Satelliti e corpi celesti

La Stazione Spaziale Internazionale (ISS) orbita a un'altezza di $400\ \text{km}$ sopra la superficie terrestre. La velocità orbitale di un satellite in orbita circolare è $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e raggio terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Lo schema mostra l'orbita della stazione (non in scala):

1. a) Esprimi il raggio dell'orbita, $r = R_T + h$, in metri.
2. b) Calcola la velocità orbitale della ISS, in $\text{m/s}$, ed esprimila in $\text{km/s}$.

La Luna, il satellite naturale della Terra, orbita a una distanza media tra i centri di $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la sua velocità orbitale con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, in $\text{m/s}$.
2. b) Confrontala con la velocità orbitale della ISS, circa $7,7\ \text{km/s}$: quale dei due corpi orbita più velocemente e perché?

La velocità orbitale circolare di un satellite è $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Spiega, a partire dall'espressione, se un satellite più lontano dal centro della Terra orbita più velocemente o più lentamente di uno vicino.
2. b) Se il raggio dell'orbita viene moltiplicato per $4$, che cosa accade alla velocità orbitale? Giustificalo con l'espressione.

Un satellite per l'osservazione descrive un'orbita circolare di raggio $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ con una velocità orbitale di $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Scrivi l'espressione del periodo in funzione del raggio e della velocità, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calcola il periodo in secondi ed esprimilo in minuti.

Il telescopio spaziale Hubble descrive un'orbita circolare a $540\ \text{km}$ di altezza. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola la sua velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calcola il suo periodo orbitale, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, ed esprimilo in minuti.

La Stazione Spaziale Internazionale compie un'orbita in $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calcola quante orbite complete compie attorno alla Terra in un giorno ($24\ \text{h}$).
2. b) Spiega quante albe e quanti tramonti osservano gli astronauti ogni giorno.
3. c) Se la stazione orbitasse a una quota maggiore, compirebbe più o meno orbite al giorno? Motiva la risposta con la terza legge di Keplero.

I satelliti per telecomunicazioni Hispasat sono geostazionari.

1. a) Spiega che cosa significa che un satellite è geostazionario.
2. b) Indica le tre condizioni che deve soddisfare la sua orbita: forma, piano che la contiene e periodo.
3. c) Spiega perché un satellite geostazionario non può restare «fermo» sulla verticale dell'Italia (latitudine $40^\circ$), ma solo sopra l'equatore.

Le antenne paraboliche della televisione satellitare vengono installate fisse, puntando sempre verso lo stesso punto del cielo.

1. a) Spiega, usando le caratteristiche dell'orbita geostazionaria, perché non è necessario che l'antenna segua il satellite.
2. b) Cita due applicazioni dei satelliti geostazionari e spiega quale vantaggio comporta in esse il fatto che il satellite sembri immobile.

Un satellite geostazionario deve avere un periodo $T = 24\ \text{h}$. Combinando $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ si ottiene $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Osserva lo schema (non in scala):

1. a) Esprimi il periodo in secondi.
2. b) Calcola $r^3$ e, estraendo la radice cubica, il raggio dell'orbita geostazionaria.
3. c) Calcola l'altezza sulla superficie, $h = r - R_T$, ed esprimila in $\text{km}$.

Un operatore di telecomunicazioni sta per collocare un satellite geostazionario sopra l'equatore. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e periodo di rotazione terrestre $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Partendo da $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ e da $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$, deduci l'espressione $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
2. b) Calcola il raggio dell'orbita e l'altezza sulla superficie.
3. c) Calcola la velocità del satellite nella sua orbita e spiega perché, muovendosi a tale velocità, sembra immobile visto da terra.

Sulla superficie terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, ma la gravità diminuisce con l'altezza secondo $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. La ISS orbita con $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il valore di $g$ nell'orbita della ISS.
2. b) Esprimilo come percentuale del valore in superficie.
3. c) Con questo risultato, spiega perché non è corretto affermare che sulla ISS «non c'è gravità» e che cosa significa che la stazione e il suo equipaggio si trovano in caduta libera continua.

