Esercizi: Momento angolare e forze centrali

Nel laboratorio di un ospedale, una centrifuga fa ruotare una provetta di $0,02\ \text{kg}$ che descrive una circonferenza di $0,15\ \text{m}$ di raggio con una velocità di $9\ \text{m/s}$. Lo schema mostra la rotazione vista dall'alto:

1. a) Scrivi l'espressione del momento angolare di una particella rispetto a un punto, $L = m \cdot v \cdot r$, valida quando la velocità è perpendicolare al raggio.
2. b) Calcola il momento angolare della provetta rispetto all'asse di rotazione, espresso in $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Una particella di un simulatore di volo descrive sullo schermo una circonferenza in senso antiorario attorno al punto O.

1. a) Scrivi la definizione vettoriale del momento angolare, $\vv{L} = \vv{r} \times \vv{p}$, e indica che cosa rappresentano $\vv{r}$ e $\vv{p} = m \cdot \vv{v}$.
2. b) Disegna sul quaderno la circonferenza e i vettori $\vv{r}$, $\vv{v}$ e $\vv{p}$ in un punto qualsiasi e, applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale, deduci la direzione e il verso di $\vv{L}$ rispetto al piano dello schermo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'atleta fa ruotare una fionda: un sasso di $0,1\ \text{kg}$ descrive una circonferenza orizzontale di $0,8\ \text{m}$ di raggio con una velocità di $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la quantità di moto del sasso, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcola il suo momento angolare rispetto al centro della circonferenza, $L = m \cdot v \cdot r$.

Quando la velocità di una particella è perpendicolare al suo vettore posizione (per esempio, in un moto circolare rispetto al centro), il modulo del suo momento angolare si calcola come $L = m \cdot v \cdot r$.

1. a) A partire dalle unità di massa, velocità e distanza, deduci l'unità del momento angolare nel Sistema Internazionale.
2. b) Verifica che tale unità equivale a $\text{J} \cdot \text{s}$ (ricorda che $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$).
3. c) A partire dalla formula, spiega che cosa succede al momento angolare di una particella se si raddoppia la sua velocità senza cambiare la traiettoria.

Un nanosatellite di $4\ \text{kg}$ descrive un'orbita circolare di $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ di raggio attorno alla Terra con una velocità di $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. Lo schema mostra l'orbita:

1. a) Calcola il suo momento angolare rispetto al centro della Terra, esprimendo il risultato in notazione scientifica.
2. b) Indica la direzione e il verso del vettore $\vv{L}$ rispetto al piano dell'orbita.

Una forza è centrale quando la sua direzione passa sempre per un punto fisso chiamato centro delle forze. Indica quali delle seguenti forze sono centrali e quali no, motivando ogni risposta:

1. a) L'attrazione gravitazionale del Sole su un pianeta.
2. b) La tensione della corda di una palla che ruota legata a un palo.
3. c) La forza elettrica che il nucleo di un atomo esercita su un elettrone.
4. d) L'attrito dell'aria su un satellite artificiale in orbita bassa.
5. e) La spinta del motore di un razzo che accelera nella direzione del moto.

Nel modello atomico di Bohr, l'elettrone di un atomo di idrogeno descrive un'orbita circolare di $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ di raggio con una velocità di $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (massa dell'elettrone: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). Lo schema rappresenta il modello:

1. a) Calcola il momento angolare dell'elettrone rispetto al nucleo, in notazione scientifica e con due cifre significative.
2. b) Indica quale forza agisce come forza centripeta in questo caso e giustifica che si tratta di una forza centrale.

Il momento di una forza rispetto a un punto è $\vv{M} = \vv{r} \times \vv{F}$, e il suo modulo vale $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra $\vv{r}$ e $\vv{F}$. La figura mostra i vettori e l'angolo:

1. a) Stabilisci quanto vale il momento di una forza centrale rispetto al centro delle forze: quanto vale l'angolo $\theta$ tra il vettore posizione e la forza?
2. b) La variazione del momento angolare soddisfa $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$. Deduci che cosa succede al momento angolare di un corpo soggetto soltanto a una forza centrale.
3. c) Fai due esempi di moti reali in cui vale quanto sopra.

La navicella Orion, di $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, passa per un punto situato a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ dal centro della Luna con una velocità di $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, in una direzione che forma $30^\circ$ con la retta che la congiunge alla Luna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura mostra quell'istante:

1. a) Scrivi l'espressione generale del modulo del momento angolare, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, e spiega il significato di ciascun termine.
2. b) Calcola il momento angolare della navicella rispetto al centro della Luna.
3. c) Se la navicella passasse per lo stesso punto con la velocità diretta direttamente verso la Luna, quanto varrebbe il suo momento angolare? Motiva la risposta.

La Terra descrive un'orbita praticamente circolare di $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ di raggio attorno al Sole con una velocità di $29,8\ \text{km/s}$ (massa della Terra: $5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$).

