Forza centripeta
Sei in auto su una curva stretta: anche se il tachimetro segna sempre la stessa velocità, senti il corpo "spinto" verso l'esterno. Eppure la velocità non cambia in modulo. Che cosa sta succedendo, e quale forza ti tiene sulla traiettoria curva? Lo scopriremo in questa pagina.
Grandezze del moto circolare uniforme
Un moto circolare uniforme ha traiettoria circolare di raggio $r$ e velocità di modulo costante. Si descrive con:
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il periodo $T$: tempo di un giro completo (in $\mathrm{s}$);
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la frequenza $f = 1/T$ (in $\mathrm{Hz}$);
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la velocità angolare $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ (in $\mathrm{rad/s}$);
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la velocità tangenziale $v = \dfrac{2\pi r}{T} = \omega r$ (in $\mathrm{m/s}$).
Il perché di $v = \omega r$: in un periodo il corpo percorre l'intera circonferenza $2\pi r$, quindi $v = 2\pi r / T$.
Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria; cambia direzione in continuazione, anche se il modulo è costante.
Una giostra a Mirabilandia ruota con periodo $T = 8,0\ \text{s}$. Un bambino si trova a $4,0\ \text{m}$ dall'asse. a) Calcola la velocità angolare della giostra. b)…
Una giostra a Mirabilandia ruota con periodo $T = 8,0\ \text{s}$. Un bambino si trova a $4,0\ \text{m}$ dall'asse.
- a) Calcola la velocità angolare della giostra.
- b) Calcola la velocità tangenziale del bambino.
- c) Calcola la sua accelerazione centripeta.
Accelerazione e forza centripeta
Per il secondo principio, se la velocità cambia (anche solo in direzione) c'è un'accelerazione, e quindi una forza risultante. Nel moto circolare uniforme la variazione $\Delta\vec v$ punta verso il centro: l'accelerazione è centripeta.
Perché $v^2/r$? Più la velocità è grande, più rapidamente ruota il vettore $\vec v$; più il raggio è piccolo, più la curva è stretta. Quindi $a_c$ cresce con $v$ (al quadrato) e cresce al diminuire di $r$.
Attenzione: la forza centripeta non è una forza nuova. È il nome del ruolo svolto dalla risultante delle forze reali dirette verso il centro: tensione di un filo, attrito, reazione vincolare, componente del peso, gravità.
Se la forza centripeta viene a mancare (il filo si spezza), il corpo prosegue di moto rettilineo uniforme lungo la tangente (primo principio), non verso l'esterno lungo il raggio.
Un'auto di massa $1.200\ \text{kg}$ percorre una curva circolare di raggio $50\ \text{m}$ alla velocità costante di $10\ \text{m/s}$ su strada piana. a) Calcola…
Un'auto di massa $1.200\ \text{kg}$ percorre una curva circolare di raggio $50\ \text{m}$ alla velocità costante di $10\ \text{m/s}$ su strada piana.
- a) Calcola l'accelerazione centripeta.
- b) Calcola la forza centripeta necessaria.
- c) Quale forza reale la fornisce?
Un sasso di massa $0,20\ \text{kg}$ legato a un filo lungo $0,80\ \text{m}$ viene fatto ruotare in un piano orizzontale (si trascuri la gravità sulla traiettoria) con…
Un sasso di massa $0,20\ \text{kg}$ legato a un filo lungo $0,80\ \text{m}$ viene fatto ruotare in un piano orizzontale (si trascuri la gravità sulla traiettoria) con velocità $4,0\ \text{m/s}$.
- a) Calcola la tensione del filo.
- b) Che cosa accade al sasso se il filo si spezza? Giustifica.
Curve piane e curve sopraelevate
Curva piana. Su strada piana l'unica forza orizzontale è l'attrito statico tra pneumatici e asfalto, diretto verso il centro. La reazione vincolare equilibra il peso: $F_N = mg$. Al limite:
$$\mu_s m g = \frac{m v^2}{r} \;\Rightarrow\; v_{max} = \sqrt{\mu_s\, g\, r}$$La massa si semplifica: la velocità massima non dipende da $m$. Su strada bagnata $\mu_s$ diminuisce e quindi $v_{max}$ scende.
