Composición de funciones

Dadas las funciones $f(x) = 3x + 2$ y $g(x) = x^2 - 1$, calcula el valor numérico de la composición $(g \circ f)(2)$.

Considera las funciones $f(x) = x - 2$, $g(x) = 3x$ y $h(x) = x^2$. Calcula el valor numérico de la composición sucesiva $(h \circ g \circ f)(4)$.

Observa la siguiente gráfica donde se representan las funciones $f(x)$ (en azul) y $g(x)$ (en verde). A partir de la información visual y sin necesidad de obtener sus expresiones algebraicas, determina los valores numéricos de $(f \circ g)(2)$ y $(g \circ f)(-1)$.

Encuentra la expresión algebraica de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ sabiendo que $f(x) = 5x - 4$ y $g(x) = x^2 + 3x$.

Dadas la función constante $f(x) = 7$ y la función cuadrática $g(x) = 2x^2 - x$, determina las expresiones algebraicas de $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$.

Al lanzar una piedra a un estanque, se forma una onda circular cuyo radio aumenta con el tiempo según la función $r(t) = 2,5t$ (con $r$ en centímetros y $t$ en segundos). Sabiendo que el área del círculo viene dada por $A(r) = \pi r^2$, halla la función $(A \circ r)(t)$ que describe el área en función del tiempo y calcula el área de la superficie afectada a los $4$ segundos.

Utilizando las funciones $f(x) = 5x - 4$ y $g(x) = x^2 + 3x$, halla la expresión de $(g \circ f)(x)$ y comprueba analíticamente que la composición de funciones no es conmutativa.

Una tienda de electrónica aplica un descuento del $15\%$ a todos sus productos, lo que se modela con la función $d(x) = 0,85x$. Además, un cliente tiene un cupón de fidelidad de $140$ bolivianos de descuento directo, modelado por la función $c(x) = x - 140$. Determina las expresiones de $(c \circ d)(x)$ y $(d \circ c)(x)$. ¿Qué orden de composición beneficia más al cliente si quiere comprar una computadora cuyo precio inicial es de $4\,200$ bolivianos?

Dadas las funciones $f(x) = 2x + k$ y $g(x) = 4x - 3$, halla el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la propiedad conmutativa en este caso particular, es decir, que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ para cualquier valor de $x$.

Determina rigurosamente el dominio de la función compuesta $(g \circ f)(x)$ sabiendo que $f(x) = x - 4$ y $g(x) = \sqrt{x}$.

Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 3}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Realiza un estudio analítico riguroso para determinar el dominio de definición de la función compuesta $(f \circ g)(x)$.

Dada la función compuesta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, exprésala como la composición de dos funciones más simples $(g \circ f)(x)$, indicando claramente cuál es la expresión de $f(x)$ y cuál es la de $g(x)$.

Sabiendo que $f(x) = 3x + 2$ y que la función compuesta es $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determina la expresión algebraica de la función exterior $g(x)$.

Dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$, donde $f(x) = 2x$ si $x < 1$ y $f(x) = x^2$ si $x \geq 1$, y la función $g(x) = x + 3$. Determina la expresión analítica completa de la función compuesta $(f \circ g)(x)$, prestando especial atención a los intervalos de definición.

Se consideran la función racional $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ y una función desconocida $g(x)$. Se sabe que la composición entre ambas produce el resultado:

1. a) Determina razonadamente la expresión algebraica de la función $g(x)$.
2. b) Halla el dominio de definición de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ aplicando estrictamente la definición formal de cadena de funciones: $x \in \operatorname{Dom}(g)$ y $g(x) \in \operatorname{Dom}(f)$.
3. c) Un estudiante observa la expresión final $\frac{x + 1}{2 - 3x}$ y afirma: «El dominio de $(f \circ g)$ son todos los números reales salvo $x = \frac{2}{3}$, ya que para $x = -1$ la fórmula da $\frac{-1+1}{2-3(-1)} = \frac{0}{5} = 0$, que es un valor real perfectamente válido». Piensa en la composición como dos máquinas encadenadas: la primera es $g$, que recibe el número $x$ y entrega $g(x)$; esa salida entra directamente en la segunda máquina, $f$, que entrega $f(g(x))$. Cada máquina solo funciona con las entradas de su propio dominio, y si la primera no entrega ningún resultado, la segunda no recibe nada. Utilizando esta idea de las dos máquinas encadenadas, refuta el argumento del estudiante y explica qué ocurre exactamente en el proceso de cálculo cuando se intenta evaluar la composición en $x = -1$.

Dadas las funciones racionales $f(x) = \frac{2}{x}$ y $g(x) = x + 3$, determina la expresión simplificada de $(f \circ g)(x)$ y la de $(g \circ f)(x)$.

Comprueba analíticamente que al componer la función $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ con la función identidad $I(x) = x$, se obtiene la misma función original. Calcula y simplifica tanto $(f \circ I)(x)$ como $(I \circ f)(x)$.

La demanda eléctrica de una ciudad, en megavatios, depende de la temperatura ambiente según la función $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. A su vez, la temperatura varía con el tiempo en horas según $T(t) = 1,5t + 10$. Calcula la demanda eléctrica exacta que habrá transcurridas $6$ horas.

El costo diario de producción de $x$ piezas en una fábrica viene dado por la función $C(x) = 105x + 3\,500$ bolivianos. El número de piezas que ensambla una máquina en $t$ horas de funcionamiento continuo es $x(t) = 40t$. Expresa el costo de producción en función del tiempo de funcionamiento de la máquina y calcula el costo total tras una jornada de $8$ horas.

Sea la función racional $f(x) = \frac{x}{x - 1}$. Calcula las composiciones sucesivas $(f \circ f)(x)$ y $(f \circ f \circ f)(x)$. A partir de los resultados obtenidos, deduce razonadamente cuál será la expresión de $f^{[n]}(x)$ (la composición de $f$ consigo misma $n$ veces) dependiendo de si $n$ es un número par o impar.

Observa la gráfica de la función $f(x)$. A partir de ella, obtén la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos y calcula la expresión algebraica detallada de $(f \circ f)(x)$.

Un globo aerostático esférico se infla mediante un compresor que inyecta aire a un ritmo constante, de modo que su volumen en metros cúbicos viene dado por $V(t) = 12t$ (con $t$ en minutos). Sabiendo que el volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ y su superficie es $S = 4\pi r^2$, halla la función compuesta $S(t)$ que proporciona la superficie del globo directamente en función del tiempo transcurrido.

Demuestra algebraicamente que, si $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ (con la condición $a^2 + bc \neq 0$), la función es su propia inversa comprobando que $(f \circ f)(x) = x$ para todo $x$ perteneciente a su dominio.

Un haz de luz atraviesa una serie de filtros ópticos. Un filtro de tipo A reduce la intensidad luminosa un $20\%$, modelizado por $f_A(I) = 0,8I$. Un filtro de tipo B reduce la intensidad en una cantidad fija de $15 \text{ W/m}^2$, modelizado por $f_B(I) = I - 15$. Si la intensidad inicial es $I_0$, encuentra la expresión de la intensidad final tras atravesar $3$ filtros de tipo A seguidos de $2$ filtros de tipo B. ¿Es el resultado equivalente a atravesar primero los $2$ de tipo B y luego los $3$ de tipo A?

Descompón la función compleja $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ como la composición sucesiva de cuatro funciones elementales $f_1, f_2, f_3, f_4$ de forma que $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indica claramente la expresión algebraica de cada una de las cuatro funciones.