Fobos, la maggiore delle lune di Marte, orbita ad appena $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ dal centro del pianeta. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e massa di Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la sua velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calcola il suo periodo, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, ed esprimilo in ore.
3. c) Marte ruota su sé stesso in $24,6\ \text{h}$, nello stesso verso in cui orbita Fobos. Spiega se Fobos, visto dalla superficie marziana, sorge a est o a ovest.

Uno studente scrive in un compito: «un satellite geostazionario è in quiete, perché non si muove rispetto al suolo terrestre; quindi non ha bisogno di velocità orbitale né ha accelerazione».

1. a) Individua i due errori del ragionamento.
2. b) Calcola la velocità orbitale reale di un satellite geostazionario ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), in $\text{km/s}$.
3. c) Calcola la sua accelerazione centripeta, $a_c = \frac{v^2}{r}$, e indica quale forza la fornisce.

In un'orbita radente (molto bassa) il raggio orbitale è approssimativamente il raggio terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola la velocità orbitale radente con $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, in $\text{km/s}$.
2. b) Verifica che si ottiene praticamente lo stesso valore con $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ e spiega, a partire da $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, perché le due espressioni coincidono.

La Luna orbita attorno alla Terra a una distanza media $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ con una velocità orbitale di $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calcola il suo periodo orbitale con $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, in secondi.
2. b) Esprimilo in giorni e confrontalo con la durata di una lunazione (circa quattro settimane).

I satelliti del sistema europeo di navigazione Galileo hanno un periodo orbitale di $14\ \text{h}$. Usa $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Esprimi il periodo in secondi e calcola il raggio dell'orbita.
2. b) Calcola l'altezza dei satelliti sulla superficie terrestre.
3. c) Calcola la loro velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

Il satellite spagnolo di osservazione della Terra PAZ descrive un'orbita circolare a $514\ \text{km}$ di altezza. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola la sua velocità orbitale.
2. b) Calcola il suo periodo ed esprimilo in minuti.
3. c) Calcola quanti giri completi attorno alla Terra compie ogni giorno.

Confronta la velocità orbitale della ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) con quella della Luna ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) attorno alla Terra.

1. a) Dimostra, a partire da $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, che il rapporto tra le velocità è $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calcola tale rapporto con i dati del testo.
3. c) Spiega, con l'aiuto della legge di gravitazione universale, perché i corpi più lontani orbitano più lentamente.

Un satellite artificiale descrive un'orbita circolare di raggio $r$ attorno alla Terra, di massa $M_T$.

1. a) Giustifica che l'unica forza che agisce sul satellite è quella gravitazionale e che svolge il ruolo di forza centripeta; scrivi l'equazione $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Deduci da essa la velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, e il periodo, $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$. Commenta perché la massa $m$ del satellite non compare nei risultati.
3. c) Applica le espressioni a un satellite meteorologico in orbita polare a $850\ \text{km}$ di altezza e calcola la sua velocità e il suo periodo. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

Nelle missioni Apollo, il modulo di comando restava in un'orbita lunare circolare a $110\ \text{km}$ di altezza mentre il modulo lunare scendeva sulla superficie. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa della Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ e raggio lunare $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Osserva lo schema (non in scala):

1. a) Calcola il raggio dell'orbita del modulo di comando.
2. b) Calcola la sua velocità orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, ed esprimila in $\text{km/s}$.
3. c) Calcola il suo periodo, in ore, e stima quanti giri completi attorno alla Luna compiva ogni giorno l'astronauta rimasto a bordo.

Per future missioni con equipaggio su Marte si studia di collocare satelliti per comunicazioni «areostazionari», cioè stazionari rispetto al suolo marziano. Dati: Marte ruota in $T = 24,6\ \text{h}$; massa di Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; raggio di Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Spiega quale periodo orbitale devono avere questi satelliti.
2. b) Calcola il raggio dell'orbita areostazionaria con $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calcola la sua altezza sulla superficie di Marte e confrontala con i $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ dell'orbita geostazionaria terrestre, spiegando a che cosa è dovuta la differenza.

