Ejercicios: Funciones de variable real. Tipos de funciones

Sergio tiene que determinar el dominio de la función compuesta $(f \circ g)(x)$, donde $f(x) = x^2$ y $g(x) = \sqrt{2x - 6}$. En su examen escribe lo siguiente:

«Calculo primero la expresión analítica:

Como el resultado es un polinomio de primer grado y los polinomios existen para cualquier número real, el dominio de $(f \circ g)$ es $\mathbb{R}$.»

1. a) Señala cuál es el error conceptual que comete Sergio al aplicar la definición de función compuesta.
2. b) Explica por qué el dominio de la composición no puede ser $\mathbb{R}$ y calcula el dominio correcto de $(f \circ g)$.
3. c) Si representaras en unos ejes cartesianos la recta completa $y = 2x - 6$ y la gráfica real de $(f \circ g)(x)$, ¿en qué se diferenciarían visualmente?

Un parqueo público en el centro de Santa Cruz de la Sierra aplica una tarifa de rotación que depende del tiempo de permanencia $t$ (en minutos) según las siguientes condiciones durante las primeras 3 horas ($0 \le t \le 180$):

• Durante los primeros 20 minutos ($0 \le t \le 20$), se cobra una tarifa fija de entrada de $0,80$ bolivianos, independientemente de los minutos exactos consumidos en esa fracción.

• Desde el minuto 20 hasta los 120 minutos ($20 < t \le 120$), se factura a razón de $0,03$ bolivianos por cada minuto transcurrido a partir del minuto 20, que se suman a los $0,80$ bolivianos iniciales.

• A partir de las dos horas ($120 < t \le 180$), se abona una tarifa plana fija de $4,50$ bolivianos.

1. a) Escribe la expresión de la función precio $P(t)$ (en bolivianos) como una función definida por tramos para $t \in [0, 180]$.
2. b) Comprueba analíticamente si la función es continua en los instantes de cambio de tramo ($t = 20$ y $t = 120$) calculando los límites laterales correspondientes.
3. c) Interpreta económicamente el resultado: ¿experimenta el usuario un salto brusco en el cobro en alguno de esos dos momentos o el costo evoluciona de manera continua?

Diseña la fórmula algebraica de una única función $f(x)$ (que no esté definida a trozos) que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. Su dominio de definición exacto es el conjunto $\operatorname{Dom}(f) = [-6, -2) \cup (2, 6]$.

2. Es una función par, es decir, su gráfica presenta simetría respecto al eje de ordenadas ($f(-x) = f(x)$).

3. Su fórmula está construida mediante operaciones (cociente o producto) combinando una raíz cuadrada y otra expresión algebraica.

Describe paso a paso cómo deduces la expresión del numerador y del denominador para generar exactamente los corchetes en $\pm 6$ y los paréntesis en $\pm 2$. Por último, demuestra analíticamente que la función que has construido es par comprobando que $f(-x) = f(x)$.

Considera la función $f(x) = \ln\left(\dfrac{8 - x}{x + 3}\right)$.

1. Estima y explora:

a) Antes de resolver formalmente ninguna inecuación, evalúa mentalmente el signo del cociente para los valores de prueba $x = -5$, $x = 0$ y $x = 10$. ¿Para cuáles de ellos está bien definida $f(x)$ y para cuáles no?

b) A partir de esa exploración, estima si el dominio será un intervalo abierto y acotado $(a, b)$ o una semirrecta no acotada hacia el infinito. ¿Qué valores intuyes que serán sus extremos?

1. Calcula: Determina con rigor analítico el dominio de $f(x)$ planteando la inecuación que exige el logaritmo y estudiando el signo del numerador y del denominador.

2. Comprueba y reflexiona: Compara el dominio obtenido con tu estimación. A continuación, razona qué le ocurre al valor de $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a $8$ por la izquierda ($x \to 8^-$) y cuando se aproxima a $-3$ por la derecha ($x \to -3^+$).

Determina el dominio de definición más amplio posible para la siguiente función real de variable real, expresando el resultado mediante la unión de intervalos:

Para resolverlo, deberás considerar simultáneamente las restricciones impuestas por la raíz cuadrada, el logaritmo neperiano y el denominador de la fracción.

Una empresa de ingeniería aeroespacial está diseñando la trayectoria de ascenso de una sonda. La altura $h$ en kilómetros, medida desde un nivel de referencia (negativa por debajo de él), respecto al tiempo $t$ en minutos viene dada por una función compuesta. Se sabe que la función externa es $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ y la función interna es $g(t) = \sqrt{t^2 - 1}$.

