Propiedades de las funciones derivables. Teoremas de Rolle, del valor medio y de Cauchy

Explica razonadamente por qué no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función $f(x) = 1 - |x-1|$ en el intervalo $[0, 2]$, a pesar de que $f(0) = f(2) = 0$. ¿Qué hipótesis falla en este caso?

Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, comprueba si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halla el valor del punto $c \in (2, 4)$ cuya existencia asegura el teorema.

Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$. Una vez hallado $k$, calcula el valor de $c$ donde la derivada se anula.

Mateo debe resolver en un examen el siguiente ejercicio: «Comprueba si la función $f(x) = 1 - |x|$ verifica las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 2]$ y halla el punto $c$ que predice el teorema». En su hoja de examen, Mateo escribe:

«1. La función es continua en $[-2, 2]$ por ser composición de funciones continuas.

1. Los valores en los extremos coinciden: $f(-2) = 1 - |-2| = -1$ y $f(2) = 1 - |2| = -1$.

2. Como se cumplen las hipótesis, el Teorema de Rolle asegura que existe $c \in (-2, 2)$ con $f'(c) = 0$. Dado que la derivada vale $f'(x) = 1$ para $x < 0$ y $f'(x) = -1$ para $x > 0$, el punto buscado es $c = 0$».

Identifica los dos errores conceptuales graves cometidos por Mateo (uno al verificar las hipótesis del teorema y otro al determinar el valor de la derivada en $c = 0$), explica detalladamente por qué invalidan su conclusión y determina si existe o no algún punto en dicho intervalo donde la derivada se anule.

Encuentra razonadamente los coeficientes $a, b \in \mathbb{R}$ de una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx$ que satisfaga simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Cumple todas las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo cerrado $[0, 6]$.

2. Alcanza un valor extremo relativo en el punto interior cuya existencia garantiza el teorema, siendo dicho valor $f(c) = -18$.

Una vez deducidos los valores de $a$ y $b$, enuncia con precisión las hipótesis del Teorema de Rolle y comprueba formalmente que la función obtenida las verifica en $[0, 6]$, calculando de forma explícita el punto $c \in (0, 6)$ resultante.

Dada la función $f(x) = \sin(x)$, resuelve:

1. a) Verifica que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, \pi]$.

1. b) Halla el valor de $c$ que satisface la tesis del teorema.

1. c) Representa $c$ esquemáticamente sobre la gráfica de la función (puedes copiar la figura) o en una circunferencia goniométrica. Si usas la gráfica, marca el punto de abscisa $c$ y dibuja la recta tangente en ese punto.

Considera la función polinómica $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina el valor del parámetro $k$ para que la función cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 1]$.
2. b) Para dicho valor de $k$, calcula los puntos $c$ que verifican la tesis del teorema.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 3}$, ¿se puede aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$ sabiendo que $f(1) = f(5) = 0$?

Razona tu respuesta analizando la continuidad y derivabilidad de la función en dicho intervalo. En caso negativo, explica si esto contradice el teorema.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ k \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Calcula los valores de los parámetros $a, b, k \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, e]$. Una vez hallados los parámetros, determina el valor del punto $c \in (0, e)$ cuya existencia garantiza el teorema.

Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x + m$.

1. a) Determina para qué valores del parámetro $m$ la función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo de la forma $[0, a]$ con $a > 0$.
2. b) Para $m = 0$, halla el mayor intervalo posible $[p, q]$ donde se pueda aplicar el teorema y calcula el punto $c$ cuya existencia se asegura.

Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[1, 5]$ y derivable en el abierto $(1, 5)$. Si los valores de la función en los extremos son $f(1) = 10$ y $f(5) = 30$, ¿podemos asegurar que existe algún punto $c$ en el intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $5$? Justifica tu respuesta utilizando el Teorema del Valor Medio.

Considera la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. En la figura aparecen su gráfica y la recta secante que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la gráfica de abscisas $0$ y $2$.

1. a) Comprueba que se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio (de Lagrange) en $[0, 2]$ y calcula la pendiente de la recta secante $AB$.

