Aplicación de la derivada al cálculo de límites. Regla de l'Hôpital

Observa la siguiente gráfica que representa dos funciones $f(x)$ (en blanco) y $g(x)$ (en gris oscuro) que se anulan en el punto $x = a$. Sabiendo que $f'(a) = 6$ y $g'(a) = 2$, calcula el valor del límite:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Calcula el siguiente límite utilizando la Regla de l'Hôpital, comprobando primero que se verifica la indeterminación necesaria:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

En el estudio de la propagación de una señal electromagnética, aparece la siguiente expresión para calcular la intensidad en un punto crítico. Halla el valor del límite cuando el tiempo $t$ tiende a $0$:

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$

Determina el valor del siguiente límite de una función logarítmica. Recuerda derivar correctamente el numerador y el denominador de forma independiente:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Se sabe que la concentración de un reactivo químico en una mezcla sigue la función $C(t)$. Calcula la concentración límite cuando el tiempo $t$ se acerca a $0$ por la derecha:

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos(t)}{t^2}$$

Mateo está calculando el siguiente límite en un examen de Matemáticas II:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$$

En su hoja escribe los siguientes pasos:

1) «Al sustituir $x = 0$, obtenemos $\frac{e^0 - 0 - 1}{0^2 + 0} = \frac{0}{0}$. Como es una indeterminación, aplico la regla de l'Hôpital derivando numerador y denominador: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x + 2}$».

2) «Como en el denominador todavía queda la variable $x$, vuelvo a aplicar la regla de l'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$».

Identifica el error conceptual que ha cometido Mateo en el paso 2, explica detalladamente por qué no es lícito aplicar la regla en ese punto y calcula el valor correcto del límite justificando cada paso.

En el estudio de la propagación de una señal wifi en un entorno con interferencias, se ha modelado la pérdida de intensidad mediante la siguiente función de la distancia $x$ (en metros):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcula el límite de esta función cuando la distancia $x$ tiende a $0$, es decir, $\lim_{x \to 0} f(x)$, para determinar el comportamiento de la señal en el punto de emisión.

Calcula el límite de la siguiente función racional en el infinito. Aunque podrías resolverlo por comparación de grados, utiliza la Regla de l'Hôpital para demostrar el resultado:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

Se desea estudiar la convergencia de un algoritmo de inteligencia artificial. La tasa de error en función del número de iteraciones $x$ se define como:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Demuestra, utilizando la Regla de l'Hôpital, que cuando el número de iteraciones tiende a infinito ($x \to \infty$), la tasa de error tiende a $0$. ¿Qué nos dice esto sobre la eficiencia del algoritmo a largo plazo?

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite sea igual a $4$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 4$$

Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la respuesta de un filtro de audio. La ganancia del filtro en función de la frecuencia $x$ viene dada por la expresión:

$$G(x) = \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 2}{x^2}$$

Sabiendo que el límite de la ganancia cuando la frecuencia tiende a cero es igual a $-1$, es decir, $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcula razonadamente los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Se sabe que la concentración de un reactivo químico en un proceso catalítico límite sigue una dinámica tal que:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax) - bx}{x^3} = -\frac{4}{3} $$

Aplica la regla de L'Hôpital de forma reiterada para determinar los valores numéricos exactos de los parámetros reales $a$ y $b$.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$, se sabe que presenta una discontinuidad evitable en $x = 1$.

1. Calcula el valor de la constante $k$.

2. Para dicho valor de $k$, calcula el valor que debería tomar la función en $f(1)$ para que fuese continua en ese punto, resolviendo el límite:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx + 2}{x^2 - 1}$$

1. ¿Existe alguna asíntota oblicua para esta función? Justifica tu respuesta utilizando límites.

Determina, si existen, los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(ax^2)}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b + 2 & \text{si } x = 0 \\ \dfrac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin(x)} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Para resolver el límite por la derecha, será necesario aplicar la Regla de l'Hôpital de forma reiterada. Justifica cada paso del proceso.

Calcula el valor del siguiente límite transformando previamente la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ en un cociente para poder aplicar la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Calcula el límite de la siguiente función cuando $x$ tiende a $\frac{\pi}{2}$. Ten en cuenta que deberás realizar una transformación previa para convertir la indeterminación $0 \cdot \infty$ en una forma apta para l'Hôpital:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \sin(x) - 1 \right) \cdot \tan(x)$$

Un ingeniero de telecomunicaciones analiza la pérdida de potencia de una señal en una fibra óptica. La potencia relativa $P$ respecto a la distancia $d$ se modela mediante una función que requiere resolver la siguiente indeterminación cuando la señal se aproxima a un nodo crítico ($d \to 1$):

$$\lim_{d \to 1} \left( \frac{d}{\ln(d)} - \frac{1}{d-1} \right)$$

Calcula el valor del límite indicando el tipo de indeterminación inicial y las transformaciones algebraicas realizadas para aplicar l'Hôpital.

En una red social, el número de "shares" de un video viral durante los primeros segundos se ha modelado mediante la función $S(t) = (1+2t)^{1/t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos.

¿A qué valor tiende el número de compartidos en el instante inicial? Calcula para ello:

$$\lim_{t \to 0} (1+2t)^{\frac{1}{t}}$$

Determina el valor del siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$. Para resolverlo, utiliza las propiedades de los logaritmos y la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

Calcula el valor del siguiente límite, que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$. Asegúrate de transformar la expresión adecuadamente antes de aplicar la Regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

El factor de depreciación de un activo financiero a largo plazo se modeliza evaluando el siguiente límite:

$$ L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 3x}{x^2 - x} \right)^x $$

Transforma esta indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando logaritmos y aplica la regla de L'Hôpital para calcular el valor exacto del factor de depreciación $L$.

Se considera la función $g(x) = x^2 \cdot e^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$.

1. Estudia si es posible asignar un valor a $g(0)$ para que la función sea continua en $x = 0$.

2. Utilizando la definición de derivada mediante un límite y aplicando la Regla de l'Hôpital, demuestra si la función es derivable en $x = 0$.

Nota: Ten especial cuidado con el cambio de variable necesario para resolver el límite en el infinito si fuera preciso.

En un laboratorio de biotecnología, el crecimiento de una población de bacterias en un entorno controlado sigue una ley cuya tasa de acumulación acumulada se expresa mediante una integral. Se desea estudiar el comportamiento de la densidad poblacional en el instante inicial mediante el cálculo del siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utiliza la Regla de l'Hôpital y el Teorema Fundamental del Cálculo para determinar el valor de este límite.