Curva sopraelevata. Se la strada è inclinata di un angolo $\theta$ verso l'interno, anche la reazione vincolare ha una componente verso il centro. Senza attrito, le forze sono $m\vec g$ e $\vec F_N$:
Verticale: $F_N\cos\theta = mg$. Radiale (orizzontale): $F_N\sin\theta = \dfrac{mv^2}{r}$. Dividendo membro a membro:
$$\tan\theta = \frac{v^2}{g\,r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{g\,r\tan\theta}$$È la velocità di progetto: a quella velocità l'auto non ha bisogno di attrito.
Un'auto di massa $1.000\ \text{kg}$ affronta una curva di raggio $80\ \text{m}$ su asfalto asciutto con coefficiente di attrito statico $\mu_s = 0,80$. Usa…
Un'auto di massa $1.000\ \text{kg}$ affronta una curva di raggio $80\ \text{m}$ su asfalto asciutto con coefficiente di attrito statico $\mu_s = 0,80$. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola la velocità massima con cui può percorrere la curva senza sbandare.
- b) Se la strada è bagnata e $\mu_s = 0,40$, quanto vale la nuova velocità massima?
- c) Dipende dalla massa dell'auto? Giustifica.
Una curva sopraelevata di raggio $100\ \text{m}$ è inclinata di $15°$ e si trascura l'attrito. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Ricava la velocità di progetto per cui…
Una curva sopraelevata di raggio $100\ \text{m}$ è inclinata di $15°$ e si trascura l'attrito. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Ricava la velocità di progetto per cui l'auto non ha bisogno di attrito.
- b) Calcola il suo valore in km/h.
- c) Che cosa fornisce la forza centripeta in questo caso?
Traiettorie verticali: secchio, dosso, giro della morte
Nel cerchio verticale peso e forza di contatto si combinano diversamente a seconda del punto. Scegli sempre l'asse verso il centro come positivo.
Secchio (corda). Nel punto più alto peso e tensione puntano verso il centro; nel punto più basso la tensione punta verso il centro e il peso no:
$$\text{alto: } T + mg = \frac{mv^2}{r} \qquad \text{basso: } T - mg = \frac{mv^2}{r}$$La tensione è maggiore in basso. In alto la corda resta tesa se $T \ge 0$, cioè $v \ge \sqrt{g r}$ (velocità minima: il solo peso fa da forza centripeta).
Dosso (sommità di un ponte). Il centro è sotto l'auto: il peso punta verso il centro, la reazione vincolare no:
$$mg - F_N = \frac{mv^2}{r} \;\Rightarrow\; F_N = m\left(g - \frac{v^2}{r}\right)$$$F_N$ diminuisce al crescere di $v$ e si annulla per $v = \sqrt{g r}$: l'auto perde contatto con la strada. I passeggeri si sentono "più leggeri".
Giro della morte. Nel punto più alto serve $v_{alto} \ge \sqrt{gR}$. Con la conservazione dell'energia meccanica (senza attrito), tra basso e alto, con dislivello $2R$:
$$\tfrac12 m v_{basso}^2 = \tfrac12 m v_{alto}^2 + mg(2R) \;\Rightarrow\; v_{basso}^2 = v_{alto}^2 + 4gR \ge 5gR$$Il carrello partito da fermo dall'altezza $h$ rispetto al punto più basso ha $v_{basso}^2 = 2gh$, quindi $h \ge \tfrac52 R$.
Un secchio con acqua di massa totale $3,0\ \text{kg}$ viene fatto ruotare in un cerchio verticale di raggio $0,90\ \text{m}$ con velocità costante $4,0\ \text{m/s}$. Usa…
Un secchio con acqua di massa totale $3,0\ \text{kg}$ viene fatto ruotare in un cerchio verticale di raggio $0,90\ \text{m}$ con velocità costante $4,0\ \text{m/s}$. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola la tensione della corda nel punto più alto.