1. b) Halla el valor del punto $c \in (0, 2)$ cuya existencia garantiza el teorema.

1. c) Explica gráficamente qué relación tiene la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $c$ con la recta secante $AB$.

Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en metros) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar que en algún instante entre $t=1$ y $t=4$ segundos, su velocidad instantánea fue exactamente igual a su velocidad media en ese intervalo. Calcula dicho instante.

Un radar de tramo en una autopista detecta que un vehículo entra en un túnel (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale del mismo (punto $B$) a las 14:01:30 h. La distancia entre ambos puntos de control es de 3,5 km.

Si el límite de velocidad en el túnel es de $120 \text{ km/h}$, utiliza el Teorema del Valor Medio de Lagrange para justificar si el conductor debería recibir una multa por exceso de velocidad, independientemente de que su velocidad en la entrada y en la salida fuera legal.

Dada la función definida a trozos:

Estudia si se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[1, e+2]$ y, en caso afirmativo, halla el valor o valores de $c \in (1, e+2)$ cuya existencia asegura el teorema.

Sea la función $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$.

1. a) Comprueba que $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[0, 1]$.
2. b) ¿Existe algún punto en dicho intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $1$? Justifica tu respuesta utilizando el teorema.

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.

Halla un punto en la gráfica de la función donde la recta tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos de la curva con abscisas $x=0$ y $x=4$. ¿Qué teorema garantiza que dicho punto existe? Enuncia sus hipótesis y comprueba que se cumplen.

El sistema de registro GPS de un tren de mercancías muestra que ha pasado por el punto kilométrico 150 de una línea a las 10:00:00 h y por el punto kilométrico 162 a las 10:06:40 h. El límite de velocidad de esa línea es de $100 \text{ km/h}$.

1. a) Utilizando el Teorema del Valor Medio (Lagrange), justifica si el tren ha superado en algún momento el límite de velocidad de la línea.
2. b) Si la función que describe la posición del tren en ese tramo es $s(t) = 150 + 2t - 0,03t^2$ (donde $s$ está en km y $t$ en minutos desde que pasa por el primer punto kilométrico), halla el instante exacto en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media del trayecto.

La Dirección General de Tráfico (DGT) tiene instalado un radar de tramo en la autovía AP-6 para vigilar un trayecto de $15\text{ km}$ donde la velocidad máxima legal está fijada en $100\text{ km/h}$. Un turismo entra en el tramo a las $11:00:00$ registrando una velocidad puntual de entrada de $90\text{ km/h}$, y sale del tramo a las $11:08:15$ registrando una velocidad puntual de salida de $95\text{ km/h}$.

1. a) Suponiendo que la función de posición del vehículo $s(t)$ en función del tiempo es continua y derivable, calcula la velocidad media del trayecto en $\text{km/h}$.
2. b) Enuncia el Teorema del Valor Medio de Lagrange y utilízalo para justificar si la DGT puede sancionar legalmente al conductor por exceso de velocidad, razonando si es necesario o no disponer de una fotografía instantánea intermedia del vehículo circulando por encima de $100\text{ km/h}$.

Considera la función $f(x) = \sqrt{x}$ definida en el intervalo $[1, 9]$.

1. a) Antes de efectuar ningún cálculo, realiza una estimación razonada: sabiendo que la función raíz cuadrada es cóncava hacia abajo en todo su dominio (es decir, su derivada primera es estrictamente decreciente y sus pendientes tangentes se van reduciendo), ¿el punto $c \in (1, 9)$ en el que la recta tangente es paralela a la secante que une los extremos estará situado a la izquierda del punto medio aritmético ($x = 5$), en el propio punto medio o a su derecha? Justifica cualitativamente tu predicción.
2. b) Enuncia el Teorema del Valor Medio de Lagrange, comprueba que se verifican sus hipótesis en $[1, 9]$ y calcula el valor exacto de $c$.
3. c) Comprueba si el valor numérico obtenido confirma tu estimación inicial e interpreta geométricamente el resultado.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Aplica el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, es decir, con $a = 0$ y $b = \frac{\pi}{2}$. Encuentra el valor de $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ que satisface la igualdad:

Explica la interpretación geométrica de este resultado en términos de la curva paramétrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, con $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. En la figura aparecen esa curva, sus extremos $A = (g(a), f(a))$ y $B = (g(b), f(b))$, la recta secante $AB$ y los incrementos $g(b)-g(a)$ y $f(b)-f(a)$.

