La legge di gravitazione universale

Due sfere di acciaio di $1\ \text{kg}$ ciascuna sono collocate in modo che i loro centri distino $1\ \text{m}$, come mostrato in figura.

Applica la legge di gravitazione universale, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, e calcola la forza con cui si attraggono. Ti sembra una forza grande o piccola? Commenta.

Nella legge di gravitazione universale, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indica che cosa rappresenta ciascuna lettera ($F$, $G$, $M$, $m$ e $r$) e in quale unità si misura nel Sistema Internazionale.
2. b) Il valore di $G$ è $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un numero molto piccolo. Spiega quale conseguenza ha ciò per la forza tra oggetti di massa normale.

Due compagni di classe, di $60\ \text{kg}$ e $70\ \text{kg}$ di massa, sono seduti in modo che i loro corpi distino $1\ \text{m}$ in media. Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra di loro ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) ed esprimila in notazione scientifica.

Due asteroidi si attraggono con una forza $F$.

1. a) Se uno di essi avesse massa doppia, quale sarebbe la nuova forza?
2. b) E se entrambi avessero massa doppia?

Giustifica entrambe le risposte con la formula della gravitazione universale.

Due corpi si attraggono con una forza $F$, come mostra il grafico della forza in funzione della distanza.

Senza cambiare le masse, li allontaniamo finché la distanza tra loro diventa doppia. Guardando la formula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, quanto varrà ora la forza? Giustificalo.

Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e la Luna, come mostrato in figura.

Dati: massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa della Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distanza media tra i loro centri $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Esprimi il risultato in notazione scientifica, arrotondando a due cifre decimali.

Il Sole mantiene la Terra in orbita attirandola. Calcola questa forza con i seguenti dati: massa del Sole $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distanza media tra i loro centri $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Poi confronta il risultato con la forza Terra–Luna, di circa $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: quante volte è maggiore?

Due masse fisse, di $100\ \text{kg}$ e $400\ \text{kg}$, sono separate da $3\ \text{m}$. Vogliamo collocare una terza massa sulla retta che le unisce, tra le due, in modo che la forza gravitazionale netta su di essa sia nulla, come mostrato in figura.

1. a) Se $x$ è la distanza della terza massa da quella di $100\ \text{kg}$, scrivi l'uguaglianza tra le due forze che agiscono su di essa.
2. b) Risolvi l'equazione e calcola $x$ (suggerimento: semplifica prima $G$ e la terza massa, poi estrai le radici quadrate).
3. c) Il risultato dipende dal valore della terza massa? E da $G$? Commenta.

Un'astronave viaggia in linea retta dalla Terra alla Luna. C'è un punto del tragitto in cui le attrazioni gravitazionali di entrambe si compensano, come mostrato in figura.

1. a) Se $x$ è la distanza dell'astronave dal centro della Terra, imposta l'uguaglianza tra le forze che la Terra e la Luna esercitano sull'astronave (distanza Terra–Luna: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Verifica numericamente che l'uguaglianza è soddisfatta per $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Quel punto si trova a un $90\ \%$ del percorso totale. Spiega, pensando alle masse della Terra e della Luna, perché è così vicino a quest'ultima.

A quale distanza dal centro della Terra la forza gravitazionale su un corpo si riduce alla metà di quella che avverte sulla superficie?

1. a) Imposta l'uguaglianza usando il fatto che la forza diminuisce con $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Ricava $r$ in funzione del raggio terrestre $R_T$ (ti comparirà un $\sqrt{2}$).
3. c) Con $R_T = 6370\ \text{km}$, calcola a quale altezza sopra la superficie bisogna salire, in chilometri. Credi che un aereo di linea, che vola a circa $10\ \text{km}$ di altezza, avverta questa diminuzione? Motiva la risposta.

Due sfere metalliche identiche, poste con i centri a una distanza di $2\ \text{m}$, si attraggono con una forza di $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Scrivi la legge di gravitazione universale indicando con $m$ la massa di ciascuna sfera (le due sono uguali!).
2. b) Ricava $m$ dalla formula e calcola la massa di ciascuna sfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Deduciamo il valore di $g$ sulla superficie della Terra a partire dalla legge di gravitazione universale.

1. a) Scrivi la forza che la Terra esercita su un corpo di massa $m$ in due modi: come $F = m\cdot g$ e come $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Uguaglia le due espressioni, semplifica la massa $m$ e ricava $g$.
3. c) Calcola il suo valore con $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Quale valore molto noto ottieni?

Newton verificò la sua legge confrontando la caduta degli oggetti sulla superficie con il moto della Luna.

1. a) Calcola la forza che la Terra esercita su un corpo di $1\ \text{kg}$ sulla sua superficie ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcola la forza che eserciterebbe su quello stesso corpo se si trovasse alla distanza della Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Verifica che la seconda forza è circa $3600$ volte minore e collega questo numero al rapporto tra le due distanze, che è di circa $60$. Quale legge viene confermata?