Momento di una forza e dinamica rotazionale

Il momento di una forza

Finora i corpi erano punti materiali: contava solo l'intensità della forza. Un corpo rigido è invece un corpo esteso che non si deforma, e per lui conta anche dove si applica la forza.

Prendi una chiave inglese fissata a un bullone nel punto $O$ (l'asse di rotazione). Spingendo all'estremità la chiave gira più facilmente che spingendo vicino al bullone. Spingendo lungo la chiave non gira affatto.

Chiamiamo $r$ la distanza tra l'asse e il punto di applicazione della forza. Il braccio $b$ della forza è la distanza tra l'asse e la retta d'azione della forza (la perpendicolare calata da $O$ su di essa).

Perché $b = r\sin\theta$? Nel triangolo rettangolo della figura, $b$ è il cateto opposto all'angolo $\theta$ e $r$ è l'ipotenusa. Il caso più semplice è la forza perpendicolare al braccio: $\theta = 90°$, $\sin\theta = 1$, quindi $\tau = F\,r$. Se la forza è lungo la chiave, $\theta = 0°$ e $\tau = 0$.

Per il segno si sceglie un verso positivo, di solito quello antiorario: i momenti che fanno ruotare in senso antiorario sono positivi, gli altri negativi.

Questo risolve il problema iniziale: spingendo vicino ai cardini il braccio è piccolo, quindi anche il momento lo è.

Equilibrio di un corpo rigido

Un punto materiale è in equilibrio se la risultante delle forze è nulla. Per un corpo rigido questo non basta: due forze uguali e opposte applicate in punti diversi (una coppia) lasciano la risultante nulla, ma fanno ruotare il corpo.

Perché si può scegliere l'asse a piacere? Se un corpo non ruota rispetto a un punto, non ruota rispetto a nessun altro, purché la risultante sia nulla. Conviene scegliere un asse dove passano forze incognite: il loro braccio è nullo e quindi escono dall'equazione.

Anche l'altalena a bilico segue questa regola: all'equilibrio $m_1 g\, b_1 = m_2 g\, b_2$ e quindi $m_1 b_1 = m_2 b_2$, perché $g$ si semplifica.

Dinamica rotazionale: τ = I·α

Se la somma dei momenti non è nulla, il corpo ruota con velocità angolare variabile. Come nella traslazione, serve una grandezza che misuri l'"inerzia" alla rotazione.

Prendi un punto di massa $m$ a distanza $r$ dall'asse, spinto da una forza tangente $F$. Per il secondo principio $F = m a_t$, e l'accelerazione tangenziale è $a_t = \alpha r$ (con $\alpha$ accelerazione angolare). Moltiplicando per $r$:

Per un corpo esteso si sommano i contributi di tutte le sue parti.

Momenti d'inerzia di corpi omogenei di massa $M$:

Quando $\tau$ è costante, $\alpha$ è costante e valgono le formule del moto circolare uniformemente accelerato: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.

La carrucola con massa fa sì che la tensione non sia $m g$: se la carrucola fosse senza massa ($M \to 0$) si avrebbe $a \to g$ e $T \to 0$.

Rotolamento senza strisciare

Un cilindro che rotola su un piano inclinato compie contemporaneamente una traslazione del centro di massa e una rotazione attorno ad esso. Si scrivono due equazioni:

• traslazione lungo il piano: $M a = M g\sin\theta - f_a$ (l'attrito statico $f_a$ è diretto in salita);

• rotazione attorno al centro: $f_a R = I \alpha$.

Il rotolamento puro (senza strisciare) lega le due: $a = \alpha R$. L'attrito statico è quello che fa ruotare il corpo e non dissipa energia, perché il punto di contatto è istantaneamente fermo.

Energia rotazionale e momento angolare

Un corpo che ruota con velocità angolare $\omega$ ha energia cinetica anche se il suo centro di massa è fermo. Sommando $\tfrac12 m_i v_i^2$ con $v_i = \omega r_i$:

L'analogia con la traslazione è completa: $m \to I$, $v \to \omega$, $F \to \tau$, $a \to \alpha$. Un corpo che rotola e trasla ha $K = \tfrac12 M v_{cm}^2 + \tfrac12 I \omega^2$.

L'energia meccanica si conserva anche per i corpi rigidi, se agiscono solo forze conservative: per un'asta incernierata che ruota il peso fa lavoro e l'energia potenziale del baricentro diventa energia cinetica rotazionale. Per il peso, l'energia potenziale va calcolata con la quota del baricentro.

Momento angolare

Per la rotazione esiste una grandezza analoga alla quantità di moto: il momento angolare $L = I\omega$ (qui $L$ indica il momento angolare, non il lavoro). La legge $\tau = I\alpha$ equivale a $\tau = \dfrac{\Delta L}{\Delta t}$.

È ciò che fa una pattinatrice: chiudendo le braccia diminuisce $I$ e deve aumentare $\omega$ perché il prodotto resti costante. Le forze con cui muove le braccia sono interne; sul ghiaccio quasi senza attrito il momento delle forze esterne è praticamente nullo.

Attenzione all'energia: nel cambiare $I$ la pattinatrice compie un lavoro con i muscoli, e l'energia cinetica rotazionale non si conserva (anche se $L$ sì). Poiché $K = \dfrac{L^2}{2I}$, a $L$ costante $K$ aumenta se $I$ diminuisce.

In sintesi

• Il momento di una forza è $\tau = F\,b = F\,r\sin\theta$ (in $\mathrm{N\cdot m}$): conta il braccio, cioè la distanza dell'asse dalla retta d'azione.

• Un corpo rigido è in equilibrio se $\sum \vec F = \vec 0$ e $\sum \tau = 0$ rispetto a un asse qualsiasi; il peso è applicato nel baricentro.

• Il momento d'inerzia è $I = \sum m_i r_i^2$ e la legge della rotazione è $\sum \tau = I\alpha$.

• Per il rotolamento senza strisciare $a = \alpha R$; l'attrito statico non dissipa energia.

• L'energia cinetica rotazionale è $K_{rot} = \tfrac12 I\omega^2$.

• Il momento angolare $L = I\omega$ si conserva se il momento delle forze esterne è nullo; l'energia cinetica invece può cambiare.