Calcula la expresión analítica de la función de altura total $H(t) = (f \circ g)(t)$ y determina razonadamente su dominio y su recorrido en el contexto físico del problema, sabiendo que la sonda comienza su misión en $t = 1$.

Sea la función $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demuestra analíticamente que la función es inyectiva en todo su dominio. A continuación, obtén la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$ y especifica claramente el dominio y el recorrido de dicha inversa.

Dada la función definida a trozos:

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(-2, 0)$ y que es continua en el punto de abscisa $x = 1$. Una vez hallados, estudia la simetría de la función en el intervalo $[1, +\infty)$.

En el estudio de señales sonoras, se utiliza la función $s(t) = \ln(t)$ para representar la intensidad de una señal primaria. Debido a una interferencia, la señal resultante se transforma según la regla $g(t) = |s(|t-2|)-1|$.

Representa gráficamente la función final $g(t)$ partiendo de la función elemental $\ln(t)$ y explicando detalladamente cada una de las transformaciones geométricas (traslaciones, simetrías y valores absolutos) que tienen lugar.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Demuestra que para cualquier valor de $k$, la función es par.

2. Determina los puntos de corte con los ejes en función de $k$.

3. Encuentra el valor de $k$ para que la función tome el valor $y = 1/2$ cuando $x = 3$.

4. Discute si existe algún valor de $k$ para el cual la función tenga asíntotas verticales.

Un algoritmo de inteligencia artificial procesa datos de entrada $x$ mediante una función de activación logística modificada:

La figura muestra la gráfica de $A(x)$ para $x$ entre $-10$ y $10$.

Se desea encontrar la función inversa $A^{-1}(x)$ para que el sistema pueda realizar el proceso inverso (decodificación).

1. a) Halla la expresión de la inversa $A^{-1}(x)$.

1. b) Determina para qué valores de la salida $y$ es posible realizar la decodificación (rango de la función original) y justifica tu respuesta.

Toda función $f(x)$ puede descomponerse, en los puntos $x$ en los que existen $f(x)$ y $f(-x)$, de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar $h(x)$, de tal manera que:

Dada la función $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, halla sus componentes par e impar. Comprueba analíticamente que, efectivamente, $g(x)$ es una función par y $h(x)$ es una función impar. ¿Cuáles son los dominios de cada una de estas tres funciones?

Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una cuota fija de $105$ bolivianos. A partir de ahí, el precio por cada GB adicional aumenta de forma lineal según la función $P(x) = 105 + 3,50(x - 20)$, donde $x$ es el número total de GB consumidos.

Sin embargo, si el usuario supera los $100$ GB, la empresa aplica una penalización por exceso de tráfico y la función pasa a ser $P(x) = 0,70x^2 - 315$.

Escribe la expresión analítica de la función costo total $C(x)$ como una función definida a trozos y comprueba si el precio "salta" o es continuo justo en el momento de consumir $100$ GB.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Calcula su dominio.

2. Identifica si existe algún punto donde la función presente una "discontinuidad evitable" (un punto donde el numerador y el denominador se anulen simultáneamente).

3. Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Halla la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.

2. Determina el dominio de $(g \circ f)(x)$.

3. ¿Coincide este dominio con el de la función $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifica tu respuesta.

Un dron de vigilancia realiza un vuelo de prueba siguiendo una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la función:

La gráfica de la trayectoria es la siguiente:

1. a) ¿Desde qué altura despega el dron?

1. b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?

1. c) Si el dron debe aterrizar cuando su batería llega al $5\,\%$ (lo que ocurre a los $21$ segundos), ¿a qué altura se encontrará en ese momento? Explica si el resultado tiene sentido físico.

Halla la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indica el dominio y el recorrido de ambas funciones y comprueba gráficamente su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Estudia la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Función coseno hiperbólico)

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándote en las restricciones de las operaciones que las forman:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, identifica los valores de los límites laterales y la imagen de la función en el punto de discontinuidad $x = 1$. En la gráfica, el círculo vacío indica un punto que no pertenece a la gráfica y el círculo relleno indica un punto que sí pertenece a ella.

