Trasformazioni di Galilei e forze apparenti
Sei su un Frecciarossa fermo in stazione a Bologna e lasci cadere una penna: cade ai tuoi piedi. Se la lasci cadere a 300 km/h, cade ancora ai tuoi piedi, e non verso la coda del treno. Ma quando l'autobus frena di colpo, ti senti «spinto» in avanti. Perché nel primo caso non c'è alcuna differenza e nel secondo sì? In questa pagina troverai la risposta.
Cambiare sistema di riferimento
Un sistema di riferimento è inerziale se in esso vale il primo principio della dinamica. Siano $S$ (la stazione, fermo rispetto al suolo) e $S'$ (il treno) che si muove con velocità costante $v$ lungo l'asse $x$. Le origini coincidono a $t = 0$.
Un evento ha coordinata $x$ in $S$ e $x'$ in $S'$. Dopo un tempo $t$ l'origine di $S'$ si è spostata di $vt$, quindi $x = x' + vt$. Il tempo, nella fisica newtoniana, scorre allo stesso modo per tutti.
Derivando nel tempo si ottiene la legge di composizione delle velocità: $u' = u - v$, cioè $u = u' + v$. Si sommano le velocità, come vettori.
Se la velocità è in due direzioni, si compongono le componenti. Una barca attraversa un fiume largo $60\ \text{m}$ (corrente $1{,}5\ \text{m/s}$) puntando perpendicolarmente alla riva a $4{,}0\ \text{m/s}$ rispetto all'acqua. Rispetto alla riva le componenti sono $4{,}0$ (attraverso) e $1{,}5$ (lungo la corrente), perpendicolari: $v = \sqrt{4{,}0^2 + 1{,}5^2} \approx 4{,}3\ \text{m/s}$. Il tempo di attraversamento dipende solo dalla componente trasversale: $t = 60/4{,}0 = 15\ \text{s}$. In questo tempo la corrente trascina la barca di $1{,}5 \cdot 15 = 22{,}5\ \text{m}$ a valle.
Un treno regionale viaggia a $20\ \text{m/s}$ rispetto ai binari. Un passeggero cammina nel corridoio a $1,5\ \text{m/s}$ nel verso di marcia, rispetto al treno. a)…
Un treno regionale viaggia a $20\ \text{m/s}$ rispetto ai binari. Un passeggero cammina nel corridoio a $1,5\ \text{m/s}$ nel verso di marcia, rispetto al treno.
- a) Calcola la velocità del passeggero rispetto al suolo.
- b) Calcola la velocità se cammina in verso opposto.
Nel sistema $S$ (stazione) un evento avviene in $x = 100\ \text{m}$ al tempo $t = 5,0\ \text{s}$. Il sistema $S'$ (treno) si muove con $v = 10\ \text{m/s}$ lungo $x$,…
Nel sistema $S$ (stazione) un evento avviene in $x = 100\ \text{m}$ al tempo $t = 5,0\ \text{s}$. Il sistema $S'$ (treno) si muove con $v = 10\ \text{m/s}$ lungo $x$, con origini coincidenti a $t = 0$.
- a) Scrivi le trasformazioni di Galilei.
- b) Calcola $x'$ e $t'$ dell'evento.
Un fiume a Firenze scorre a $1,5\ \text{m/s}$. Una barca naviga con velocità $4,0\ \text{m/s}$ rispetto all'acqua, puntando perpendicolarmente alla corrente. Il fiume è…
Un fiume a Firenze scorre a $1,5\ \text{m/s}$. Una barca naviga con velocità $4,0\ \text{m/s}$ rispetto all'acqua, puntando perpendicolarmente alla corrente. Il fiume è largo $60\ \text{m}$.
- a) Calcola la velocità della barca rispetto alla riva.
- b) Calcola il tempo di attraversamento.
- c) Calcola di quanto la barca viene trascinata a valle.
Relatività galileiana
Derivando ancora $u = u' + v$ con $v$ costante, si ottiene $a = a'$: l'accelerazione è la stessa in $S$ e in $S'$. Anche la massa e le forze di interazione (peso, elastica, attrito…) non dipendono dal sistema inerziale. Anche la forza è la stessa ($\vec F' = \vec F$), perché dipende solo dalle posizioni relative dei corpi. Allora, se in $S$ vale $\vec F = m\vec a$, in $S'$ vale $\vec F' = m\vec a'$: la stessa forma.
È l'esperienza della penna sul treno: dentro un vagone che viaggia a velocità costante, una palla lanciata in alto ricade nella tua mano e lo stesso vale in stazione. Galileo lo descrisse con l'esempio della nave, nel Dialogo sopra i due massimi sistemi.
Dimostra che le leggi della meccanica newtoniana sono invarianti per trasformazioni di Galilei. a) Ricava la legge di composizione delle velocità e mostra che…
Dimostra che le leggi della meccanica newtoniana sono invarianti per trasformazioni di Galilei.
