Ejercicios: Integración por cambio de variable

Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:

Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable sugerido $t = 2x + 1$:

En el diseño de una rampa para un skatepark, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:

Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determina la primitiva de la siguiente función trigonométrica mediante el cambio $t = 4x$:

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.

A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:

Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:

Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.

Marcos tiene que calcular la primitiva de la función $f(x) = (4x - 1)^5$ y escribe en su examen:

justificando que ha aplicado la regla de la potencia sumando 1 al exponente y dividiendo entre el nuevo exponente.

1. a) Demuestra, derivando el resultado que obtuvo Marcos, por qué su primitiva es errónea.
2. b) Explica qué elemento esencial de la regla de la cadena olvidó compensar en su desarrollo.
3. c) Obtén la primitiva correcta ajustando la constante que falta para que aparezca la derivada de la base o, alternativamente, aplicando el cambio de variable formal $u = 4x - 1$.

Para calcular la familia de primitivas de la función racional $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 4}$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Elena sostiene que la integral es «casi inmediata» porque el numerador es exactamente la derivada del denominador, por lo que aplica de forma directa la fórmula $\int \frac{u'(x)}{u(x)}\, dx = \ln|u(x)| + C$.

• Sergio desconfía de resolverla a simple vista y prefiere aplicar formalmente el método de sustitución definiendo $u = x^2 + 4$, hallando $du$ y despejando $dx$ para transformar la integral.

1. a) Desarrolla detalladamente la resolución siguiendo el procedimiento de Elena y también siguiendo el de Sergio.
2. b) Compara ambos métodos y justifica por qué el de Elena ahorra tiempo en este caso específico sin riesgo de fallo, indicando además en qué circunstancias algebraicas el procedimiento sistemático de Sergio resulta más seguro.

En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utiliza el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:

Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:

En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:

Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:

Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:

Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$ para simplificar la expresión:

Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la posición es la integral de la velocidad, halla la expresión de la distancia recorrida mediante el cambio $u = \ln t$:

Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:

Durante un episodio de altas temperaturas registrado por el SENAMHI en Santa Cruz, la potencia adicional demandada a la red eléctrica debido al uso intensivo de sistemas de climatización evoluciona según la tasa de variación instantánea:

donde $t$ es el tiempo medido en horas transcurridas desde las 12:00 ($0 \le t \le 6$) y $p(t)$ viene expresada en megavatios por hora ($\text{MW/h}$).

1. a) Modela la función de energía acumulada consumida calculando la familia de primitivas $E(t) = \int p(t)\, dt$ mediante el cambio de variable $u = t^2 + 16$.
2. b) Sabiendo que a las 12:00 ($t = 0$) el contador de energía acumulada marcaba $240\text{ MWh}$, determina de manera razonada el valor de la constante de integración $C$ y escribe la función particular $E(t)$.
3. c) A partir de la función obtenida, calcula cuántos megavatios-hora ($\text{MWh}$) adicionales ha consumido la región entre las 12:00 ($t = 0$) y las 15:00 ($t = 3$).

Un equipo docente diseña un examen con un reto inverso sobre primitivas compuestas de tipo potencia. Desean que la solución a una integral indefinida sea:

y que proceda de integrar una función racional de la forma:

donde $a$ y $b$ son constantes reales fijas.

1. a) Deriva la función $F(x)$ aplicando la regla de la cadena y deduce los valores numéricos exactos de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $\int f(x)\, dx = F(x)$.
2. b) Generaliza el razonamiento: ¿qué relación de proporcionalidad debe guardar obligatoriamente el numerador $m \cdot x + n$ respecto a la derivada del polinomio del denominador para que cualquier integral del tipo $\int \frac{m \cdot x + n}{(x^2 + 4x + 7)^k}\, dx$ (con $k > 1$) pueda resolverse como una potencia inmediata de tipo $u'(x) \cdot [u(x)]^{-k}$ sin necesidad de recurrir a la descomposición en fracciones simples?

Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:

Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.

Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.

En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:

Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.

Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.

La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.

Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.

Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.

Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral:

Calcula la primitiva general utilizando la sustitución $t = \sqrt{x+1}$.

Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:

Indica paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizarías para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.

Considera la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$, definida para $x \ge 0$, cuya primitiva $F(x)$ verifica la condición inicial $F(0) = 0$.

1. a) Estima: Analiza razonadamente cómo se comporta el cociente $\frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}$ cuando la variable $x$ toma valores extremadamente grandes ($x \to +\infty$). A partir de ese valor límite del integrando, deduce qué tipo de crecimiento asintótico (lineal, logarítmico, potencial...) debe exhibir la primitiva $F(x)$ y estima razonadamente cuál debería ser la pendiente asintótica de su gráfica para valores grandes de $x$.
2. b) Calcula: Obtén la primitiva formal $\int \frac{\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}}\, dx$ utilizando el cambio de variable $t = \sqrt{x}$ (es decir, $x = t^2$, $dx = 2t\, dt$). A continuación, determina la función concreta $F(x)$ imponiendo la condición $F(0) = 0$.
3. c) Comprueba: Estudia el término dominante de la función $F(x)$ obtenida en el apartado anterior cuando $x \to +\infty$ y razona si el resultado analítico confirma o refuta la estimación que realizaste en el apartado a).

Para resolver la primitiva $I = \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}\, dx$, el departamento de matemáticas propone contrastar dos cambios de variable distintos:

• Estrategia A (sustituir el radicando): Definir $u = e^x + 1$, de modo que el radicando sea $u$, y transformar el resto de elementos del integrando operando con potencias de exponente fraccionario.

• Estrategia B (sustituir la raíz completa): Definir $t = \sqrt{e^x + 1}$ (o lo que es equivalente, $t^2 = e^x + 1$), despejar las potencias de $e^x$ y diferenciar $2t\, dt = e^x\, dx$ para eliminar cualquier raíz del integrando desde el primer paso.

1. a) Desarrolla por completo la Estrategia A, detallando cómo sustituyes $e^{2x}$ y $dx$, integrando en la variable $u$ y deshaciendo el cambio hasta expresar la solución final en función de $x$.
2. b) Desarrolla por completo la Estrategia B, escribiendo la integral resultante como un polinomio en la variable $t$, integrando y retornando a la variable original $x$.
3. c) Compara ambos desarrollos: comprueba si conducen a expresiones equivalentes, explica qué ventajas operativas aporta erradicar de raíz los exponentes fraccionarios frente al método estándar y justifica cuál de las dos estrategias resulta más robusta para evitar errores de cálculo en una prueba de evaluación.