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $f(1)$

Clasifica las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Calcula los siguientes límites directos por sustitución, comprobando si el valor obtenido es finito:

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{x + 3}$

1. c) $\lim_{x \to -1} \sqrt{x + 5}$

Una empresa de telefonía ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $105$ bolivianos fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $14$ bolivianos. La función que representa el costo total $C(x)$ en función de los GB consumidos $x$ es:

$C(x) = \begin{cases} 105 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 105 + 14(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudia si la función es continua en el punto crítico $x = 10$.

Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realiza las siguientes operaciones y determina el dominio de la función resultante:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Observa la siguiente gráfica e identifica visualmente las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales:

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntala como una función definida a trozos y calcula su valor para $x = 0$ y $x = 5$.

Dadas las funciones racionales $f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$ y $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$, se pide hallar el dominio de la función compuesta $(f \circ g)(x)$. Dos estudiantes defienden estrategias distintas:

• Método de Marcos: Simplifica primero la expresión analítica:

Al observar la fracción final, concluye que el único valor problemático es el que anula su denominador: $-2x + 13 = 0 \implies x = 6,5$. Por tanto, afirma que $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{6,5\}$.

• Método de Laura: Aplica la definición teórica del dominio de la composición:

Exige primero que $x \in \operatorname{Dom}(g)$ ($x \ne 3$) y, a continuación, que $g(x) \ne 4$, resolviendo $\dfrac{2x + 1}{x - 3} \ne 4 \implies x \ne 6,5$. Concluye que $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \mathbb{R} \setminus \{3; 6,5\}$.

1. Determina cuál de los dos métodos es matemáticamente correcto. Explica con precisión qué paso algebraico de Marcos provocó la pérdida de una restricción del dominio.

2. Si una calculadora evaluase $(f \circ g)(3)$ siguiendo el orden natural de las operaciones compuestas (primero calcular $g(3)$ y luego aplicar $f$ al resultado), ¿qué ocurriría? ¿Coincide esto con lo que predice la fórmula final de Marcos?

3. Formula una conclusión metodológica: ¿por qué simplificar la expresión algebraica de una función antes de calcular su dominio puede inducir a errores graves?

Se considera una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida a trozos mediante:

donde $k$ es una constante real y $g(x)$ es una función que debes determinar en cada caso.

1. Caso par: Halla la expresión algebraica que debe tener $g(x)$ para que $f$ sea una función par en todo $\mathbb{R}$. Una vez hallada, analiza si la continuidad de $f$ en $x = 0$ depende o no del valor que tome el parámetro $k$, justificándolo mediante el cálculo de los límites laterales.

2. Caso impar y demostración:

a) Demuestra algebraicamente que cualquier función $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que sea impar y esté definida en el origen cumple obligatoriamente que $h(0) = 0$.

b) Encuentra la expresión algebraica de $g(x)$ para que $f$ satisfaga la condición de imparidad $f(-x) = -f(x)$ para todo $x \ne 0$.

c) Apoyándote en la demostración del apartado (a), deduce qué valor debe tener necesariamente la constante $k$ para que la función $f$ sea impar en todo $\mathbb{R}$ y, a la vez, sea continua en el punto de empalme $x = 0$.

Reto del tema. Analiza la dinámica térmica de tu municipio para optimizar el gasto energético de climatización en casa.

1. Datos y números reales: Accede a la web de AEMET y descarga las temperaturas de las últimas $24$ horas en tu estación más cercana. Expresa el rango diario mediante un intervalo acotado $[T_{\min}, T_{\max}] \subset \mathbb{R}$, redondea a las décimas y determina la cota del error absoluto cometido.

2. Probabilidad: Con la serie de los últimos $10$ días, calcula la probabilidad frecuentista de que la temperatura supere los $21,5\text{ }^\circ\text{C}$. Justifica por qué no es aplicable la regla de Laplace en este contexto y reflexiona sobre la asignación de probabilidades a fenómenos meteorológicos.

3. Modelización y derivada: En GeoGebra o en una hoja de cálculo, representa la nube de puntos y realiza un ajuste polinómico $T(t)$. Halla analíticamente la función derivada $T'(t)$, determina las horas de máxima tasa de calentamiento y de enfriamiento (extremos de la derivada) y compara la tasa de variación instantánea $T'(10)$ con la tasa de variación media en el intervalo $[8, 12]$.

4. Producto: Diseña un informe ejecutivo de una página con las gráficas y una recomendación horaria justificada de ventilación.

Se valorará:

• Uso riguroso de números reales, intervalos y estimación de errores.

• Comprensión crítica de la interpretación frecuentista frente a la clásica.

• Cálculo correcto de la función derivada e interpretación de su significado físico.