Centro di massa e urti bidimensionali

Il centro di massa

Un sistema di corpi, come due pattinatori, un'asta con un peso o i frammenti di un razzo, non è un punto. Spesso però serve un unico punto che lo rappresenti. Questo punto è il centro di massa (CM): la media delle posizioni dei corpi, pesata con le masse. Un corpo più massiccio "pesa" di più nella media e attira il CM verso di sé.

Il CM non coincide necessariamente con la posizione di uno dei corpi. Cade sempre all'interno della regione delimitata dai corpi: nel caso di due masse, sul segmento che le unisce, più vicino alla massa maggiore.

Per un corpo esteso omogeneo e simmetrico (un'asta, un disco) il CM coincide con il centro geometrico. Se ci sono più parti, si sostituisce ciascuna parte con un punto di pari massa posto nel suo CM, e poi si applica la formula.

Il moto del centro di massa

Sommiamo le quantità di moto dei singoli corpi del sistema. Il risultato è la quantità di moto totale, ed è uguale a quella di un solo punto di massa $M$ che si muove con la velocità del CM:

Le forze interne (quelle che i corpi si scambiano tra loro) sono a due a due uguali e opposte per il terzo principio, quindi nella somma si annullano. Cambia la quantità di moto totale solo una forza esterna. Da qui il risultato fondamentale:

Questo è il motivo per cui un'esplosione o una spinta interna non spostano il CM. Il razzo di fuoco d'artificio risponde al gancio: dopo lo scoppio, l'unica forza esterna è ancora il peso, quindi il CM dei frammenti continua a descrivere la stessa parabola del razzo intero, finché i frammenti non toccano terra o altro.

Le esplosioni e le spinte tra corpi inizialmente fermi (il rinculo di un cannone, due pattinatori che si separano) seguono la stessa idea: $\vec p_{tot}$ resta nulla, quindi le quantità di moto dei pezzi sono vettori che sommano a zero. Con tre frammenti, la terza quantità di moto è opposta alla somma delle altre due (figura).

Urti: conservare vettori

Durante un urto le forze interne sono enormi e brevissime, quindi quelle esterne (attrito, peso) sono trascurabili: $\vec p_{tot}$ si conserva sempre. Ciò che distingue i tipi di urto è l'energia cinetica $K$:

• urto elastico: si conservano $\vec p_{tot}$ e $K$;

• urto anelastico: si conserva $\vec p_{tot}$, ma $K$ diminuisce;

• urto completamente anelastico: i corpi restano uniti dopo l'urto; $K$ diminuisce al massimo (compatibilmente con la conservazione di $\vec p_{tot}$).

Un urto si dice bidimensionale quando i corpi non si urtano frontalmente: dopo l'urto le velocità hanno direzioni diverse. La conservazione di $\vec p_{tot}$ è un'equazione vettoriale, quindi vale per ciascuna componente: una equazione lungo $x$ e una lungo $y$.

L'apice indica le grandezze dopo l'urto. Prova con il widget a sommare due vettori di quantità di moto perpendicolari (uguali, per semplicità): il totale è la diagonale del parallelogramma. Quanto vale il suo modulo rispetto a quello dei due vettori?

Urto elastico tra masse uguali, una ferma

Se due corpi di ugual massa si urtano elasticamente e uno è fermo, le equazioni danno un risultato elegante. La conservazione di $\vec p$ dice $\vec v = \vec v'_1 + \vec v'_2$ (le masse si semplificano). La conservazione di $K$ dice $v^2 = v'^2_1 + v'^2_2$. Poiché $\vec v$ è la somma di $\vec v'_1$ e $\vec v'_2$, i tre vettori formano un triangolo. La conservazione di $K$ dà $v^2 = v'^2_1 + v'^2_2$: il quadrato del lato $v$ è la somma dei quadrati degli altri due. Per il teorema di Pitagora (nel suo inverso) il triangolo è rettangolo: dopo l'urto i due corpi si separano ad angolo retto (se non è frontale). Con il triangolo rettangolo formato da $\vec v$, $\vec v'_1$ e $\vec v'_2$ si ricavano i moduli: se il primo devia di un angolo $\theta$, $v'_1 = v\cos\theta$ e $v'_2 = v\sin\theta$.

Urto completamente anelastico

Se i corpi restano uniti, dopo l'urto hanno la stessa velocità $\vec v'$ e si ha $m_1\vec v_1 + m_2 \vec v_2 = (m_1 + m_2)\vec v'$. Questa è anche la velocità del CM, che non cambia mai nell'urto (nessuna forza esterna). L'energia cinetica persa è $K_{persa} = K_i - K_f$.

In sintesi