1. a) Esprimi la velocità in $\text{m/s}$, in notazione scientifica.
2. b) Calcola il momento angolare orbitale della Terra rispetto al Sole, con tre cifre significative.
3. c) Indica la direzione del vettore $\vv{L}$ rispetto al piano dell'orbita e se essa cambia nel corso dell'anno.

Nella gara del lancio del martello, la palla di $7,26\ \text{kg}$ ruota con una velocità di $25\ \text{m/s}$ e il suo momento angolare rispetto all'asse di rotazione vale $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Ricava il raggio di rotazione dall'espressione $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcola il raggio di rotazione della palla, con due cifre significative.
3. c) Confronta il risultato con la lunghezza del cavo regolamentare, che è di circa $1,2\ \text{m}$, e spiega a che cosa si deve la differenza.

Due corpi di prova, A e B, ruotano in laboratorio attorno allo stesso asse. Il corpo A ha una massa di $0,3\ \text{kg}$, una velocità di $4\ \text{m/s}$ e un raggio di rotazione di $0,5\ \text{m}$; il corpo B ha una massa di $0,6\ \text{kg}$, una velocità di $2\ \text{m/s}$ e un raggio di $1\ \text{m}$. Lo schema mostra i due corpi visti dall'alto:

1. a) Calcola il momento angolare di ciascun corpo rispetto all'asse.
2. b) Calcola il rapporto $\frac{L_B}{L_A}$ e interpretalo: quante volte è maggiore il momento angolare di B?
3. c) Senza ripetere i calcoli, ragiona su come cambierebbe quel rapporto se la velocità di A raddoppiasse.

Un satellite per telecomunicazioni di $300\ \text{kg}$ occupa un'orbita geostazionaria circolare di $4,22 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ di raggio e compie un giro ogni $24\ \text{h}$.

1. a) Esprimi il periodo in secondi e calcola la velocità orbitale, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcola il momento angolare del satellite rispetto al centro della Terra, in notazione scientifica.
3. c) Come cambierebbe il risultato se il satellite avesse massa doppia? Giustificalo senza ripetere il calcolo completo.

La Luna descrive un'orbita quasi circolare di $3,84 \cdot 10^{8}\ \text{m}$ di raggio attorno alla Terra con un periodo di $27,3$ giorni (massa della Luna: $7,35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$).

1. a) Esprimi il periodo in secondi e calcola la velocità orbitale della Luna, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcola il momento angolare orbitale della Luna rispetto al centro della Terra, in notazione scientifica e con tre cifre significative.

Una particella di abrasivo di $1\ \text{g}$ di massa è attaccata al bordo del disco di una smerigliatrice, che ruota con velocità angolare $\omega = 250\ \text{rad/s}$ a $5\ \text{cm}$ dall'asse. Lo schema mostra il disco visto dall'alto:

1. a) Esprimi la massa e il raggio nelle unità del Sistema Internazionale.
2. b) Calcola la velocità lineare della particella, $v = \omega \cdot r$.
3. c) Calcola il suo momento angolare rispetto all'asse del disco.

Su una barra che può ruotare attorno a un asse vengono applicate due forze di $20\ \text{N}$ in punti situati a $0,4\ \text{m}$ dall'asse: la forza A è diretta radialmente verso l'asse e la forza B è perpendicolare alla barra ($\sen 90^\circ = 1$, $\sen 0^\circ = 0$). Lo schema mostra la barra e le due forze:

1. a) Calcola il momento di ciascuna forza rispetto all'asse, $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$.
2. b) A partire da $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$, indica quale delle due forze modifica il momento angolare della barra e quale no.
3. c) Collega il risultato al comportamento delle forze centrali: a quale delle due somiglia una forza centrale?

Si vuole collocare un satellite per l'osservazione terrestre di $500\ \text{kg}$ su un'orbita circolare di $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ di raggio misurato dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) L'unica forza sul satellite è quella gravitazionale, che agisce come forza centripeta. Uguaglia $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ e deduci l'espressione $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcola la velocità orbitale del satellite.
3. c) Calcola il suo momento angolare rispetto al centro della Terra.
4. d) Giustifica, a partire dal carattere centrale della forza gravitazionale, che tale momento angolare rimane costante durante tutta l'orbita.

Nel modello di Bohr dell'atomo di idrogeno, l'elettrone può avere solo determinati valori del momento angolare. Il primo valore permesso è $L_1 = \frac{h}{2 \cdot \pi}$, con $h = 6,63 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$.

1. a) Calcola il valore di $L_1$, in notazione scientifica e con tre cifre significative.
2. b) Con i dati dell'orbita fondamentale (raggio $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$, velocità $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$, massa dell'elettrone $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$), calcola il momento angolare dell'elettrone con $L = m \cdot v \cdot r$ e confrontalo con $L_1$.
3. c) Il secondo livello permesso è $L_2 = 2 \cdot L_1$. Se il raggio di quell'orbita è $2,12 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$, calcola la velocità che deve avere l'elettrone su di essa.

