Moto parabolico

Due moti indipendenti

Lascia cadere una pallina da un tavolo e, nello stesso istante, lanciane un'altra in orizzontale. Toccano il suolo insieme. Il moto orizzontale non cambia il tempo di caduta.

Questo è il punto di partenza: il moto di un proiettile (un corpo lanciato che si muove solo sotto l'azione del peso, trascurando la resistenza dell'aria) è la composizione di due moti indipendenti:

• lungo l'asse $x$ non agisce nessuna forza, quindi il moto è rettilineo uniforme;

• lungo l'asse $y$ agisce solo il peso, quindi il moto è uniformemente accelerato con accelerazione $-g$ (asse $y$ verso l'alto).

Il secondo principio vale separatamente per ogni componente: $a_x = 0$ e $a_y = -g$.

Nel simulatore tieni l'angolo a $0°$ e cambia $v_0$: il tempo di volo resta lo stesso, cambia solo la distanza raggiunta.

Lancio orizzontale

Un corpo parte da quota $h$ con velocità orizzontale $v_0$. Scegli l'origine nel punto di lancio, l'asse $x$ orizzontale e l'asse $y$ verso l'alto. Le leggi orarie sono:

Le componenti della velocità sono $v_x = v_0$ (costante) e $v_y = -g\,t$.

Il corpo tocca il suolo quando $y = -h$, cioè $\tfrac12 g t^2 = h$:

Il tempo di volo non dipende da $v_0$: dipende solo dall'altezza.

Lancio obliquo

Se il lancio parte da terra con velocità $v_0$ inclinata di un angolo $\theta$ sopra l'orizzontale, bisogna prima scomporre la velocità iniziale:

Poi si applicano i due moti indipendenti, con $g$ che agisce solo su $y$:

Tempo di volo, altezza massima, gittata

• Altezza massima. Nel punto più alto $v_y = 0$. Questo avviene per $t_s = \dfrac{v_0\sin\theta}{g}$ e si ha $h_{\max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}$.

• Tempo di volo (partenza e arrivo alla stessa quota). Per simmetria il tempo di discesa è uguale a quello di salita: $t_{\text{volo}} = 2\,t_s = \dfrac{2 v_0\sin\theta}{g}$.

• Gittata (distanza orizzontale a fine volo): $x_{\max} = v_{0x}\,t_{\text{volo}}$.

Partenza da una quota diversa

Spesso il corpo non parte e non arriva alla stessa quota: un sasso da una scogliera, una pallavolo colpita a $2\ \mathrm{m}$ da terra. Il metodo è lo stesso, ma non si può più usare la simmetria. Scrivi $y(t)$ con la quota iniziale $h_0$ (origine a terra):

Il tempo di volo è la soluzione positiva di $y(t) = 0$, un'equazione di secondo grado in $t$. Poi la gittata è $x = v_{0x}\,t$.

Per la velocità all'impatto calcola $v_x$ e $v_y$ al tempo trovato e poi $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Se la partenza è a quota $h_0$ e l'arrivo a terra, puoi anche usare la conservazione dell'energia: $v^2 = v_0^2 + 2 g h_0$. Il modulo non dipende dall'angolo di lancio.

La traiettoria e gli angoli di tiro

Finora abbiamo usato il tempo. Se lo eliminiamo dalle due leggi orarie otteniamo l'equazione della traiettoria, cioè $y$ in funzione di $x$.

Da $x = v_0\cos\theta\;t$ ricaviamo $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$ e lo sostituiamo in $y(t)$ (lancio da terra):

È l'equazione $y = ax^2 + bx$ di una parabola con la concavità verso il basso: il nome «moto parabolico» viene da qui.

Gittata e angoli complementari

La gittata si trova ponendo $y = 0$ con $x \ne 0$:

Abbiamo usato la formula di duplicazione $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$.

Da questa formula seguono due fatti:

• Angoli complementari. Poiché $\sin(180° - 2\theta) = \sin 2\theta$, gli angoli $\theta$ e $90° - \theta$ hanno la stessa gittata. Per esempio $30°$ e $60°$, oppure $20°$ e $70°$.

• Gittata massima. $\sin 2\theta$ vale al massimo $1$, per $2\theta = 90°$, cioè $\theta = 45°$. Allora $x_{\max} = v_0^2/g$.

Nel simulatore prova $30°$ e $60°$, poi $20°$ e $70°$: i punti di arrivo coincidono. Il massimo si ha a $45°$.

Ora possiamo chiudere il gancio iniziale: angoli complementari danno la stessa gittata perché $\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)$. Tra le due traiettorie cambiano altezza massima e tempo di volo, non la distanza raggiunta.

In sintesi