Supponi che la Terra avesse la metà della sua massa attuale, ma conservasse il suo raggio e il suo periodo di rotazione di $24\ \text{h}$. Dati: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; il raggio geostazionario attuale è $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Spiega, a partire da $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, se il raggio dell'orbita geostazionaria sarebbe maggiore, minore o uguale a quello attuale.
2. b) Calcola il nuovo raggio geostazionario tenendo conto che, essendo $r^3$ proporzionale a $M_T$, il nuovo raggio è $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) Il periodo sarebbe ancora di $24\ \text{h}$? Cambierebbe la velocità orbitale del satellite? Giustifica entrambe le risposte.

La terza legge di Keplero si applica anche ai satelliti artificiali. Dati: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) e Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ giorni). Lo schema confronta le due orbite (non in scala):

1. a) Esprimi entrambi i periodi in secondi e calcola il rapporto $\frac{T^2}{r^3}$ per la ISS e per la Luna, in unità del Sistema Internazionale.
2. b) Verifica che i due rapporti coincidono (salvo arrotondamenti) e spiega perché deve essere così.
3. c) Utilizza questo valore comune per prevedere il periodo di un satellite che orbita con $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ ed esprimilo in ore.

Le costellazioni per internet via satellite, come Starlink, impiegano migliaia di satelliti a $550\ \text{km}$ di altezza, mentre tre satelliti geostazionari bastano a coprire quasi tutto il pianeta. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Lo schema confronta le due orbite (non in scala):

1. a) Calcola la velocità e il periodo orbitale di un satellite Starlink.
2. b) Calcola il rapporto tra il suo periodo e quello di un satellite geostazionario ($24\ \text{h}$) e spiega, con la terza legge di Keplero, perché i satelliti bassi «passano» così velocemente sopra un osservatore.
3. c) Spiega perché un'orbita bassa richiede una costellazione di migliaia di satelliti per garantire una copertura continua, mentre in orbita geostazionaria ne bastano tre.

Sfida del tema. Possiamo verificare la meccanica orbitale da casa usando satelliti reali? Il tuo compito è redigere una relazione scientifica che convalidi la 3ª legge di Keplero a partire dalla tua stima dell'accelerazione di gravità.

1. Misura casalinga: Costruisci un pendolo semplice con un filo e un dado. Misura il periodo $T$ per 4 lunghezze diverse ($L \pm 0,002\text{ m}$) cronometrando 10 oscillazioni (incertezza $\pm 0,2\text{ s}$). Tabula i dati, rappresenta $T^2$ in funzione di $L$ e ricava $g$ con la sua incertezza per stimare la massa terrestre: $M_T = g R_T^2 / G$ (con $R_T \approx 6,37 \cdot 10^6\text{ m}$).

2. Ricerca di satelliti: Consulta sul sito dell'ESA o della NASA l'altitudine e il periodo orbitale di tre satelliti in orbite circolari: la ISS, un satellite Galileo e il Meteosat. Somma $R_T$ all'altitudine per calcolare i loro raggi orbitali $r$.

3. Elaborazione dei dati e grafico: Costruisci una tabella con $r^3$ e $T^2$ per i satelliti. Rappresenta il grafico $T^2$ in funzione di $r^3$ e confronta il coefficiente angolare ottenuto con il valore teorico $\frac{4\pi^2}{G M_T}$ calcolato con il tuo $g$ sperimentale.

4. Relazione finale: Scrivi una breve relazione spiegando le discrepanze riscontrate e giustificando perché un satellite geostazionario deve trovarsi a una specifica altitudine.

Verrà valutato:

• Rigore nella raccolta delle misure casalinghe e nel trattamento sperimentale delle incertezze.

• Accuratezza nei dati satellitari e nella rappresentazione grafica della legge di Keplero.

• Coerenza fisica nella discussione critica dei risultati e delle fonti di errore.