Ejercicios: Área bajo una curva

Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 4$. Para ello:

1. Calcula el valor del área utilizando fórmulas geométricas elementales (área de un trapecio).

2. Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicando la regla de Barrow y comprueba que ambos resultados coinciden.

Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de:

Un túnel de lavado para autos tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana (frontal) limitada por la estructura de la parábola y el suelo (eje $OX$), sabiendo que los puntos de apoyo en el suelo son $x = -2$ y $x = 2$.

En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se mueve con una velocidad constante de $v(t) = 12$ km/h durante la primera media hora ($t = 0,5$ h), plantea y calcula la integral definida que representa la distancia recorrida en ese tiempo.

Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).

Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema:

Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula razonadamente el valor de:

1. $\int_{1}^{6} f(x) \, dx$

2. $\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$

Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.

Nota: Observa que la función corta al eje $OX$ en un punto dentro del intervalo dado, por lo que tendrás que descomponer el recinto en dos subáreas.

Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye una forma curva definida por $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula el área de la parte del logotipo encerrada entre esta curva, el eje $OX$ y la recta vertical $x = 9$.

Lucía tiene que calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 1$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Sin realizar todavía ningún cálculo nuevo, explica detalladamente el error conceptual cometido por Lucía a partir del signo de $f(x)$ en el intervalo $[0, 2]$ y explica por qué su resultado final es menor que el área real.
2. b) Corrige el ejercicio dividiendo adecuadamente el intervalo de integración y calcula el valor exacto del área.

Se quiere calcular el área del recinto cerrado delimitado por la parábola $f(x) = 4 - x^2$ y los semiejes positivos de coordenadas en el primer cuadrante.

1. a) Antes de integrar, realiza una estimación previa del área acotándola entre dos figuras geométricas elementales: el triángulo rectángulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(0,4)$, y el rectángulo circunscrito de dimensiones $2 \times 4$. A partir de estas dos cotas, propón un valor numérico estimado para el área.
2. b) Calcula el valor exacto del área aplicando la regla de Barrow a la integral definida correspondiente.
3. c) Comprueba si el valor exacto obtenido queda dentro de las cotas establecidas en el apartado a) y determina el error absoluto cometido por tu estimación inicial respecto al valor real.

Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar los cálculos para identificar los puntos de corte.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo dentro del intervalo, por lo que deberás descomponer la integral si es necesario.

Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo $[0, \pi]$. Calcula la superficie total de la figura limitada por la curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$.

Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica que la función siempre es no negativa, pero su expresión analítica cambia en los puntos donde el argumento se anula.

Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$, el eje $OY$ y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 3$.

Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente de $18$ unidades cuadradas.

Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están expresados en metros. El suelo del túnel coincide con el eje $OX$. Calcula el área de la sección transversal de la entrada del túnel.

Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \sqrt{x}$, el eje $OX$ y la recta $y = -x + 6$ en el primer cuadrante. Ayuda: identifica primero el punto de intersección entre la curva y la recta para determinar los límites de integración.

Considera la familia de curvas dada por $f_k(x) = kx - x^2$, donde $k$ es un parámetro real positivo ($k > 0$).

1. a) Halla los puntos de corte de la gráfica de $f_k$ con el eje $OX$ y determina, en función del parámetro $k$, la expresión del área del recinto limitado por la curva y dicho eje.
2. b) Calcula el valor concreto de $k$ para que el área de dicho recinto sea exactamente igual a $36\text{ u}^2$.
3. c) Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, se desea trazar una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < k$) que divida el recinto en dos regiones de igual superficie. Sin plantear ninguna nueva ecuación integral, deduce y razona cuál debe ser el valor exacto de $c$ apoyándote en las propiedades de simetría de la función.

Según los registros de radiación solar del SENAMHI en una estación meteorológica de Cochabamba durante un día despejado de primavera, la potencia instantánea generada por una instalación fotovoltaica se modeliza mediante la función:

donde $P(t)$ representa la potencia en megavatios ($\text{MW}$) y $t$ es la hora del día medida en el intervalo $[0, 24]$.

