Equazione di continuità e di Bernoulli

Portata ed equazione di continuità

Se riempi un secchio da $10\ \text{L}$ in $20\ \text{s}$, il rubinetto eroga $0{,}5\ \text{L/s}$. Questa grandezza si chiama portata volumetrica: il volume di fluido che attraversa una sezione nell'unità di tempo.

Perché $Q = A\cdot v$? In un intervallo $\Delta t$ il fluido avanza di $v\,\Delta t$: il volume che passa è un cilindro di base $A$ e altezza $v\,\Delta t$, cioè $\Delta V = A\,v\,\Delta t$.

Il fluido è incomprimibile e non si accumula: la massa che entra da una sezione è uguale a quella che esce dall'altra. Quindi la portata è la stessa:

L'equazione di Bernoulli

Se l'acqua accelera nel restringimento, la sua energia cinetica aumenta. Per il teorema dell'energia cinetica serve un lavoro: lo fa la differenza di pressione tra le due zone. Dove il fluido è più veloce, la pressione è minore.

Applichiamo la conservazione dell'energia a un volume $\Delta V$ di fluido (massa $\rho\,\Delta V$) che si sposta da una sezione 1 a una sezione 2. Le forze di pressione compiono il lavoro $(P_1 - P_2)\Delta V$, che deve uguagliare la variazione di energia cinetica e potenziale. Dividendo per $\Delta V$ si ottiene:

Tra due punti: $P_1 + \frac12\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac12\rho v_2^2 + \rho g h_2$.

Per un tubo orizzontale ($h_1 = h_2$) si semplifica in

Applicazioni: Torricelli, Venturi, portanza

Legge di Torricelli

Un serbatoio aperto ha un foro a profondità $h$ sotto la superficie. Sulla superficie e al foro la pressione è quella atmosferica $P_0$; la superficie scende lentamente ($v\approx0$). Bernoulli dà $P_0 + \rho g h = P_0 + \frac12\rho v^2$, quindi

la stessa velocità di un corpo che cade liberamente per l'altezza $h$. La portata è $Q = A_{\text{foro}}\,v$.

Il getto esce in orizzontale e poi si comporta come un moto parabolico: con il foro a quota $H - h$ dal suolo, il tempo di caduta è $t = \sqrt{2(H-h)/g}$ e la gittata $x = v\,t = 2\sqrt{h\,(H-h)}$.

Tubo di Venturi

In un tubo orizzontale con una strozzatura, dalla continuità $v_2 = v_1 A_1/A_2$ e da Bernoulli $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$. Sostituendo:

Misurando $\Delta P$ con un manometro si ottengono velocità e portata.

Portanza

L'aria sopra l'ala è più veloce che sotto, quindi la pressione sopra è minore. La differenza $\Delta P = \frac12\rho(v_{\text{sopra}}^2 - v_{\text{sotto}}^2)$, moltiplicata per l'area alare, dà la forza di portanza: $F = \Delta P\cdot A$.

Getto e forza: unire continuità, Bernoulli e quantità di moto

Nei problemi più complessi si usano insieme le tre idee. Per un ugello che termina all'aria aperta:

1. dalla continuità ricavi il legame tra le velocità: $v_2 = v_1 A_1/A_2$;

2. da Bernoulli il legame con le pressioni (all'uscita la pressione è $P_0$);

3. la forza del getto segue dal teorema dell'impulso: in $\Delta t$ escono $\Delta m = \rho\,Q\,\Delta t$ con velocità $v_2$, quindi

(se il fluido parte da fermo rispetto al getto).

Vuoi riprendere il tubo da giardino? Chiudendo con il pollice la sezione, $v$ aumenta (continuità) e il getto va più lontano.

In sintesi

• Portata: $Q = A\,v$; per un fluido incomprimibile $A_1 v_1 = A_2 v_2$ (equazione di continuità).

• Bernoulli: $P + \frac12\rho v^2 + \rho g h$ è costante lungo una linea di flusso (fluido ideale).

• Dove il fluido è più veloce, la pressione è minore: è alla base di Venturi e portanza.

• Torricelli: $v = \sqrt{2gh}$; gittata $x = 2\sqrt{h(H-h)}$, massima per $h = H/2$.

• Forza di un getto: $F = \rho\,Q\,v$ (variazione di quantità di moto per unità di tempo).