- b) Calcola la tensione nel punto più basso.
- c) Qual è la velocità minima nel punto più alto perché la corda resti tesa?
Un'auto di massa $m$ percorre un dosso circolare (sommità di un ponte) di raggio $R = 40\ \text{m}$. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Esprimi la forza normale sulla…
Un'auto di massa $m$ percorre un dosso circolare (sommità di un ponte) di raggio $R = 40\ \text{m}$. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Esprimi la forza normale sulla sommità in funzione di $v$.
- b) Determina la velocità alla quale l'auto perde contatto con la strada.
- c) Commenta fisicamente il risultato e la sensazione dei passeggeri per $v$ crescente.
Un carrello delle montagne russe di massa $m$ percorre un giro della morte di raggio $R = 8,0\ \text{m}$ senza attrito. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Determina la…
Un carrello delle montagne russe di massa $m$ percorre un giro della morte di raggio $R = 8,0\ \text{m}$ senza attrito. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Determina la velocità minima nel punto più alto per non staccarsi dalla guida.
- b) Usando la conservazione dell'energia, calcola la velocità minima nel punto più basso.
- c) Da quale altezza minima rispetto al punto più basso deve partire da fermo il carrello? Giustifica.
Il pendolo conico
Una massa $m$ appesa a un filo di lunghezza $L$ descrive una circonferenza orizzontale; il filo forma l'angolo $\theta$ con la verticale. Forze: peso $m\vec g$ e tensione $\vec T$. Il raggio è $r = L\sin\theta$.
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Verticale (nessuna accelerazione): $T\cos\theta = mg$.
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Radiale: $T\sin\theta = \dfrac{mv^2}{r}$.
Dividendo: $\tan\theta = \dfrac{v^2}{g r}$, cioè $v = \sqrt{g\,r\tan\theta}$. Il periodo di rotazione è $T_{rot} = \dfrac{2\pi r}{v}$. La tensione del filo si indica con $\vec F_T$ per non confonderla con il periodo.
Un pendolo conico è formato da una massa $m = 0,50\ \text{kg}$ appesa a un filo lungo $L = 1,2\ \text{m}$ che descrive una circonferenza orizzontale con il filo…
Un pendolo conico è formato da una massa $m = 0,50\ \text{kg}$ appesa a un filo lungo $L = 1,2\ \text{m}$ che descrive una circonferenza orizzontale con il filo inclinato di $\theta = 30°$ rispetto alla verticale. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Scrivi le equazioni della dinamica lungo le direzioni verticale e radiale.
- b) Calcola la tensione del filo.
- c) Calcola la velocità della massa e il periodo di rotazione.
In sintesi
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Moto circolare uniforme: $\omega = 2\pi/T$, $v = \omega r$; la velocità cambia direzione, quindi c'è accelerazione.
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Accelerazione centripeta $a_c = v^2/r = \omega^2 r$; forza centripeta $F_c = mv^2/r$, verso il centro.
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La forza centripeta è la risultante delle forze reali verso il centro (tensione, attrito, reazione vincolare, peso): non va disegnata a parte.
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Curva piana: $v_{max} = \sqrt{\mu_s g r}$; curva sopraelevata: $v = \sqrt{g r\tan\theta}$.
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Cerchio verticale: alto $T + mg = mv^2/r$, basso $T - mg = mv^2/r$; velocità minima in alto $\sqrt{gr}$. Pendolo conico: $\tan\theta = v^2/(gr)$.
Vuoi tornare al punto di partenza? La sensazione di essere spinti verso l'esterno in curva è l'inerzia del corpo, che tenderebbe a proseguire dritto; la forza che ti mantiene in curva è l'attrito (o la reazione vincolare) diretto verso il centro.