- a) Ricava la legge di composizione delle velocità e mostra che l'accelerazione è la stessa in $S$ e $S'$.
- b) Concludi che $F = ma$ ha la stessa forma nei due sistemi.
- c) Spiega perché nessun esperimento meccanico permette di distinguere un sistema inerziale in quiete da uno in moto rettilineo uniforme.
Due treni viaggiano su binari paralleli: l'Italo a $70\ \text{m/s}$ verso nord e un regionale a $30\ \text{m/s}$ verso sud rispetto al suolo. Un oggetto cade senza…
Due treni viaggiano su binari paralleli: l'Italo a $70\ \text{m/s}$ verso nord e un regionale a $30\ \text{m/s}$ verso sud rispetto al suolo. Un oggetto cade senza spinta dal soffitto del regionale, alto $2,5\ \text{m}$ (usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$, treno a velocità costante).
- a) Calcola la velocità relativa dell'Italo rispetto al regionale.
- b) Descrivi la traiettoria dell'oggetto per un osservatore sul regionale e per uno a terra.
- c) Calcola la distanza orizzontale, rispetto al suolo, percorsa dall'oggetto durante la caduta.
Sistemi non inerziali e forze apparenti
Un sistema che accelera rispetto a uno inerziale non è inerziale: in esso il primo principio non vale. Un oggetto libero sembra accelerare senza che nessuna forza lo spinga. Per salvare la forma $\vec F = m\vec a$ si introduce una forza apparente $\vec F_{app} = -m\vec a_{sist}$, opposta all'accelerazione del sistema. Non è dovuta a nessuna interazione e non ha reazione.
Nell'autobus che frena (accelerazione all'indietro), i passeggeri sembrano spinti in avanti. Per un osservatore a terra (sistema inerziale) nessuna forza li spinge: continuano per inerzia con la velocità che avevano, mentre l'autobus rallenta.
Nei sistemi rotanti compare la forza centrifuga: in un sistema che ruota con velocità angolare $\omega$, un corpo fermo a distanza $r$ dall'asse subisce $F_{cf} = m\omega^2 r$ verso l'esterno. Nel sistema inerziale il corpo fermo sulla giostra descrive una circonferenza: serve una forza reale verso il centro (per esempio l'attrito), $F_c = m\omega^2 r$. Per il bambino di $30\ \text{kg}$ a $3{,}0\ \text{m}$ con $\omega = 1{,}0\ \text{rad/s}$ è $F = 30 \cdot 1{,}0^2 \cdot 3{,}0 = 90\ \text{N}$.
Un autobus frena bruscamente e i passeggeri in piedi sono "spinti" in avanti. a) Il sistema di riferimento dell'autobus in frenata è inerziale? Perché? b) Spiega il…
Un autobus frena bruscamente e i passeggeri in piedi sono "spinti" in avanti.
- a) Il sistema di riferimento dell'autobus in frenata è inerziale? Perché?
- b) Spiega il fenomeno dal punto di vista di un osservatore a terra.
Un ascensore a Torino accelera verso l'alto con $a = 1,2\ \text{m/s}^2$. Una persona di massa $70\ \text{kg}$ sta su una bilancia nell'ascensore. Usa…
Un ascensore a Torino accelera verso l'alto con $a = 1,2\ \text{m/s}^2$. Una persona di massa $70\ \text{kg}$ sta su una bilancia nell'ascensore. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola la lettura della bilancia in newton.
- b) Descrivi il calcolo nel sistema non inerziale dell'ascensore con la forza apparente.
- c) Che cosa segna la bilancia se l'ascensore è in caduta libera?
Un pendolo è appeso al soffitto di un vagone che accelera con $a = 2,0\ \text{m/s}^2$ lungo i binari. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Calcola l'angolo di inclinazione…
Un pendolo è appeso al soffitto di un vagone che accelera con $a = 2,0\ \text{m/s}^2$ lungo i binari. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola l'angolo di inclinazione del filo rispetto alla verticale all'equilibrio.
- b) Calcola la tensione del filo se $m = 0,30\ \text{kg}$.
- c) Spiega la situazione per un osservatore nel vagone e per uno a terra.
Una giostra rotante con velocità angolare $\omega = 1,0\ \text{rad/s}$ ha un bambino di massa $30\ \text{kg}$ fermo rispetto alla giostra a $3,0\ \text{m}$ dall'asse. a)…
Una giostra rotante con velocità angolare $\omega = 1,0\ \text{rad/s}$ ha un bambino di massa $30\ \text{kg}$ fermo rispetto alla giostra a $3,0\ \text{m}$ dall'asse.
- a) Calcola la forza necessaria (reale) che lo mantiene in quella posizione, nel sistema inerziale.
- b) Descrivi la stessa situazione nel sistema rotante con la forza centrifuga e calcolane il valore.
- c) Spiega perché la forza centrifuga è detta apparente.