Molla e pendolo semplice
Nel Duomo di Pisa un lampadario oscilla avanti e indietro con una regolarità impressionante: secondo la tradizione, osservandolo, Galileo si accorse che il tempo di ogni oscillazione sembrava sempre lo stesso. Perché un moto di questo tipo è così regolare? E da che cosa dipende il suo periodo?
Il moto armonico
Prendi una massa attaccata a una molla, su un piano orizzontale senza attrito. Se la sposti dall'equilibrio e la lasci, la molla la richiama verso la posizione di equilibrio con la forza elastica
$$F = -kx$$Il segno meno dice che la forza è sempre opposta allo spostamento $x$: è una forza di richiamo. Per il secondo principio, $ma = -kx$, quindi $a = -\dfrac{k}{m}\,x$: l'accelerazione è proporzionale allo spostamento e di verso opposto. Un moto con questa proprietà si chiama moto armonico.
La soluzione è una funzione sinusoidale. Se parti da fermo dalla posizione $x = A$, la legge oraria è
$$x(t) = A\cos(\omega t)$$dove $A$ è l'ampiezza (spostamento massimo), $\omega$ è la pulsazione (in rad/s). Il periodo $T$ (durata di un'oscillazione completa) e la frequenza $f$ (oscillazioni al secondo, in hertz) sono legati da
$$T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$Poiché $\cos$ varia tra $-1$ e $1$, la velocità e l'accelerazione massime sono
$$v_{max} = \omega A, \qquad a_{max} = \omega^2 A$$La velocità è massima nel centro (equilibrio), dove l'accelerazione è nulla; agli estremi la velocità è nulla e l'accelerazione è massima.
Un oscillatore armonico ha legge oraria $x(t) = 0,10\cos(4\pi t)$ con $x$ in metri e $t$ in secondi. a) Quanto valgono ampiezza e pulsazione? b) Calcola periodo e…
Un oscillatore armonico ha legge oraria $x(t) = 0,10\cos(4\pi t)$ con $x$ in metri e $t$ in secondi.
- a) Quanto valgono ampiezza e pulsazione?
- b) Calcola periodo e frequenza.
- c) Calcola la posizione a $t = 0,25\ \text{s}$.
La massa attaccata a una molla
Confrontando $a = -\dfrac{k}{m}x$ con $a = -\omega^2 x$ si ottiene
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$Una molla più rigida (k grande) oscilla più in fretta; una massa maggiore oscilla più lentamente. Nota che il periodo non dipende dall'ampiezza: è questa regolarità che rende utili gli oscillatori come orologi.
Molla verticale
Se la massa è appesa a una molla verticale, all'equilibrio la forza elastica bilancia il peso: $k\,\Delta\ell = mg$, dove $\Delta\ell$ è l'allungamento. Quindi
$$\frac{k}{m} = \frac{g}{\Delta\ell}$$Misurando solo l'allungamento statico ottieni il periodo: $T = 2\pi\sqrt{\Delta\ell/g}$. Le oscillazioni avvengono attorno alla nuova posizione di equilibrio: il peso sposta solo la posizione di equilibrio e non compare nella formula $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; $g$ entra solo attraverso $\Delta\ell$.
Una massa di $0,50\ \text{kg}$ è attaccata a una molla di costante elastica $k = 200\ \text{N/m}$ e oscilla su un piano orizzontale senza attrito. a) Calcola la…
Una massa di $0,50\ \text{kg}$ è attaccata a una molla di costante elastica $k = 200\ \text{N/m}$ e oscilla su un piano orizzontale senza attrito.
- a) Calcola la pulsazione $\omega$.
- b) Calcola il periodo $T = 2\pi\sqrt{m/k}$.
- c) Calcola la frequenza.
Una massa appesa a una molla verticale la allunga di $8,0\ \text{cm}$ all'equilibrio. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Calcola il rapporto $k/m$. b) Calcola il periodo…
Una massa appesa a una molla verticale la allunga di $8,0\ \text{cm}$ all'equilibrio. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il rapporto $k/m$.
- b) Calcola il periodo delle piccole oscillazioni verticali.
- c) Il periodo cambierebbe se l'esperimento fosse fatto sulla Luna? Giustifica.
Una massa di $2,0\ \text{kg}$ è attaccata a una molla orizzontale di $k = 80\ \text{N/m}$, spostata di $0,15\ \text{m}$ dall'equilibrio e rilasciata da ferma. a) Scrivi…
Una massa di $2,0\ \text{kg}$ è attaccata a una molla orizzontale di $k = 80\ \text{N/m}$, spostata di $0,15\ \text{m}$ dall'equilibrio e rilasciata da ferma.
- a) Scrivi la legge oraria $x(t)$.
- b) Calcola la velocità massima.
- c) Calcola l'accelerazione massima e l'energia totale.
Energia nel moto armonico
Durante l'oscillazione non c'è attrito, quindi si conserva l'energia meccanica:
$$E = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 kA^2$$Al centro è tutta cinetica, agli estremi tutta potenziale elastica; in mezzo si trasforma continuamente dall'una all'altra. Dalla conservazione ricavi la velocità in funzione della posizione:
$$v = \pm\sqrt{\frac{k}{m}\,(A^2 - x^2)} = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$$Un oscillatore massa-molla ha $m = 0,40\ \text{kg}$, $k = 100\ \text{N/m}$ e ampiezza $A = 0,060\ \text{m}$. a) Ricava, con la conservazione dell'energia, la velocità in…
Un oscillatore massa-molla ha $m = 0,40\ \text{kg}$, $k = 100\ \text{N/m}$ e ampiezza $A = 0,060\ \text{m}$.