1. a) Determina el intervalo de horas del día $[t_1, t_2]$ en el que la instalación genera energía de forma efectiva ($P(t) \ge 0$).
2. b) Sabiendo que la energía acumulada total producida (en $\text{MWh}$) coincide con el área bajo la curva de potencia durante las horas de producción, calcula la energía total generada a lo largo de esa jornada.
3. c) Si la energía se retribuye a una tarifa fija de $50\text{ \text{Bs}\ /MWh}$, halla el ingreso económico del día. Explica por qué habría sido un error metodológico calcular la energía mediante la integral directa $\int_0^{24} P(t)\,dt$.

Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la estabilidad, se debe colocar un refuerzo metálico que sigue la línea tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 4$.

Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($Eje\ OY$).

Considera las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$. Sea $R$ el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta vertical $x = k$ (donde $k > 0$).

Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área de dicho recinto sea exactamente de $4$ unidades cuadradas.

Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$.

Calcula el área del recinto limitado superiormente por la recta $y = 5$ e inferiormente por la gráfica de la función $f(x)$. Nota: Ten en cuenta los puntos de corte y la definición de la función en valor absoluto para dividir la integral si fuera necesario.

Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se pide:

1. Hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto $P(e, 1)$.

2. Calcular el área del recinto plano limitado por la curva $y = \ln(x)$, la recta normal hallada en el apartado anterior y el eje de abscisas ($Eje\ OX$).

Un depósito de agua tiene una sección transversal cuya base está definida por el eje $OX$ y su parte superior por la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{si } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Calcula el área total de la sección transversal del depósito realizando el cálculo de la integral definida en cada intervalo.

Determina el valor de la constante $a \in \mathbb{R}$ con $a > 1$, sabiendo que el área del recinto limitado por la curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 1$ y $x = a$ es igual al doble del área del recinto limitado por la misma curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas $x = a$ y $x = a^2$.

Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función.

Ayuda: Deberás primero localizar el máximo relativo mediante la derivada, hallar el valor de la ordenada en dicho punto y luego determinar los puntos de intersección entre la curva y la recta resultante.

Sea el recinto $A$ la región del primer cuadrante limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 9$. Existe una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < 3$) que divide al recinto $A$ en dos subrecintos de áreas idénticas.

Calcula el valor exacto de la constante $c$.

Para calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas $x = -2$ y $x = 2$, tres compañeros de clase proponen estrategias diferentes:

• Marcos busca las raíces de $f(x)$ en $[-2, 2]$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$), estudia el signo en cada subintervalo y plantea: $\text{Área} = \left|\int_{-2}^0 f(x)\,dx\right| + \left|\int_0^2 f(x)\,dx\right|$.

• Sara analiza primero las propiedades globales de $f(x)$, comprueba que es una función impar y afirma que el área se puede calcular de forma más directa y limpia como: $\text{Área} = 2 \int_0^2 (-f(x))\,dx$.

• Diego afirma que, como la definición general de área bajo una curva es $\int_{-2}^2 |f(x)|\,dx$, basta con encontrar directamente una primitiva algebraica de $|x^3 - 4x|$ y aplicar Barrow entre $-2$ y $2$ sin separar en trozos.

1. a) Evalúa la validez matemática de los tres procedimientos: explica por qué el enfoque de Diego no es operativo en la práctica y calcula el área exacta utilizando tanto el método de Marcos como el de Sara para comprobar que ambos son correctos.
2. b) Justifica cuál de los dos métodos válidos resulta más eficiente y minimiza el riesgo de cometer errores de signo con la regla de Barrow.
3. c) Si ahora se traslada verticalmente la gráfica considerando la función $g(x) = x^3 - 4x + 1$, razona si se podría seguir aplicando el atajo de simetría de Sara para calcular el área entre la curva $g(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-2, 2]$.

Se considera la función $f_m(x) = x^2 - m^2$, donde $m > 0$ es un parámetro real constante. Se desea estudiar el área $A(m)$ del recinto plano delimitado por la gráfica de $f_m(x)$, el eje $OX$ y las rectas verticales fijas $x = 0$ y $x = 2$.

1. a) Observa que la posición de la raíz positiva de la función respecto al intervalo $[0, 2]$ depende del valor de $m$. Deduce razonadamente la expresión analítica de la función área $A(m)$ distinguiendo dos casos: cuando $m \ge 2$ y cuando $0 < m < 2$.
2. b) Demuestra que la función $A(m)$ obtenida es continua en el punto de frontera $m = 2$.
3. c) Determina el valor exacto de $m \in (0, 2)$ para el cual el área del recinto es exactamente igual a $2\text{ u}^2$.