Ejercicios: Composición de funciones

Dadas las funciones $f(x) = 3x + 2$ y $g(x) = x^2 - 1$, calcula el valor numérico de la composición $(g \circ f)(2)$.

Encuentra la expresión algebraica de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ sabiendo que $f(x) = 5x - 4$ y $g(x) = x^2 + 3x$.

Utilizando las funciones $f(x) = 5x - 4$ y $g(x) = x^2 + 3x$, halla la expresión de $(g \circ f)(x)$ y comprueba analíticamente que la composición de funciones no es conmutativa.

Dadas las funciones racionales $f(x) = \frac{2}{x}$ y $g(x) = x + 3$, determina la expresión simplificada de $(f \circ g)(x)$ y la de $(g \circ f)(x)$.

Considera las funciones $f(x) = x - 2$, $g(x) = 3x$ y $h(x) = x^2$. Calcula el valor numérico de la composición sucesiva $(h \circ g \circ f)(4)$.

Dada la función compuesta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, exprésala como la composición de dos funciones más simples $(g \circ f)(x)$, indicando claramente cuál es la expresión de $f(x)$ y cuál es la de $g(x)$.

Dadas la función constante $f(x) = 7$ y la función cuadrática $g(x) = 2x^2 - x$, determina las expresiones algebraicas de $(f \circ g)(x)$ y $(g \circ f)(x)$.

Comprueba analíticamente que al componer la función $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ con la función identidad $I(x) = x$, se obtiene la misma función original. Calcula y simplifica tanto $(f \circ I)(x)$ como $(I \circ f)(x)$.

Lucía tiene que calcular el valor numérico de la composición $(f \circ g)(2)$ para las funciones $f(x) = 2x^2 - 1$ y $g(x) = 3x - 5$. En su examen escribe el siguiente procedimiento:

«Como me piden $(f \circ g)(2)$, calculo primero $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 1 = 7$. Después introduzco este resultado en la segunda función: $g(7) = 3 \cdot 7 - 5 = 16$. Por tanto, $(f \circ g)(2) = 16$».

1. a) Identifica el error conceptual que ha cometido Lucía y explica, recurriendo a la definición teórica de la composición de funciones, por qué su razonamiento no es correcto.
2. b) Realiza los cálculos en el orden adecuado para hallar el valor correcto de $(f \circ g)(2)$.
3. c) ¿Qué expresión o valor ha calculado en realidad Lucía? Justifica tu respuesta.

Dadas las funciones $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ y $g(x) = x^2 - 4$, necesitas calcular el valor exacto de $(g \circ f)(5)$. Para resolverlo se proponen dos caminos distintos:

• Método 1: Obtener primero la fórmula general simplificada de $(g \circ f)(x)$ sustituyendo la expresión de $f(x)$ en cada variable de $g(x)$, reducir a común denominador y, al final, sustituir $x = 5$.

• Método 2: Calcular directamente la imagen de la primera función en el punto indicado, $f(5)$, y aplicar después la función $g$ sobre el número obtenido.

1. a) Aplica ambos métodos por separado y comprueba que se llega al mismo resultado numérico.
2. b) Compara el número de operaciones y el riesgo de error algebraico que implica cada alternativa. Justifica cuál de los dos métodos es más conveniente cuando solo interesa evaluar la función en un número concreto y en qué caso práctico sí sería obligatorio utilizar el Método 1.

Una tienda de electrónica aplica un descuento del $15\%$ a todos sus productos, lo que se modela con la función $d(x) = 0,85x$. Además, un cliente tiene un cupón de fidelidad de $140$ bolivianos de descuento directo, modelado por la función $c(x) = x - 140$. Determina las expresiones de $(c \circ d)(x)$ y $(d \circ c)(x)$. ¿Qué orden de composición beneficia más al cliente si quiere comprar una computadora cuyo precio inicial es de $4\,200$ bolivianos?

Al lanzar una piedra a un estanque, se forma una onda circular cuyo radio aumenta con el tiempo según la función $r(t) = 2,5t$ (con $r$ en centímetros y $t$ en segundos). Sabiendo que el área del círculo viene dada por $A(r) = \pi r^2$, halla la función $(A \circ r)(t)$ que describe el área en función del tiempo y calcula el área de la superficie afectada a los $4$ segundos.