- a) Ricava, con la conservazione dell'energia, la velocità in funzione di $x$.
- b) Calcola la velocità quando $x = A/2$.
- c) Determina la posizione in cui energia cinetica ed energia potenziale elastica sono uguali.
Il pendolo semplice
Un pendolo semplice è una massa puntiforme appesa a un filo inestensibile di lunghezza $L$. Spostato di un angolo $\theta$, la componente del peso lungo la tangente all'arco vale $-mg\sin\theta$ ed è la forza di richiamo.
Per angoli piccoli (indicativamente $\theta \lesssim 10^\circ$, con $\theta$ in radianti) vale $\sin\theta \approx \theta = s/L$, dove $s$ è lo spostamento lungo l'arco. Allora
$$F \approx -\frac{mg}{L}\,s$$È una forza di richiamo lineare, come $F = -kx$, con $k$ sostituita da $mg/L$. Quindi
$$\omega = \sqrt{\frac{mg/L}{m}} = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$La massa si semplifica: il periodo non dipende dalla massa (né, per piccole ampiezze, dall'ampiezza), ma solo da $L$ e da $g$. Questo è ciò che osservò Galileo.
Un pendolo semplice lungo $1,00\ \text{m}$ oscilla con piccole ampiezze in un'aula a Pisa. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Calcola il periodo con la formula…
Un pendolo semplice lungo $1,00\ \text{m}$ oscilla con piccole ampiezze in un'aula a Pisa. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il periodo con la formula $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.
- b) Calcola la frequenza.
- c) Il periodo dipende dalla massa appesa? Giustifica.
Il lampadario del Duomo di Pisa, schematizzato come pendolo semplice, compie $20$ oscillazioni complete in $54\ \text{s}$ con piccole ampiezze. a) Calcola il periodo. b)…
Il lampadario del Duomo di Pisa, schematizzato come pendolo semplice, compie $20$ oscillazioni complete in $54\ \text{s}$ con piccole ampiezze.
- a) Calcola il periodo.
- b) Calcola la lunghezza del pendolo con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- c) Come cambierebbe il periodo sulla Luna, dove $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$?
Un pendolo semplice di lunghezza $L$ viene spostato di un angolo piccolo $\theta_0$ e rilasciato. a) Mostra che per $\theta$ piccolo la forza di richiamo è…
Un pendolo semplice di lunghezza $L$ viene spostato di un angolo piccolo $\theta_0$ e rilasciato.
- a) Mostra che per $\theta$ piccolo la forza di richiamo è approssimabile come $F \approx -\dfrac{mg}{L}\,s$, con $s$ lo spostamento lungo l'arco, e ricava $T$.
- b) Un orologio a pendolo con $L = 0,994\ \text{m}$ (a $g = 9,80\ \text{m/s}^2$) viene portato in un luogo con $g = 9,78\ \text{m/s}^2$. Di quanti secondi al giorno sbaglia circa e in che senso?
- c) Di quanto va variata $L$ per correggere l'errore?
Molle in parallelo e in serie
Due molle uguali possono essere collegate alla stessa massa in due modi. In parallelo entrambe si deformano della stessa quantità e le forze si sommano: la costante equivalente è $k_{eq} = 2k$. In serie la forza è la stessa e gli allungamenti si sommano: ciascuna molla si allunga della metà dell'allungamento totale, quindi la rigidezza complessiva diminuisce: $k_{eq} = k/2$.
Basta poi usare $T = 2\pi\sqrt{m/k_{eq}}$:
$$\frac{T_{serie}}{T_{parallelo}} = \sqrt{\frac{2k}{k/2}} = \sqrt{4} = 2$$Due molle identiche di costante $k$ sono collegate a una massa $m$ in due modi: in parallelo (entrambe agganciate alla massa) e in serie (una dopo l'altra). Si sa che la…
Due molle identiche di costante $k$ sono collegate a una massa $m$ in due modi: in parallelo (entrambe agganciate alla massa) e in serie (una dopo l'altra). Si sa che la costante equivalente è $2k$ in parallelo e $k/2$ in serie.
- a) Calcola il rapporto fra i periodi $T_{serie}/T_{parallelo}$.
- b) Se $m = 1,0\ \text{kg}$ e $k = 50\ \text{N/m}$, calcola i due periodi.
- c) Giustifica qualitativamente perché il sistema in serie è più "molle".
Torna all'inizio: il lampadario di Pisa è regolare perché per piccole ampiezze il pendolo è un oscillatore armonico, il cui periodo dipende solo da $L$ e da $g$, non dall'ampiezza né dalla massa.
In sintesi
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Il moto armonico ha forza di richiamo $F = -kx$ e legge oraria $x = A\cos(\omega t)$; $T = 2\pi/\omega$, $f = 1/T$.
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$v_{max} = \omega A$, $a_{max} = \omega^2 A$; l'energia $E = \tfrac12 kA^2$ si conserva.
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Massa-molla: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$, indipendente da $g$ e dall'ampiezza.
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Pendolo semplice (piccole oscillazioni): $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, indipendente dalla massa.
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Molle uguali: in parallelo $k_{eq} = 2k$, in serie $k_{eq} = k/2$.