In un'esperienza di laboratorio, una pallina di $0,1\ \text{kg}$ ruota su un tavolo orizzontale senza attrito legata a un filo che passa per un tubo verticale fissato al tavolo. Inizialmente ruota con un raggio $r_1 = 0,6\ \text{m}$ e una velocità $v_1 = 3\ \text{m/s}$. Tirando il filo sotto il tubo si riduce il raggio fino a $r_2 = 0,3\ \text{m}$. Lo schema mostra il montaggio visto dall'alto:

1. a) Calcola il momento angolare iniziale della pallina.
2. b) La tensione del filo è una forza centrale, poiché è sempre diretta verso il tubo: giustifica, a partire dal suo momento, che il momento angolare della pallina si conserva durante il processo.
3. c) Calcola la velocità della pallina quando il raggio è $r_2$.
4. d) Confronta le energie cinetiche iniziale e finale e spiega da dove proviene l'aumento.

Una coppia di pattinatori artistici esegue una figura in cui entrambi ruotano uniti per le braccia attorno al punto medio tra loro. Modella ciascun pattinatore come una massa puntiforme: $m_1 = 60\ \text{kg}$ a $0,9\ \text{m}$ dal centro di rotazione e $m_2 = 50\ \text{kg}$ a $1,1\ \text{m}$, entrambi con la stessa velocità angolare $\omega = 3\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcola la velocità lineare di ciascun pattinatore, $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcola il momento angolare di ciascuno rispetto al centro di rotazione.
3. c) Il momento angolare totale del sistema è la somma dei due: calcolalo e giustifica che, se le forze esterne hanno momento nullo, tale totale si conserva anche se i pattinatori si spingono a vicenda (le forze interne non cambiano il momento angolare totale).

Un protone ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) si muove in linea retta con velocità costante di $2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ all'interno della camera di un acceleratore di particelle. La sua traiettoria passa a una distanza minima $d = 3 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$ da un sensore situato nel punto O.

1. a) Il momento angolare rispetto a O vale $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$. Disegna sul quaderno la situazione e spiega che, anche se $r$ e $\theta$ cambiano lungo il percorso, il prodotto $r \cdot \sen\theta$ è sempre uguale a $d$.
2. b) Calcola il momento angolare del protone rispetto a O, in notazione scientifica.
3. c) Il protone si muove liberamente, senza forze: è coerente che il suo momento angolare sia costante anche se non descrive alcuna curva? Giustificalo.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un satellite di $200\ \text{kg}$ in orbita bassa ($r = 6,8 \cdot 10^{6}\ \text{m}$, $v = 7,7 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$) subisce un piccolo attrito con gli strati alti dell'atmosfera. La figura mostra l'orbita e il verso dell'attrito:

1. a) Calcola il suo momento angolare iniziale rispetto al centro della Terra.
2. b) L'attrito è una forza tangenziale, opposta alla velocità: il suo momento rispetto al centro della Terra è nullo? L'attrito è una forza centrale? Motiva entrambe le risposte.
3. c) Alla luce di quanto sopra, prevedi che cosa accadrà al momento angolare e al raggio dell'orbita nel corso dei mesi: il satellite manterrà la sua orbita indefinitamente? Giustificalo.

Una sonda di $800\ \text{kg}$ con i motori spenti si avvicina a Marte. Nel punto di massimo avvicinamento si trova a $4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ dal centro del pianeta e ha una velocità di modulo $5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, perpendicolare alla retta che la congiunge con Marte.

1. a) Calcola il momento angolare della sonda in quel punto.
2. b) Finché i motori sono spenti, l'unica forza sulla sonda è l'attrazione gravitazionale di Marte: giustifica perché il momento angolare resta costante durante tutta la manovra.
3. c) Quando la sonda si allontana di nuovo e si trova a $1,6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ dal centro di Marte, muovendosi perpendicolarmente alla retta che li congiunge, calcola la velocità (in modulo) che ha.

Il momento angolare di rotazione di un pianeta sferico vale $L = I \cdot \omega$, con $I = \frac{2}{5} \cdot M \cdot R^2$ e $\omega = \frac{2 \cdot \pi}{T}$. Dati della Terra: $M = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R = 6,37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$, periodo di rotazione $T = 24\ \text{h}$; nella sua orbita, raggio $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ e velocità di modulo $2,98 \cdot 10^{4}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola il momento di inerzia della Terra, in notazione scientifica.
2. b) Esprimi il periodo di rotazione in secondi e calcola il momento angolare di rotazione della Terra.
3. c) Calcola il suo momento angolare orbitale rispetto al Sole e determina il rapporto tra i due: quale prevale e di quale fattore approssimativo?