Determina rigurosamente el dominio de la función compuesta $(g \circ f)(x)$ sabiendo que $f(x) = x - 4$ y $g(x) = \sqrt{x}$.

Dadas las funciones $f(x) = 2x + k$ y $g(x) = 4x - 3$, halla el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la propiedad conmutativa en este caso particular, es decir, que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ para cualquier valor de $x$.

La demanda eléctrica de una ciudad, en megavatios, depende de la temperatura ambiente según la función $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. A su vez, la temperatura varía con el tiempo en horas según $T(t) = 1,5t + 10$. Calcula la demanda eléctrica exacta que habrá transcurridas $6$ horas.

Observa la siguiente gráfica donde se representan las funciones $f(x)$ (en azul) y $g(x)$ (en verde). A partir de la información visual y sin necesidad de obtener sus expresiones algebraicas, determina los valores numéricos de $(f \circ g)(2)$ y $(g \circ f)(-1)$.

Sabiendo que $f(x) = 3x + 2$ y que la función compuesta es $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determina la expresión algebraica de la función exterior $g(x)$.

El costo diario de producción de $x$ piezas en una fábrica viene dado por la función $C(x) = 105x + 3\,500$ bolivianos. El número de piezas que ensambla una máquina en $t$ horas de funcionamiento continuo es $x(t) = 40t$. Expresa el costo de producción en función del tiempo de funcionamiento de la máquina y calcula el costo total tras una jornada de $8$ horas.

Conocemos la función polinómica de primer grado $f(x) = 2x - 3$, pero desconocemos la expresión de una segunda función $g(x)$. No obstante, se sabe que al componerlas se obtiene como resultado la función cuadrática:

1. a) Encuentra razonadamente la expresión algebraica de $g(x)$. Para ello, realiza el cambio de variable $u = 2x - 3$, despeja $x$ en función de $u$ y sustitúyelo en la expresión compuesta $(g \circ f)(x)$.
2. b) Comprueba que tu deducción es correcta calculando de nuevo $g(f(x))$ a partir de la fórmula que has encontrado para $g(x)$.
3. c) Razona si la función $g(x)$ hallada es única o si podrían existir otras funciones distintas que produzcan exactamente la misma composición con $f(x)$.

En una estación de esquí de Chacaltaya (La Paz), la altitud $h$ (medida en cientos de metros sobre el nivel del mar) que alcanza un telesquí depende del tiempo $t$ (en minutos transcurridos desde la estación base) según la función:

Por otra parte, según los registros meteorológicos del SENAMHI para ese día, la temperatura exterior $T$ (en grados Celsius) disminuye de forma lineal con la altitud siguiendo la función:

1. a) Determina cuál de las dos composiciones, $(T \circ h)(t)$ o $(h \circ T)(t)$, modeliza la temperatura que experimenta un esquiador a lo largo del trayecto. Justifica tu elección explicando el papel de las entradas y salidas de cada función.
2. b) Obtén la expresión algebraica simplificada de la función compuesta elegida e indica cuál es su dominio en el contexto real del problema.
3. c) Interpreta el significado físico del coeficiente que multiplica a $t$ (la pendiente) y calcula a qué temperatura exacta se encontrará el esquiador al llegar a la cima ($t = 10$ minutos).

Dadas las funciones $f(x)$ y $g(x)$, donde $f(x) = 2x$ si $x < 1$ y $f(x) = x^2$ si $x \geq 1$, y la función $g(x) = x + 3$. Determina la expresión analítica completa de la función compuesta $(f \circ g)(x)$, prestando especial atención a los intervalos de definición.

Considera las funciones $f(x) = \sqrt{x + 3}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Realiza un estudio analítico riguroso para determinar el dominio de definición de la función compuesta $(f \circ g)(x)$.

Un globo aerostático esférico se infla mediante un compresor que inyecta aire a un ritmo constante, de modo que su volumen en metros cúbicos viene dado por $V(t) = 12t$ (con $t$ en minutos). Sabiendo que el volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ y su superficie es $S = 4\pi r^2$, halla la función compuesta $S(t)$ que proporciona la superficie del globo directamente en función del tiempo transcurrido.

