Secciones cónicas y lugares geométricos

Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.

Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?

Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.

Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.

En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.

En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.

Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.

Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.

Se desea determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$ es igual a $50$, es decir, $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 50$.

Para resolverlo, dos estudiantes discuten qué estrategia seguir:

• Método analítico (Lucía): sustituir $P(x,y)$, desarrollar los cuatro binomios al cuadrado, agrupar todos los términos en la forma general $x^2 + y^2 + D x + E y + F = 0$ y finalmente completar cuadrados para identificar los elementos de la cónica.

• Método sintético-geométrico (Hugo): basarse en la propiedad teórica de que este lugar geométrico es una circunferencia cuyo centro $C$ coincide con el punto medio de $AB$; calcular las coordenadas de $C$ y determinar el radio evaluando la condición métrica en un punto auxiliar o aplicando el teorema de la mediana.

1. a) Desarrolla por completo la resolución aplicando el método analítico de Lucía hasta obtener la ecuación canónica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. b) Aplica el razonamiento geométrico de Hugo para hallar el centro $C$ a partir de $A$ y $B$, y comprueba que coincide con el obtenido en el apartado anterior.
3. c) Compara ambos caminos: ¿cuál resulta más rápido y cuál presenta menor riesgo de cometer errores de cálculo algebraico? Justifica cuál recomendarías en un examen.

Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.

Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.

Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.

Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.

En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.

El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.

En las proximidades del estrecho de Gibraltar, el centro de Salvamento Marítimo monitoriza la posición de una embarcación averiada $P(x,y)$. La estación de radar costera se ubica en el punto fijo $F(0, 3)$ (coordenadas en millas náuticas) y una línea recta de balizamiento marítimo sigue la ecuación $r: y = 12$. Los sistemas de navegación constatan que la distancia de la embarcación a la estación de radar es en todo instante la mitad de su distancia a la línea de balizamiento.

1. a) Identifica razonadamente qué tipo de sección cónica describe la embarcación (elipse, parábola o hipérbola), determinando el valor numérico de su excentricidad $e$ a partir de la definición métrica respecto a foco y directriz.
2. b) Deduce la ecuación cartesiana de la trayectoria desarrollando la condición métrica $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ con las coordenadas de $P(x,y)$.
3. c) Escribe la ecuación obtenida en su forma canónica reducida, indica las coordenadas de su centro y calcula la distancia mínima a la que pasará la embarcación de la línea de balizamiento $y = 12$.

Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?

Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escribe la ecuación general obtenida antes de clasificarla.

Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halla analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describe la figura resultante.

En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.

En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.

Dados los puntos fijos $A(0, 0)$ y $B(6, 0)$ en el plano cartesiano y un parámetro real $k$, se define la familia de lugares geométricos $\mathcal{L}_k$ mediante la condición $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = k$.

1. a) Desarrolla la ecuación analítica de $\mathcal{L}_k$ en función de $k$ y determina el valor mínimo $k_{\min}$ para el cual el lugar geométrico no es el conjunto vacío. Interpreta qué figura geométrica degenerada representa el caso $k = k_{\min}$.
2. b) Para $k > k_{\min}$, $\mathcal{L}_k$ es una circunferencia. Expresa su radio $R(k)$ en función del parámetro $k$ y halla el valor exacto de $k$ para el cual dicha circunferencia es tangente al eje de ordenadas $OY$.
3. c) Para el valor de $k$ obtenido en el apartado b), considera la familia de rectas $\mathcal{R}_m$ dadas por el lugar geométrico $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = m$. Sin plantear ningún sistema de ecuaciones algebraico entre la recta y la circunferencia, utiliza exclusivamente las propiedades geométricas de ambos lugares geométricos para deducir los dos únicos valores de $m$ que hacen que $\mathcal{R}_m$ sea tangente a $\mathcal{L}_k$, indicando las coordenadas de los respectivos puntos de tangencia.

Marcos tiene que hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(-1, 3)$ y $B(3, 3)$ es igual a $16$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 16$.

Sin realizar ningún cálculo algebraico, Marcos escribe en su examen:

«Como la cónica llamada hipérbola se define a partir de una resta de distancias a dos puntos fijos, este lugar geométrico es obligatoriamente una hipérbola centrada en el punto medio $(1, 3)$».

1. a) Explica detalladamente el error conceptual de Marcos: ¿qué confunde en la definición métrica de la hipérbola y por qué la presencia de las distancias al cuadrado cambia por completo el tipo de lugar geométrico obtenido?
2. b) Corrige el ejercicio: plantea la igualdad a partir de las coordenadas genéricas de $P(x,y)$, desarrolla los cuadrados, simplifica la expresión y describe con precisión geométrica la figura resultante (indicando su tipo y su posición relativa respecto al segmento $AB$).

Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.

Considera los puntos fijos $A(1, 2)$ y $B(7, 2)$ en el plano cartesiano. Se busca determinar el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya suma de cuadrados de distancias satisface $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = 36$.

1. a) Estima: antes de realizar operaciones algebraicas:

• Razona en qué coordenadas exactas debe situarse el centro de la cónica esperada.

• Calcula la distancia entre $A$ y $B$. Si evalúas la condición de distancias directamente en el punto $A$, ¿qué valor obtienes? Deduce si los propios puntos $A$ y $B$ pertenecen a la curva y cuál debe ser entonces el valor del radio.

1. b) Comprueba: plantea analíticamente la condición sustituyendo las coordenadas de $P(x,y)$, desarrolla los binomios al cuadrado y completa cuadrados para obtener la ecuación canónica $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
2. c) Concluye: compara el centro y el radio calculados en b) con tus estimaciones de a). Explica con argumentos geométricos por qué el punto medio del segmento $AB$ no pertenece a este lugar geométrico a pesar de ser el centro de la circunferencia.

En el departamento de dinámica de vehículos de un centro tecnológico se diseña una pista de pruebas. El trazado sigue una sección cónica definida como el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia a un sensor ubicado en $F(4, 0)$ es proporcional a su distancia a una barrera de seguridad rectilínea vertical $r: x = x_0$, cumpliendo la relación focal $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$.

Las restricciones topográficas obligan a que la trayectoria corte al eje de abscisas exactamente en dos puntos: $V_1(2, 0)$ y $V_2(-10, 0)$.

1. a) Plantea el sistema de dos ecuaciones que relaciona la excentricidad $e$ y la posición de la directriz $x_0$ a partir de los puntos $V_1$ y $V_2$. Resuélvelo y descarta la solución no válida geométricamente (aquella en la que la directriz contiene al foco), obteniendo los valores exactos de $e$ y $x_0$.
2. b) Clasifica de forma justificada la cónica a partir del valor de $e$. Desarrolla analíticamente la condición $\dfrac{d(P,F)}{d(P,r)} = e$ hasta obtener la ecuación cartesiana de la curva en forma reducida.
3. c) A partir de la ecuación reducida, calcula las coordenadas del centro de simetría de la cónica y las coordenadas de su segundo foco $F'$.