Esercizi: La legge di gravitazione universale

Due sfere di acciaio di $1\ \text{kg}$ ciascuna sono collocate in modo che i loro centri distino $1\ \text{m}$, come mostrato in figura.

Applica la legge di gravitazione universale, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, e calcola la forza con cui si attraggono. Ti sembra una forza grande o piccola? Commenta.

Nella legge di gravitazione universale, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indica che cosa rappresenta ciascuna lettera ($F$, $G$, $M$, $m$ e $r$) e in quale unità si misura nel Sistema Internazionale.
2. b) Il valore di $G$ è $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un numero molto piccolo. Spiega quale conseguenza ha ciò per la forza tra oggetti di massa normale.

Due compagni di classe, di $60\ \text{kg}$ e $70\ \text{kg}$ di massa, sono seduti in modo che i loro corpi distino $1\ \text{m}$ in media. Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra di loro ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) ed esprimila in notazione scientifica.

Due corpi si attraggono con una forza $F$, come mostra il grafico della forza in funzione della distanza.

Senza cambiare le masse, li allontaniamo finché la distanza tra loro diventa doppia. Guardando la formula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, quanto varrà ora la forza? Giustificalo.

Due asteroidi si attraggono con una forza $F$.

1. a) Se uno di essi avesse massa doppia, quale sarebbe la nuova forza?
2. b) E se entrambi avessero massa doppia?

Giustifica entrambe le risposte con la formula della gravitazione universale.

Calcola la forza con cui la Terra attrae una persona di $50\ \text{kg}$ situata sulla sua superficie, come mostrato in figura.

Dati: massa della Terra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, raggio terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Confronta il risultato con il suo peso, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: che cosa osservi?

Un libro e lo scaffale su cui è appoggiato si attraggono gravitazionalmente, come la Terra e la Luna. Tuttavia, non vediamo mai il libro muoversi verso lo scaffale. Pensando al valore di $G$, alle masse degli oggetti e alla formula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, spiega perché non notiamo l'attrazione gravitazionale tra gli oggetti di uso quotidiano.

Quando ti cade una penna, la Terra la attrae verso il basso; ma, secondo la legge di gravitazione universale, anche la penna attrae la Terra con una forza dello stesso valore.

1. a) Perché vediamo muoversi solo la penna e non la Terra che le va incontro?
2. b) Giustificalo tenendo conto delle masse dei due corpi e dell'accelerazione che la stessa forza produce su ciascuno.

Calcola la forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e la Luna, come mostrato in figura.

Dati: massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa della Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distanza media tra i loro centri $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Esprimi il risultato in notazione scientifica, arrotondando a due cifre decimali.

Il Sole mantiene la Terra in orbita attirandola. Calcola questa forza con i seguenti dati: massa del Sole $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distanza media tra i loro centri $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Poi confronta il risultato con la forza Terra–Luna, di circa $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: quante volte è maggiore?

Due petroliere gemelle, di $10^{6}\ \text{kg}$ di massa ciascuna, gettano l'ancora con i centri di massa separati da $100\ \text{m}$.

1. a) Calcola la forza gravitazionale con cui si attraggono ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Confronta questa forza con quella necessaria per trascinare un foglio di carta sul tavolo, dell'ordine di $0,01\ \text{N}$. Le navi avvertiranno questa attrazione? Giustificalo.

Due corpi si attraggono con una forza $F$.

1. a) Se la distanza tra loro triplica, di quale fattore cambia la forza?
2. b) Se, oltre a triplicare la distanza, si raddoppia ciascuna delle due masse, di quale fattore cambia la forza totale?

Giustifica ogni punto con la formula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Un satellite geostazionario di $1000\ \text{kg}$ orbita a una distanza dal centro della Terra di $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, come mostrato in figura.

1. a) Calcola la forza con cui la Terra lo attrae (massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Confronta questa forza con il peso del satellite quando si trovava sulla superficie, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quante volte è minore, approssimativamente?

Due sfere metalliche identiche, poste con i centri a una distanza di $2\ \text{m}$, si attraggono con una forza di $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Scrivi la legge di gravitazione universale indicando con $m$ la massa di ciascuna sfera (le due sono uguali!).
2. b) Ricava $m$ dalla formula e calcola la massa di ciascuna sfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Un satellite di $500\ \text{kg}$ si trova sulla superficie della Terra, dove il pianeta lo attrae con una forza di $4900\ \text{N}$, come mostrato in figura.

1. a) Ragionando con il fattore $\frac{1}{r^2}$ della legge di gravitazione, con quale forza lo attrarrà la Terra quando orbiterà a una distanza dal centro del pianeta pari al doppio del raggio terrestre?
2. b) Se il raggio della Terra è $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, a quale altezza sopra la superficie si troverà allora il satellite?

