Momento angolare e forze centrali

Nel laboratorio di un ospedale, una centrifuga fa ruotare una provetta di $0,02\ \text{kg}$ che descrive una circonferenza di $0,15\ \text{m}$ di raggio con una velocità di $9\ \text{m/s}$. Lo schema mostra la rotazione vista dall'alto:

1. a) Scrivi l'espressione del momento angolare di una particella rispetto a un punto, $L = m \cdot v \cdot r$, valida quando la velocità è perpendicolare al raggio.
2. b) Calcola il momento angolare della provetta rispetto all'asse di rotazione, espresso in $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Un'atleta fa ruotare una fionda: un sasso di $0,1\ \text{kg}$ descrive una circonferenza orizzontale di $0,8\ \text{m}$ di raggio con una velocità di $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la quantità di moto del sasso, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcola il suo momento angolare rispetto al centro della circonferenza, $L = m \cdot v \cdot r$.

Quando la velocità di una particella è perpendicolare al suo vettore posizione (per esempio, in un moto circolare rispetto al centro), il modulo del suo momento angolare si calcola come $L = m \cdot v \cdot r$.

1. a) A partire dalle unità di massa, velocità e distanza, deduci l'unità del momento angolare nel Sistema Internazionale.
2. b) Verifica che tale unità equivale a $\text{J} \cdot \text{s}$ (ricorda che $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$).
3. c) A partire dalla formula, spiega che cosa succede al momento angolare di una particella se si raddoppia la sua velocità senza cambiare la traiettoria.

Un nanosatellite di $4\ \text{kg}$ descrive un'orbita circolare di $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ di raggio attorno alla Terra con una velocità di $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. Lo schema mostra l'orbita:

1. a) Calcola il suo momento angolare rispetto al centro della Terra, esprimendo il risultato in notazione scientifica.
2. b) Indica la direzione e il verso del vettore $\vv{L}$ rispetto al piano dell'orbita.

La navicella Orion, di $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, passa per un punto situato a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ dal centro della Luna con una velocità di $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, in una direzione che forma $30^\circ$ con la retta che la congiunge alla Luna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura mostra quell'istante:

1. a) Scrivi l'espressione generale del modulo del momento angolare, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, e spiega il significato di ciascun termine.
2. b) Calcola il momento angolare della navicella rispetto al centro della Luna.
3. c) Se la navicella passasse per lo stesso punto con la velocità diretta direttamente verso la Luna, quanto varrebbe il suo momento angolare? Motiva la risposta.

Nella gara del lancio del martello, la palla di $7,26\ \text{kg}$ ruota con una velocità di $25\ \text{m/s}$ e il suo momento angolare rispetto all'asse di rotazione vale $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Ricava il raggio di rotazione dall'espressione $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcola il raggio di rotazione della palla, con due cifre significative.
3. c) Confronta il risultato con la lunghezza del cavo regolamentare, che è di circa $1,2\ \text{m}$, e spiega a che cosa si deve la differenza.

Due corpi di prova, A e B, ruotano in laboratorio attorno allo stesso asse. Il corpo A ha una massa di $0,3\ \text{kg}$, una velocità di $4\ \text{m/s}$ e un raggio di rotazione di $0,5\ \text{m}$; il corpo B ha una massa di $0,6\ \text{kg}$, una velocità di $2\ \text{m/s}$ e un raggio di $1\ \text{m}$. Lo schema mostra i due corpi visti dall'alto:

1. a) Calcola il momento angolare di ciascun corpo rispetto all'asse.
2. b) Calcola il rapporto $\frac{L_B}{L_A}$ e interpretalo: quante volte è maggiore il momento angolare di B?
3. c) Senza ripetere i calcoli, ragiona su come cambierebbe quel rapporto se la velocità di A raddoppiasse.

Una particella di un simulatore di volo descrive sullo schermo una circonferenza in senso antiorario attorno al punto O.