Sea la función racional $f(x) = \frac{x}{x - 1}$. Calcula las composiciones sucesivas $(f \circ f)(x)$ y $(f \circ f \circ f)(x)$. A partir de los resultados obtenidos, deduce razonadamente cuál será la expresión de $f^{[n]}(x)$ (la composición de $f$ consigo misma $n$ veces) dependiendo de si $n$ es un número par o impar.

Demuestra algebraicamente que, si $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ (con la condición $a^2 + bc \neq 0$), la función es su propia inversa comprobando que $(f \circ f)(x) = x$ para todo $x$ perteneciente a su dominio.

Un haz de luz atraviesa una serie de filtros ópticos. Un filtro de tipo A reduce la intensidad luminosa un $20\%$, modelizado por $f_A(I) = 0,8I$. Un filtro de tipo B reduce la intensidad en una cantidad fija de $15 \text{ W/m}^2$, modelizado por $f_B(I) = I - 15$. Si la intensidad inicial es $I_0$, encuentra la expresión de la intensidad final tras atravesar $3$ filtros de tipo A seguidos de $2$ filtros de tipo B. ¿Es el resultado equivalente a atravesar primero los $2$ de tipo B y luego los $3$ de tipo A?

Observa la gráfica de la función $f(x)$. A partir de ella, obtén la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos y calcula la expresión algebraica detallada de $(f \circ f)(x)$.

Descompón la función compleja $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ como la composición sucesiva de cuatro funciones elementales $f_1, f_2, f_3, f_4$ de forma que $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indica claramente la expresión algebraica de cada una de las cuatro funciones.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4$ y $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, se define la función compuesta $h(x) = (g \circ f)(x)$.

1. a) Estima: Antes de realizar ningún cálculo algebraico formal, reflexiona sobre la cadena de procesos: ¿qué tipo de valores reales admite la función $g$ como entrada para no generar indeterminaciones en los números reales? Teniendo esto en cuenta, deduce cualitativamente qué signo debe tener la salida de $f(x)$ y estima qué tramos de la recta real formarán el dominio de $h(x)$. En particular, razona sin operar si los valores $x = 0$ y $x = 2$ pueden formar parte de dicho dominio.
2. b) Calcula: Escribe la fórmula analítica de $h(x)$ y determina de manera rigurosa su dominio aplicando las dos condiciones teóricas: $x \in \operatorname{Dom}(f)$ y $f(x) \in \operatorname{Dom}(g)$. Expresa el resultado mediante intervalos.
3. c) Comprueba: Contrasta el dominio obtenido analíticamente con tus estimaciones del apartado a). Explica detalladamente por qué, aunque $x = 0$ pertenece al dominio de $f$, queda finalmente excluido de la composición.

Se consideran la función racional $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ y una función desconocida $g(x)$. Se sabe que la composición entre ambas produce el resultado:

1. a) Determina razonadamente la expresión algebraica de la función $g(x)$.
2. b) Halla el dominio de definición de la función compuesta $(f \circ g)(x)$ aplicando estrictamente la definición formal de cadena de funciones: $x \in \operatorname{Dom}(g)$ y $g(x) \in \operatorname{Dom}(f)$.
3. c) Un estudiante observa la expresión final $\frac{x + 1}{2 - 3x}$ y afirma: «El dominio de $(f \circ g)$ son todos los números reales salvo $x = \frac{2}{3}$, ya que para $x = -1$ la fórmula da $\frac{-1+1}{2-3(-1)} = \frac{0}{5} = 0$, que es un valor real perfectamente válido». Piensa en la composición como dos máquinas encadenadas: la primera es $g$, que recibe el número $x$ y entrega $g(x)$; esa salida entra directamente en la segunda máquina, $f$, que entrega $f(g(x))$. Cada máquina solo funciona con las entradas de su propio dominio, y si la primera no entrega ningún resultado, la segunda no recibe nada. Utilizando esta idea de las dos máquinas encadenadas, refuta el argumento del estudiante y explica qué ocurre exactamente en el proceso de cálculo cuando se intenta evaluar la composición en $x = -1$.