) Elige el método: Analiza críticamente la viabilidad de ambos métodos en el nivel de 2.º de Bachillerato. Justifica de forma rigurosa por qué el camino de Laura es impracticable y por qué el método de David es el idóneo.\nb) Siguiendo el método más eficiente, demuestra formalmente la simetría de cada sumando y calcula el valor numérico exacto de $I$ justificando cada propiedad utilizada.

Una pieza mecánica tiene un perfil superior definido por la función $f(x)$ que es periódica de periodo $T=2$. Se conoce que en el intervalo $[0, 2]$, la función es $f(x) = x(2-x)$.

Calcula el valor del área total bajo la curva en el intervalo $[0, 20]$ utilizando las propiedades de la integral definida para funciones periódicas y la aditividad respecto al intervalo.

En un experimento de óptica sobre la difracción de la luz, se obtiene una integral de la forma $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cdot \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx$.

Para resolverla, utiliza la propiedad de reflexión $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ para demostrar que:

A partir de esta igualdad, halla el valor exacto de la integral $I$.

Dada la función integral $G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$, resuelve los siguientes apartados utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo:

1. a) Calcula $G'(x)$, estudia su signo y analiza los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $G(x)$ en $[0, 3]$.

1. b) Determina las abscisas de los máximos y mínimos relativos de $G(x)$ en el intervalo $[0, 3]$.

1. c) Sin calcular la integral, justifica si el valor de $\int_{1}^{2} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$ es positivo o negativo basándote en el signo de la función integrando en ese intervalo.

Sea la función $F(x)$ definida para $x > 0$ mediante la siguiente integral con límites variables:

Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, calcula el valor de la derivada $F'(1)$. Explica qué propiedad de la integral definida te permite descomponer el intervalo de integración para aplicar el teorema si los límites no son constantes.