Calcola la forza gravitazionale tra una persona di $80\ \text{kg}$ e un camion di $5000\ \text{kg}$ parcheggiato a $10\ \text{m}$ di distanza ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Poi calcola il peso di una zanzara di $2\ \text{mg}$ di massa ($P = m\cdot g$, con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; attenzione alle unità) e confronta le due forze. Che conclusione trai sull'attrazione gravitazionale tra oggetti quotidiani?

Deduciamo il valore di $g$ sulla superficie della Terra a partire dalla legge di gravitazione universale.

1. a) Scrivi la forza che la Terra esercita su un corpo di massa $m$ in due modi: come $F = m\cdot g$ e come $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Uguaglia le due espressioni, semplifica la massa $m$ e ricava $g$.
3. c) Calcola il suo valore con $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Quale valore molto noto ottieni?

Due masse fisse, di $100\ \text{kg}$ e $400\ \text{kg}$, sono separate da $3\ \text{m}$. Vogliamo collocare una terza massa sulla retta che le unisce, tra le due, in modo che la forza gravitazionale netta su di essa sia nulla, come mostrato in figura.

1. a) Se $x$ è la distanza della terza massa da quella di $100\ \text{kg}$, scrivi l'uguaglianza tra le due forze che agiscono su di essa.
2. b) Risolvi l'equazione e calcola $x$ (suggerimento: semplifica prima $G$ e la terza massa, poi estrai le radici quadrate).
3. c) Il risultato dipende dal valore della terza massa? E da $G$? Commenta.

A quale distanza dal centro della Terra la forza gravitazionale su un corpo si riduce alla metà di quella che avverte sulla superficie?

1. a) Imposta l'uguaglianza usando il fatto che la forza diminuisce con $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Ricava $r$ in funzione del raggio terrestre $R_T$ (ti comparirà un $\sqrt{2}$).
3. c) Con $R_T = 6370\ \text{km}$, calcola a quale altezza sopra la superficie bisogna salire, in chilometri. Credi che un aereo di linea, che vola a circa $10\ \text{km}$ di altezza, avverta questa diminuzione? Motiva la risposta.

Il Sole attrae la Luna, e lo fa anche la Terra. Calcola le due forze sulla Luna con questi dati: massa del Sole $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa della Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa della Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distanza Sole–Luna $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distanza Terra–Luna $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Quante volte è maggiore l'attrazione del Sole sulla Luna rispetto a quella della Terra?
2. b) Se il Sole tira la Luna con più forza, perché la Luna continua a girare intorno alla Terra invece di andare verso il Sole? Suggerimento: pensa a quali altri corpi attrae contemporaneamente anche il Sole.

Un esopianeta roccioso ha una massa quadrupla di quella della Terra e un raggio doppio, come mostrato in figura.

1. a) Usando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, ragiona su quale fattore cambia la gravità sulla sua superficie rispetto a quella terrestre.
2. b) Quanto peserebbe lì un'astronauta di $60\ \text{kg}$ (prendi la gravità terrestre come $9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) E se il pianeta avesse massa quadrupla ma lo stesso raggio della Terra? Calcola il nuovo peso dell'astronauta.

Newton verificò la sua legge confrontando la caduta degli oggetti sulla superficie con il moto della Luna.

1. a) Calcola la forza che la Terra esercita su un corpo di $1\ \text{kg}$ sulla sua superficie ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcola la forza che eserciterebbe su quello stesso corpo se si trovasse alla distanza della Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Verifica che la seconda forza è circa $3600$ volte minore e collega questo numero al rapporto tra le due distanze, che è di circa $60$. Quale legge viene confermata?

Immagina che la Terra si comprimesse fino ad avere metà raggio, conservando tutta la sua massa.

1. a) Ragionando con $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, di quale fattore cambierebbe la gravità sulla sua superficie?
2. b) Quanto peserebbe allora una persona di $70\ \text{kg}$? (Prendi la $g$ attuale come $9,8\ \text{m/s}^2$.)
3. c) Commenta una conseguenza che avrebbe questo cambiamento per la vita in quel mondo.

Un'astronave viaggia in linea retta dalla Terra alla Luna. C'è un punto del tragitto in cui le attrazioni gravitazionali di entrambe si compensano, come mostrato in figura.

1. a) Se $x$ è la distanza dell'astronave dal centro della Terra, imposta l'uguaglianza tra le forze che la Terra e la Luna esercitano sull'astronave (distanza Terra–Luna: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Verifica numericamente che l'uguaglianza è soddisfatta per $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Quel punto si trova a un $90\ \%$ del percorso totale. Spiega, pensando alle masse della Terra e della Luna, perché è così vicino a quest'ultima.