Reglas de derivación y función derivada de funciones usuales

Calcula la función derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación de las funciones elementales (potencias y raíces):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Dada la función $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcula su función derivada $f'(x)$ y simplifica el resultado expresando la raíz de nuevo en forma radical.

Halla la función derivada de las siguientes funciones trascendentes utilizando la tabla de derivadas de funciones usuales:

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Un cohete pirotécnico despega verticalmente desde una plataforma de lanzamiento. La altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ en segundos viene dada por la función polinómica $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcula la función derivada $h'(t)$, que representa la velocidad instantánea del cohete en cualquier instante $t$.

Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, se pide:

1. a) Hallar la función derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $P$ de abscisa $x = 4$ (marcado en la figura).

Una cuenta de una red social ha analizado su crecimiento y ha determinado que el número de seguidores $S$ evoluciona según la función exponencial $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde su creación. Determina la función derivada $S'(t)$ para conocer el ritmo de crecimiento de seguidores.

Un muelle oscila siguiendo un movimiento armónico simple descrito por la función $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, donde $y$ es la posición en centímetros y $x$ es el tiempo. Obtén la expresión de la función derivada $y'(x)$, que representa la velocidad de oscilación del muelle.

Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas sencillas utilizando la regla de la cadena de forma directa:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el despegue.

1. a) Calcula la función que representa la velocidad vertical del dron, $v(t) = h'(t)$.

1. b) ¿Cuál es la velocidad vertical del dron en el instante $t = 5$ segundos?

Dada la función racional que involucra logaritmos neperianos:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Halla la expresión de su derivada $g'(x)$ y determina los valores de $x$ para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $g(x)$ es igual a cero.

Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, aplicando la regla de la cadena y simplificando el resultado al máximo:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Dada la función $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtén:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.
2. b) La segunda derivada $f''(x)$, simplificando el resultado utilizando funciones trigonométricas usuales.

Halla los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

• Pasa por el punto $(0, 3)$.

• Su derivada en el origen es $f'(0) = 2$.

Calcula la derivada de la siguiente función simplificando el resultado final tanto como sea posible mediante identidades trigonométricas:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Calcula la derivada de la función $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ y simplifica la expresión resultante. ¿A qué función más sencilla corresponde esta derivada?

Calcula la derivada de la siguiente función compuesta y simplifica el resultado al máximo utilizando identidades trigonométricas:

¿Qué curiosidad observas en el resultado final simplificado?

Utilizando la técnica de derivación logarítmica, halla la derivada de la función $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.

Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para obtener la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Dada la función trascendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utiliza la técnica de derivación logarítmica para calcular su función derivada $f'(x)$. Una vez obtenida, calcula el valor exacto de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Para dimensionar correctamente una viga de acero sometida a torsión asimétrica, un ingeniero requiere optimizar una función de esfuerzo dada por $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ para $x > 1$. Aplica el método de derivación logarítmica para obtener la expresión simplificada de la derivada $E'(x)$.

Una función desconocida $f(x)$, derivable y estrictamente positiva en el intervalo $(0, +\infty)$, satisface que su derivada logarítmica viene dada por la expresión:

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

Además, se sabe que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 1)$.

1. a) Justifica por qué la expresión $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coincide formalmente con la derivada de la función compuesta $\ln(f(x))$.
2. b) Deduce razonadamente la expresión de la función $g(x) = \ln(f(x))$ identificando una función cuya derivada sea $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Para ello, descompón el cociente en suma de dos fracciones y reconócelas como derivadas de funciones elementales o de potencias de $\ln x$.
3. c) A partir de la condición $f(1) = 1$, halla la constante correspondiente y despeja la función original $f(x)$, expresándola en la forma potencial-exponencial $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Comprueba tu resultado derivando directamente la función $f(x)$ obtenida mediante la técnica de derivación logarítmica y verificando que se reproduce fielmente el cociente de partida.

Un oscilador armónico en un sistema mecánico tiene una posición dada por $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcula la velocidad $v(t) = x'(t)$ y la aceleración $a(t) = x''(t)$, y comprueba si satisface la ecuación diferencial $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Considera la curva definida de forma implícita por la ecuación:

1. a) Halla la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
2. b) Encuentra la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $P(3, 1)$.

Sea la función $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Demuestra que $f(x)$ es biyectiva en todo $\mathbb{R}$ (puedes apoyarte en el estudio de su crecimiento).

1. b) Sabiendo que $f(1) = 4$, calcula el valor de la derivada de la función inversa en ese punto, es decir, $(f^{-1})'(4)$.

Halla la expresión general de la derivada n-ésima ($f^{(n)}(x)$) para la función racional:

Indicación: Descompón la función en fracciones simples antes de comenzar a derivar sucesivamente.

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en todo su dominio:

Explica razonadamente la relación entre la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura $x = 1$.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo la trayectoria dada por la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un operario situado en el punto $A(2, 0)$ observa el dron.

Calcula el punto de la trayectoria donde el dron se encuentra a la distancia mínima del operario.

Nota: Para minimizar la distancia $d$, basta con minimizar el cuadrado de la distancia $d^2$. Deberás derivar la función resultante de la distancia.

En un laboratorio de biotecnología, el volumen de una población de bacterias (en $mm^3$) crece según la función $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Al mismo tiempo, el radio de la placa de cultivo circular donde crecen las bacterias se expande de forma que el área ocupada por la población es $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

Si suponemos que el grosor de la capa bacteriana es constante e igual a $0,1 mm$ (de modo que $V = A \cdot h$), calcula la tasa de variación instantánea del radio de la población en el instante $t = 2$ horas.