Lavoro e bilanci energetici nel campo gravitazionale

Una sonda si allontana dalla Terra in direzione radiale.

1. a) Disegna sul quaderno la forza gravitazionale sulla sonda e il suo spostamento, e spiega quale segno ha il lavoro compiuto dal campo gravitazionale durante l'allontanamento.
2. b) Scrivi la relazione tra quel lavoro e la variazione di energia potenziale, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e spiegane il significato.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un frammento di detriti spaziali scende lentamente da un'orbita di raggio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a un'altra di raggio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Spiega, senza fare calcoli, quale segno ha il lavoro compiuto dal campo gravitazionale durante la discesa.
2. b) Indica se la sua energia potenziale aumenta o diminuisce e giustificalo con l'espressione $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Una sonda di $m = 500\ \text{kg}$ cade da $r_1 = 4\cdot R_T$ fino a $r_2 = 2\cdot R_T$, misurati dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola la variazione della sua energia potenziale, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dal campo gravitazionale, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e interpreta il suo segno.

Un satellite descrive un'orbita circolare stabile attorno alla Terra. Osserva lo schema:

1. a) Tenendo conto che la forza gravitazionale è perpendicolare alla velocità in ogni punto dell'orbita, quanto vale il lavoro compiuto dal campo gravitazionale in un giro completo?
2. b) Cambiano l'energia cinetica, l'energia potenziale e l'energia meccanica del satellite lungo quell'orbita? Giustificalo.

Un carico utile di $m = 1000\ \text{kg}$ passa dalla superficie terrestre ($r_1 = R_T$) a una posizione a $r_2 = 2\cdot R_T$ dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola l'energia potenziale del sistema in ciascuna posizione, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
2. b) Calcola la variazione di energia potenziale, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, e spiegane il segno.

L'energia che occorre fornire a una massa $m$ ferma sulla superficie terrestre per portarla in un'orbita circolare di raggio $r$ è $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Si vuole collocare un piccolo satellite di $m = 200\ \text{kg}$ in un'orbita a $500\ \text{km}$ di altezza ($r = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola quell'energia ed esprimila in notazione scientifica.
2. b) Indica in quali due «voci» energetiche viene impiegata quell'energia.

Per collocare un satellite in una certa orbita occorre aumentare la sua energia potenziale di $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ e, inoltre, fornirgli un'energia cinetica orbitale di $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia totale che deve fornire il lanciatore.
2. b) Spiega perché mettere un satellite in orbita non consiste soltanto nel «sollevarlo» fino a quell'altezza.

Un satellite meteorologico di $m = 1500\ \text{kg}$ deve essere collocato in orbita geostazionaria, di raggio $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, partendo da fermo sulla superficie terrestre. L'energia necessaria è $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola quell'energia.
2. b) Calcola quale frazione di quell'energia corrisponde a «salire» (variazione di $E_p$) e quale a «orbitare» (energia cinetica orbitale), e commenta il risultato.

Un satellite di una costellazione per internet, di $m = 300\ \text{kg}$, deve salire dalla sua orbita di parcheggio, a $500\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$), alla sua orbita operativa, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Il lavoro necessario per passare da un'orbita circolare a un'altra è $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro che devono fornire i propulsori del satellite.
2. b) Spiega il segno positivo del risultato: da dove viene quell'energia e dove va a finire?

I propulsori di un satellite di $m = 500\ \text{kg}$ lo portano da un'orbita circolare a $500\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'altra a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro fornito dai propulsori, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcola la velocità orbitale in ciascuna orbita, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, e verifica che diminuisce.
3. c) Spiega l'apparente paradosso: i motori forniscono energia al satellite e, tuttavia, questo finisce per muoversi più lentamente. Basa la spiegazione sui bilanci di $E_c$, $E_p$ e $E_m$.

Alla fine della loro vita utile, i satelliti geostazionari vengono innalzati di circa $300\ \text{km}$ verso la cosiddetta «orbita cimitero» per non interferire con quelli operativi. Considera un satellite di $m = 2000\ \text{kg}$ che passa dall'orbita geostazionaria ($r_1 = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$) a quella cimitero ($r_2 = 4,25\cdot10^{7}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro necessario per quest'ultima spinta, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcola l'energia che è costato a suo tempo portarlo in orbita geostazionaria dalla superficie, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r_1}\right)$, con $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calcola l'energia che costerebbe «abbassarlo» dall'orbita geostazionaria a un'orbita di $300\ \text{km}$ di altezza ($r_3 = 6,67\cdot10^{6}\ \text{m}$) perché rientri, e spiega, confrontando i tre risultati, perché si sceglie l'orbita cimitero.

Un meteorite di $m = 2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ cade verso la Terra da molto lontano, partendo praticamente da fermo. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Applica la conservazione dell'energia per calcolare l'energia cinetica con cui arriverebbe alla superficie se non ci fosse l'atmosfera.
2. b) Calcola la velocità corrispondente.
3. c) Un'automobile di $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33,3\ \text{m/s}$) ha un'energia cinetica di circa $6,7\cdot10^{5}\ \text{J}$: calcola quante volte è maggiore l'energia del meteorite.

Un satellite di $m = 300\ \text{kg}$ decade per attrito con l'alta atmosfera da un'orbita circolare a $800\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'altra a $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro compiuto dal campo gravitazionale nella discesa, $W_{campo} = G\cdot M\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calcola la variazione di energia meccanica del satellite tra le due orbite circolari, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ con $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Spiega perché i due risultati non coincidono e che cosa è successo alla differenza.

Un satellite di $m = 500\ \text{kg}$ perde quota per l'attrito con l'alta atmosfera e passa da un'orbita circolare a $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6,72\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'altra a $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6,62\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la variazione di energia cinetica tra le due orbite, $\Delta E_c$, con $E_c = \frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Calcola la variazione di energia potenziale, $\Delta E_p$.
3. c) Calcola la variazione di energia meccanica, $\Delta E_m$, e spiega che cosa è successo a quell'energia.
4. d) Calcola la velocità orbitale in ciascuna orbita e spiega il «paradosso del satellite»: frenando per attrito, il satellite finisce per muoversi più velocemente.

Una navicella con equipaggio di $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte da un'orbita circolare bassa terrestre ($r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) verso la Luna, la cui distanza media dal centro della Terra è $r_2 = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica della navicella nell'orbita bassa, $E_{m,1} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r_1}$.
2. b) Calcola l'energia meccanica minima che avrebbe arrivando alla distanza lunare se vi giungesse con velocità nulla, $E_{m,2} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r_2}$.
3. c) Calcola l'energia minima che deve fornire l'impulso di uscita dall'orbita, $\Delta E = E_{m,2} - E_{m,1}$, e confrontala con l'energia necessaria per sfuggire alla Terra da quella stessa orbita.
4. d) Spiega perché la missione reale richiede energia aggiuntiva: la navicella non può restare in quel punto con velocità nulla, ma deve inserirsi in orbita lunare o tornare indietro.