Dadas las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = x^2 + 1$, aplica el Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Medio Generalizado) en el intervalo $[0, 2]$.

Halla el valor de $c \in (0, 2)$, correspondiente al punto $P$ de la figura, que satisface la tesis del teorema:

Dadas las funciones $f(x) = \cos(x)$ y $g(x) = \operatorname{sen}(x)$ definidas en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$:

1. a) Comprueba formalmente si se satisfacen todas las hipótesis del Teorema del Valor Medio Generalizado (Teorema de Cauchy) en dicho intervalo, justificando con rigor la condición sobre la anulación de la derivada del denominador $g'(x)$ en el intervalo abierto.
2. b) Halla el valor exacto del punto $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ cuya existencia asegura el teorema.
3. c) Aplica por separado el Teorema del Valor Medio de Lagrange a $f(x)$ y a $g(x)$ en el mismo intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, determina analíticamente los puntos intermedios correspondientes $c_1$ y $c_2$, y demuestra que ninguno de ellos coincide con el valor $c$ obtenido mediante el Teorema de Cauchy. Justifica conceptualmente por qué el Teorema de Cauchy no equivale a aplicar Lagrange de manera independiente a cada función.

Utiliza los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación:

tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.

Demuestra, utilizando conjuntamente el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle, que la ecuación:

posee una única solución real para cualquier valor de la constante $k \in \mathbb{R}$. Explica razonadamente por qué la existencia de más de una raíz entraría en contradicción con el enunciado del Teorema de Rolle.

Considera una función $f(x)$ derivable en todo $\mathbb{R}$. Se sabe que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales, $x_1 = -2$ y $x_2 = 3$.

Demuestra que la función $f(x)$ no puede tener más de tres raíces reales distintas. ¿Es posible que la función solo tenga una raíz real? Justifica tu respuesta basándote en las interpretaciones geométricas de los teoremas de derivabilidad.

Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$:

Ayuda: Aplica el teorema a la función $f(x) = \ln(x)$ en el intervalo $[a, b]$.

Dos corredores, Alba y Bruno, inician una carrera de 100 metros vallas al mismo tiempo y llegan a la meta en un empate técnico (mismo tiempo $T$). Sus funciones de posición son $s_A(t)$ y $s_B(t)$, ambas continuas en $[0, T]$ y derivables en $(0, T)$.

Demuestra, utilizando el Teorema de Rolle sobre la función diferencia $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, que hubo al menos un instante durante la carrera en el que ambos corredores llevaban exactamente la misma velocidad instantánea.

Se desea demostrar con rigor que la ecuación $2x^3 + 3x - 4 = 0$ tiene exactamente una solución real en el intervalo abierto $(0, 2)$. Para abordar este problema, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Estrategia A (Bolzano y Monotonía): Demostrar la existencia de al menos una raíz en $(0, 2)$ mediante el Teorema de Bolzano y, a continuación, demostrar que la función asociada es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ analizando el signo de $f'(x)$ para deducir la unicidad.

• Estrategia B (Bolzano y Teorema de Rolle): Demostrar la existencia de al menos una raíz con Bolzano y, a continuación, suponer por reducción al absurdo que existen dos raíces distintas $x_1 < x_2$ en $(0, 2)$, aplicando el Teorema de Rolle en $[x_1, x_2]$ para alcanzar una contradicción con la ecuación $f'(x) = 0$.

Se pide:

1. a) Compara críticamente ambas estrategias: argumenta por qué ambas son válidas y explica cuál de las dos resulta metodológicamente más directa cuando la derivada primera no tiene raíces reales.
2. b) Elige una de las dos estrategias y redacta la demostración completa y rigurosa de la existencia y unicidad de la raíz, verificando explícitamente todas las hipótesis requeridas de los teoremas que utilices.