Ejercicios: Punto medio de un segmento

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.

El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.

Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.

Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.

Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.

Para determinar las coordenadas del extremo $B$ de un segmento del que se conoce el origen $A(-3, 5)$ y el punto medio $M(1, -2)$, Marcos ha realizado el siguiente cálculo en su examen:

1. a) Explica detalladamente qué punto geométrico ha calculado en realidad Marcos y por qué su planteamiento algebraico es erróneo.
2. b) Plantea las ecuaciones correctas a partir de la definición de punto medio y halla las coordenadas reales del extremo $B$.

Un dron de salvamento marítimo parte de la base costera $A(-7, 8)$ y vuela en línea recta hasta localizar una embarcación averiada en $B(3, -2)$, con coordenadas expresadas en kilómetros respecto a la torre de control.

1. a) Sin realizar cálculos con fórmulas, observa los signos y los valores numéricos de las coordenadas de $A$ y $B$: estima razonadamente en qué cuadrante del plano cartesiano debe encontrarse el punto medio $M$ de la trayectoria y acota entre qué números enteros estarán su abscisa y su ordenada. Justifica tu deducción a partir de la posición relativa de ambos puntos.
2. b) Calcula con exactitud las coordenadas de $M$ aplicando la media aritmética y comprueba si tu estimación previa ha sido correcta.

Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres vértices del triángulo $A, B$ y $C$.

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$.

Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).

Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto medio del segmento $ST$ coincide con el punto de impacto en el espejo.

Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.

En el plano territorial de una comarca (con distancias en kilómetros), la sede central comarcal de mensajería se ubica en $A(1, 3)$ y una filial en $C(9, 7)$. La empresa proyecta construir una nave intermedia de distribución en el punto medio $M$ del segmento $AC$.

1. a) Calcula las coordenadas del centro de distribución $M$.
2. b) La empresa desea completar un recinto logístico con forma de paralelogramo $ABCD$, de modo que $AC$ y $BD$ sean sus diagonales. Si el segundo almacén está ubicado en $B(2, 8)$, halla razonadamente las coordenadas del cuarto almacén $D$ utilizando la propiedad que comparten las diagonales de un paralelogramo respecto a su punto medio.
3. c) Una autovía rectilínea sigue el trazado de la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. Averigua analíticamente si el centro de distribución $M$ y el almacén $D$ tienen acceso directo a la autovía (es decir, si pertenecen a la recta $r$).

El punto $M(3, 2)$ es el punto medio de un segmento de extremos desconocidos $A$ y $B$. Se sabe además que el extremo $A$ se encuentra sobre la recta $r: y = 2x - 1$, mientras que el extremo $B$ está apoyado sobre el eje de abscisas ($y = 0$).

1. a) Escribe las coordenadas genéricas de los puntos $A$ y $B$ en función de un único parámetro independiente para cada uno.
2. b) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales que determina de forma única las coordenadas numéricas de $A$ y $B$.
3. c) Comprueba analíticamente si el segmento $AB$ resulta ser perpendicular a la recta $r$ calculando las pendientes de ambos elementos.

Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.

Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.

Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo de Varignon) y calcula su área.

El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la propiedad del baricentro respecto a los puntos medios de los lados.

Para determinar las coordenadas del cuarto vértice $D$ de un paralelogramo cuyos tres primeros vértices consecutivos son $A(-2, 3)$, $B(4, 1)$ y $C(6, 7)$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Lucía propone calcular el punto medio $M$ de la diagonal $AC$ y utilizar que $M$ es también el punto medio de la diagonal $BD$ para despejar directamente las coordenadas de $D$.

• Sergio propone hallar las ecuaciones implícitas de la recta paralela a $AB$ que pasa por $C$ y de la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$, y obtener $D$ como el punto de intersección de ambas rectas.

1. a) Resuelve el problema aplicando el procedimiento propuesto por Lucía.
2. b) Resuelve el problema aplicando el procedimiento propuesto por Sergio.
3. c) Compara ambos métodos: valora el número de operaciones algebraicas y el riesgo de error operativo en cada uno, justificando cuál es más eficiente. ¿Podría aplicarse la estrategia de Lucía si el cuadrilátero fuera un trapecio no paralelogramo? Razona tu respuesta a partir de las propiedades geométricas de las diagonales.

Un equipo de topografía que delimita una reserva natural triangular $ABC$ ha extraviado las coordenadas de los tres vértices originales, pero conserva en sus registros las coordenadas de los puntos medios de los tres lados: $M_1(2, 1)$ (punto medio del lado $AB$), $M_2(5, 4)$ (punto medio del lado $BC$) y $M_3(1, 5)$ (punto medio del lado $CA$).

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona las coordenadas desconocidas de los vértices con las de los puntos medios dados y obtén las coordenadas exactas de $A$, $B$ y $C$.
2. b) Determina las coordenadas del baricentro $G$ del triángulo original $ABC$ y las del baricentro $G'$ del triángulo medial $M_1M_2M_3$ formado por los puntos medios. ¿Qué conclusión obtienes al comparar ambos resultados?
3. c) Demuestra algebraicamente que la igualdad $G = G'$ se verifica de forma universal para cualquier triángulo del plano, sin importar las coordenadas que tengan sus vértices.