1. a) Scrivi la definizione vettoriale del momento angolare, $\vv{L} = \vv{r} \times \vv{p}$, e indica che cosa rappresentano $\vv{r}$ e $\vv{p} = m \cdot \vv{v}$.
2. b) Disegna sul quaderno la circonferenza e i vettori $\vv{r}$, $\vv{v}$ e $\vv{p}$ in un punto qualsiasi e, applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale, deduci la direzione e il verso di $\vv{L}$ rispetto al piano dello schermo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una coppia di pattinatori artistici esegue una figura in cui entrambi ruotano uniti per le braccia attorno al punto medio tra loro. Modella ciascun pattinatore come una massa puntiforme: $m_1 = 60\ \text{kg}$ a $0,9\ \text{m}$ dal centro di rotazione e $m_2 = 50\ \text{kg}$ a $1,1\ \text{m}$, entrambi con la stessa velocità angolare $\omega = 3\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcola la velocità lineare di ciascun pattinatore, $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcola il momento angolare di ciascuno rispetto al centro di rotazione.
3. c) Il momento angolare totale del sistema è la somma dei due: calcolalo e giustifica che, se le forze esterne hanno momento nullo, tale totale si conserva anche se i pattinatori si spingono a vicenda (le forze interne non cambiano il momento angolare totale).

Una forza è centrale quando la sua direzione passa sempre per un punto fisso chiamato centro delle forze. Indica quali delle seguenti forze sono centrali e quali no, motivando ogni risposta:

1. a) L'attrazione gravitazionale del Sole su un pianeta.
2. b) La tensione della corda di una palla che ruota legata a un palo.
3. c) La forza elettrica che il nucleo di un atomo esercita su un elettrone.
4. d) L'attrito dell'aria su un satellite artificiale in orbita bassa.
5. e) La spinta del motore di un razzo che accelera nella direzione del moto.

Nel modello atomico di Bohr, l'elettrone di un atomo di idrogeno descrive un'orbita circolare di $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ di raggio con una velocità di $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (massa dell'elettrone: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). Lo schema rappresenta il modello:

1. a) Calcola il momento angolare dell'elettrone rispetto al nucleo, in notazione scientifica e con due cifre significative.
2. b) Indica quale forza agisce come forza centripeta in questo caso e giustifica che si tratta di una forza centrale.

Su una barra che può ruotare attorno a un asse vengono applicate due forze di $20\ \text{N}$ in punti situati a $0,4\ \text{m}$ dall'asse: la forza A è diretta radialmente verso l'asse e la forza B è perpendicolare alla barra ($\sen 90^\circ = 1$, $\sen 0^\circ = 0$). Lo schema mostra la barra e le due forze:

1. a) Calcola il momento di ciascuna forza rispetto all'asse, $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$.
2. b) A partire da $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$, indica quale delle due forze modifica il momento angolare della barra e quale no.
3. c) Collega il risultato al comportamento delle forze centrali: a quale delle due somiglia una forza centrale?

Si vuole collocare un satellite per l'osservazione terrestre di $500\ \text{kg}$ su un'orbita circolare di $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ di raggio misurato dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) L'unica forza sul satellite è quella gravitazionale, che agisce come forza centripeta. Uguaglia $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ e deduci l'espressione $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcola la velocità orbitale del satellite.
3. c) Calcola il suo momento angolare rispetto al centro della Terra.
4. d) Giustifica, a partire dal carattere centrale della forza gravitazionale, che tale momento angolare rimane costante durante tutta l'orbita.

Un protone ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) si muove in linea retta con velocità costante di $2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ all'interno della camera di un acceleratore di particelle. La sua traiettoria passa a una distanza minima $d = 3 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$ da un sensore situato nel punto O.

1. a) Il momento angolare rispetto a O vale $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$. Disegna sul quaderno la situazione e spiega che, anche se $r$ e $\theta$ cambiano lungo il percorso, il prodotto $r \cdot \sen\theta$ è sempre uguale a $d$.
2. b) Calcola il momento angolare del protone rispetto a O, in notazione scientifica.
3. c) Il protone si muove liberamente, senza forze: è coerente che il suo momento angolare sia costante anche se non descrive alcuna curva? Giustificalo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una sonda di $800\ \text{kg}$ con i motori spenti si avvicina a Marte. Nel punto di massimo avvicinamento si trova a $4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ dal centro del pianeta e ha una velocità di modulo $5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, perpendicolare alla retta che la congiunge con Marte.

1. a) Calcola il momento angolare della sonda in quel punto.
2. b) Finché i motori sono spenti, l'unica forza sulla sonda è l'attrazione gravitazionale di Marte: giustifica perché il momento angolare resta costante durante tutta la manovra.
3. c) Quando la sonda si allontana di nuovo e si trova a $1,6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ dal centro di Marte, muovendosi perpendicolarmente alla retta che li congiunge, calcola la velocità (in modulo) che ha.