Curvatura: concavidad y puntos de inflexión

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ e identifica, de manera visual, en qué intervalos la función es convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y en cuáles es cóncava (curvatura hacia abajo, $\cap$). Indica aproximadamente la abscisa $x$ donde crees que se sitúa el punto de inflexión.

Relaciona cada una de las siguientes condiciones sobre la segunda derivada con la forma de la gráfica de la función $f(x)$ en un intervalo dado:

1. $f''(x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ para todo $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ y existe un cambio de signo de $f''(x)$ al pasar por $x = c$.

Utiliza los términos: Cóncava (curvatura hacia abajo, $\cap$), Convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y Punto de Inflexión.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realiza los siguientes pasos para estudiar su curvatura (se llama cóncava ($\cap$) a la zona en la que $f''(x)<0$ y convexa ($\cup$) a la zona en la que $f''(x)>0$):

1. a) Calcula la segunda derivada $f''(x)$.

1. b) Determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y de convexidad ($\cup$).

1. c) Halla las coordenadas del punto de inflexión.

Un diseñador de pistas de skate está modelando el perfil de una rampa mediante la función $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, donde $x$ representa la distancia horizontal en metros. El diseñador necesita saber dónde cambia la rampa de ser "tipo montaña" (cóncava) a "tipo valle" (convexa) para asegurar la transición. Calcula el punto de inflexión de esta trayectoria.

Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudia su curvatura. ¿Presenta esta función algún punto donde la derivada segunda se anule pero no sea un punto de inflexión? Justifica tu respuesta analizando el signo de $f''(x)$ a ambos lados de los puntos singulares de la segunda derivada.

Sea la función $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Aunque es una función racional, su estudio de curvatura en el dominio de definición es sencillo. En la figura aparecen su gráfica y sus asíntotas.

1. Halla $f''(x)$.

2. Estudia su signo en los intervalos correspondientes (teniendo en cuenta que $x=1$ no pertenece al dominio) y relaciónalo con la curvatura que ves en cada rama de la gráfica.

3. ¿Tiene puntos de inflexión? Justifica si el cambio de curvatura en la asíntota vertical se considera punto de inflexión.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tenga un punto de inflexión en $x = 2$. Una vez hallado $k$, indica si la función es cóncava o convexa en el punto $x = 0$.

Se sabe que la función polinómica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene un punto de inflexión en el punto $P(1, 2)$ y que la pendiente de la recta tangente en ese punto es $m = -3$. Calcula los valores de los parámetros $a, b$ y $c$.

Se considera la familia de funciones de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, donde $a$ y $b$ son parámetros reales. Se sabe que la gráfica de la función pasa por el punto $(0, 1)$ y que presenta un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = 1$.

1. a) Determina los valores de $a$ y $b$.
2. b) Para los valores hallados, estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la función y comprueba si existen otros puntos de inflexión adicionales.

Sea la función definida a trozos:

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$ y su gráfica pase por el punto $(\pi, \pi)$. Una vez calculados, comprueba si existe un punto de inflexión en el origen.

Dada la función racional $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$:

1. a) Estima antes de calcular: Observa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas (par), estrictamente positiva en todo $\mathbb{R}$, alcanza un máximo relativo en $(0, 4)$ y tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to \pm\infty$. A partir únicamente de estos datos cualitativos, deduce razonadamente si la gráfica debe tener puntos de inflexión, cuántos esperarías encontrar como mínimo, en qué cuadrantes se ubicarán y qué curvatura debería presentar la gráfica cerca del origen frente a zonas muy alejadas del mismo ($|x| \to \infty$).
2. b) Comprueba analíticamente: Calcula $f''(x)$, determina los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$), y halla las coordenadas exactas de los puntos de inflexión. Comprueba si los resultados analíticos confirman con precisión las deducciones que planteaste en tu estimación previa.

Se desea suavizar la unión de dos tramos de carretera. El primer tramo viene dado por la función $g(x) = x^2$ para $x \le 1$, y el segundo tramo por una función polinómica de tercer grado $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ para $x > 1$.

Para que la transición sea "perfectamente suave", los ingenieros exigen que en el punto de unión $x = 1$:

1. Las funciones coincidan ($f$ sea continua).

2. Las pendientes coincidan ($f$ sea derivable).

3. La curvatura sea la misma (las segundas derivadas coincidan).

Sabiendo que el segundo tramo debe tener un punto de inflexión en $x = 2$, calcula los valores de $a, b, c$ y $d$.

La cantidad de usuarios activos en una nueva red social durante los primeros 6 meses sigue aproximadamente la función $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses y $N(t)$ es el número de usuarios en miles.

1. Calcula el momento exacto (valor de $t$) en el que el crecimiento de usuarios empieza a desacelerarse (punto de inflexión).

2. Explica el significado de la curvatura de la función antes y después de ese instante en términos de "ritmo de crecimiento".

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada primera, $f'(x)$, de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada y limitándote al tramo representado, $-2 < x < 2$:

1. a) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la función original $f(x)$.
2. b) Indica las abscisas de los puntos de inflexión de $f(x)$.
3. c) Si sabemos que $f(0) = 0$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ basándote en su curvatura.

Sea la función $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$.

1. a) Halla la expresión de $f''(x)$ simplificada al máximo.
2. b) Determina los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente alcanza sus valores máximos o mínimos relativos. Pista: Recuerda que esto ocurre donde la curvatura cambia.
3. c) Estudia los intervalos de curvatura de $f(x)$.